Көпвекторлы - Multivector

Жылы көп сызықты алгебра, а көпвекторлы, кейде деп аталады Клиффорд нөмірі,[1] элементі болып табылады сыртқы алгебра Λ (V) а векторлық кеңістік V. Бұл алгебра бағаланды, ассоциативті және ауыспалы, және тұрады сызықтық комбинациялар туралы қарапайым к-векторлар[2] (сонымен бірге ыдырайтын к-векторлар[3] немесе к-қарын ) нысанын

қайда бар V.

A к-вектор деген сызықтық тіркесім болып табылады біртекті дәрежесі к (барлық шарттар к- сол үшін пышақтар к). Авторларға байланысты «мультивектор» а болуы мүмкін к-вектор немесе сыртқы алгебраның кез-келген элементі (-ның кез-келген сызықтық комбинациясы к-мәні әр түрлі потенциал к).[4]

Жылы дифференциалды геометрия, а к- вектор - бұл к- сыртқы алгебрасындағы вектор жанама векторлық кеңістік; бұл антисимметрия тензор сызықтық комбинацияларын алу арқылы алынған сына өнімі туралы к жанасу векторлары, кейбір бүтін сан үшін к ≥ 0. A к-форм Бұл к- сыртқы алгебрасындағы вектор қосарланған жанас кеңістіктің, ол сонымен қатар жанас кеңістіктің сыртқы алгебрасының дуалы болып табылады.

Үшін к = 0, 1, 2 және 3, к-векторлар жиі сәйкесінше аталады скалярлар, векторлар, бисвекторлар және тривекторлар; олар сәйкесінше екіге тең 0-формалар, 1-формалар, 2-формалар және 3-формалар.[5][6]

Сына өнімі

Мультивекторларды құру үшін сына бұйымының жұмысы сызықтық, ассоциативті және ауыспалы болып табылады, олар детерминанттың қасиеттерін көрсетеді. Бұл векторларға арналған сен, v және w векторлық кеңістікте V және скалярлар үшін α, β, сына бұйымының қасиеттері бар,

  • Сызықтық:
  • Ассоциативті:
  • Айнымалы:

Өнімі б векторлары баға деп аталады б көпвекторлы немесе а б-вектор. Мультивектордың максималды дәрежесі - векторлық кеңістіктің өлшемі V.

Сына бұйымының сызықтығы мультивекторды базалық мультивекторлардың сызықтық комбинациясы ретінде анықтауға мүмкіндік береді. Сонда (n
б
) негіз б- векторлар n-өлшемді векторлық кеңістік.[2]

Ауданы және көлемі

The б- сына көбейтіндісінен алынған вектор б бөлек векторлар n-өлшемдік кеңістіктің проекцияланатын компоненттері бар (б − 1)- көлемдері б-параллелопат векторлармен Осы компоненттердің квадраттарының қосындысының квадрат түбірі. Көлемін анықтайды б-параллелопоп.[2][7]

Келесі мысалдар екі өлшемдегі бивектор параллелограмның ауданын, ал үш өлшемдегі бивектордың шамасы параллелограмның ауданын өлшейтінін көрсетеді. Сол сияқты үш өлшемді үш вектор параллелепипедтің көлемін өлшейді.

Төрт өлшемдегі үш вектордың шамасы параллелепипедтің осы векторлармен созылған көлемін өлшейтінін тексеру оңай.

R-дегі мультивекторлар2

Мультивекторлардың қасиеттерін екі өлшемді векторлық кеңістікті қарастыру арқылы көруге болады V = R2. Негізгі векторлар болсын e1 және e2, сондықтан сен және v арқылы беріледі

және көпвекторлы сенv, сонымен қатар бивектор деп аталады, деп есептеледі

Тік жолдар матрицаның детерминантын белгілейді, ол векторлармен параллелограмның ауданы болып табылады сен және v. Шамасы сенv осы параллелограмның ауданы болып табылады. Бұған назар аударыңыз V екі өлшемді базалық векторға ие e1e2 Λ ішіндегі жалғыз мультивекторV.

Мультивектор шамасы мен векторлар кеңейтетін аудан немесе көлем арасындағы байланыс барлық өлшемдердегі маңызды сипаттама болып табылады. Сонымен қатар, осы көлемді есептейтін мультивектордың сызықтық функционалды нұсқасы дифференциалды форма ретінде белгілі.

R-дегі мультивекторлар3

Үш өлшемді векторлық кеңістікті ескере отырып, көпвекторлардың ерекшеліктерін көруге болады V = R3. Бұл жағдайда базалық векторлар болсын e1, e2, және e3, сондықтан сен, v және w арқылы беріледі

және бисвектор сенv деп есептеледі

Бұл бивектордың компоненттері кросс өнімнің компоненттерімен бірдей. Бұл бивектордың шамасы оның компоненттерінің квадраттарының қосындысының квадрат түбірі болып табылады.

Бұл бивектордың шамасы екенін көрсетеді сенv - векторлармен созылған параллелограмның ауданы сен және v ол үш өлшемді кеңістікте жатыр V. Биоректордың компоненттері - параллелограммның үш координаталық жазықтықтың әрқайсысында проекцияланған аймақтары.

Бұған назар аударыңыз V үш өлшемі бар, basis-де үш векторлы бір негіз барV. Үш векторды есептеңіз

Бұл үш вектордың шамасы екенін көрсетеді сенvw - үш векторға созылған параллелепипедтің көлемі сен, v және w.

Жоғары өлшемді кеңістіктерде компонент үш векторы деп параллелепипед көлемінің координаталық үш кеңістікке проекцияларын айтады, ал үш вектордың шамасы - параллелепипедтің үлкен өлшемді кеңістікте отырғандағы көлемін білдіреді.

Grassmann координаттары

Бұл бөлімде а-дағы мультивекторларды қарастырамыз проективті кеңістік Pnдеп аталатын нүктелердің біртекті координаталарына ұқсас қасиеттері бар сызықтар, жазықтықтар мен гиперпландар үшін ыңғайлы координаттар жиынтығын ұсынады Grassmann координаттары.[8]

Нақты проективті кеңістіктегі ұпайлар Pn векторлық кеңістіктің бастауы арқылы түзулер деп анықталған Rn+1. Мысалы, проективті жазықтық P2 - шығу тегі жолдарының жиынтығы R3. Осылайша, мультивекторлар анықталды Rn+1 мультивекторлар ретінде қарастырылуы мүмкін Pn.

Мультивекторды қараудың ыңғайлы тәсілі Pn оны ан аффинді компонент туралы Pn, бұл шығу тегі арқылы түзулердің қиылысы Rn+1 сияқты таңдалған гиперпланмен H: хn+1 = 1. Шығу жолдары R3 жазықтықты қиып өтеді E: з = 1 проективтік жазықтықтың аффиналық нұсқасын анықтау, ол үшін тек нүктелер жетіспейді з = 0, нүктелер шексіздік деп аталады.

Мультивекторлар қосулы P2

Аффиндік компоненттегі нүктелер E: з = 1 проекциялық жазықтықтың координаттары бар х = (х, ж, 1). Екі нүктенің сызықтық комбинациясы б = (б1, б2, 1) және q = (q1, q2, 1) жазықтықты анықтайды R3 қосылу сызығында Е қиылысады б және q. Көпвекторлы бq параллелограммды анықтайды R3 берілген

Ауыстыру екенін ескеріңіз αб + βq үшін б бұл мультивекторды тұрақтыға көбейтеді. Сондықтан, компоненттері бq - координаттардың басы арқылы жазықтық үшін біртекті координаталар R3.

Ұпайлар жиынтығы х = (х, ж, 1) арқылы сызықта б және q - деп анықталған жазықтықтың қиылысы бq ұшақпен E: з = 1. Бұл тармақтар қанағаттандырады хбq = 0, Бұл,

бұл түзудің теңдеуін жеңілдетеді

Бұл теңдеу нүктелермен қанағаттандырылады х = αб + βq α және β нақты мәндері үшін.

Үш компоненті бq сызықты анықтайтын λ деп аталады Grassmann координаттары жолдың. Үш біртекті координаталар нүктені де, түзуді де анықтайтын болғандықтан, нүктелердің геометриясы проективті жазықтықтағы түзулер геометриясына қосарланған деп аталады. Бұл деп аталады екі жақтылық принципі.

Мультивекторлар қосулы P3

Үш өлшемді проекциялық кеңістік, P3 шығу тегі арқылы барлық жолдардан тұрады R4. Үш өлшемді гиперплан, H: w = 1, нүктелермен анықталған проективті кеңістіктің аффиндік компоненті болыңыз х = (х, ж, з, 1). Көпвекторлы бqр параллелепипедін анықтайды R4 берілген

Ауыстыру екенін ескеріңіз αб + βq + γр үшін б бұл мультивекторды тұрақтыға көбейтеді. Сондықтан, компоненттері бqр басының шығуы арқылы 3 кеңістігінің біртекті координаттары болып табылады R4.

Аффиндік компоненттегі жазықтық H: w = 1 нүктелер жиынтығы х = (х, ж, з, 1) арқылы анықталған 3 кеңістігімен H қиылысында бqр. Бұл тармақтар қанағаттандырады хбqр = 0, Бұл,

бұл жазықтық теңдеуін жеңілдетеді

Бұл теңдеу нүктелермен қанағаттандырылады х = αб + βq + γр нақты мәндері үшін α, β және γ.

Төрт компоненті бqр жазықтықты анықтайтын λ деп аталады Grassmann координаттары ұшақтың. Төрт біртекті координаталар проекциялық кеңістіктегі нүктені де, жазықтықты да анықтайтын болғандықтан, нүктелер геометриясы жазықтықтар геометриясына қосарланған.

Екі нүктенің қосылуы ретінде сызық: Проективті кеңістікте сызық λ екі нүкте арқылы б және q аффиналық кеңістіктің қиылысы ретінде қарастыруға болады H: w = 1 ұшақпен х = αб + βq жылы R4. Көпвекторлы бq сызық үшін біртекті координаттарды ұсынады

Бұлар Плюкер координаттары сызық, дегенмен олар Grassmann координаттарының мысалы.

Екі жазықтықтың қиылысы ретінде түзу: Сызық μ проективті кеңістікте нүктелер жиынтығы ретінде де анықтауға болады х екі жазықтықтың қиылысын құрайтын π және ρ Үш деңгейлі мультивекторлармен анықталады, сондықтан нүктелер х сызықтық теңдеулердің шешімдері болып табылады

Плакер сызығының координаттарын алу үшін μ, мультивекторларды картаға түсіру π және ρ көмегімен екі нүктелік координаталарға дейін Ходж жұлдыз операторы,[2]

содан кейін

Сонымен, Plücker түзудің координаттары μ арқылы беріледі

Түзудің алты біртекті координатасын екі нүктенің қосылуынан немесе екі жазықтықтың қиылысуынан алуға болатындықтан, сызық проекциялық кеңістіктегі өзіндік қосарланған деп аталады.

Клиффорд өнімі

W. K. Clifford аралас мультивекторларды ішкі өнім кәдімгі күрделі сандар мен Гамильтонды қамтитын гиперкомплексті сандарға жалпы құрылысты алу үшін векторлық кеңістікте анықталды кватерниондар.[9][10]

Екі вектор арасындағы Клиффорд өнімі сен және v сына өнімі сияқты сызықтық және ассоциативті болып табылады және көпвекторлы қосымша қасиетке ие uv ішкі өніммен байланыстырылған сен · v Клиффордтың қатынасы бойынша,

Клиффорд қатынасы перпендикуляр болатын векторлар көбейтіндісі үшін ауыспалы қасиетін сақтайды. Мұны ортогональ бірлік векторлары үшін көруге болады eмен, мен = 1, ..., n жылы Rn. Клиффордтың қатынасы нәтиже береді

сондықтан базалық векторлар ауыспалы,

Сына көбейтіндісінен айырмашылығы, вектордың өзімен бірге Клиффорд көбейтіндісі нөлге тең болмайды. Бұл өнімді есептеу үшін,

қандай өнім береді

Клиффорд өнімі арқылы салынған мультивекторлардың жиынтығы а деп аталатын ассоциативті алгебра береді Клиффорд алгебрасы. Әр түрлі қасиеттері бар ішкі өнімдерді әртүрлі Клиффорд алгебраларын тұрғызу үшін пайдалануға болады.[11][12]

Геометриялық алгебра

Термин k-пышақ жылы қолданылған Клиффорд алгебрасы геометриялық есептеуден (1984)[13]

Геометриялық алгебра деп аталатын физиканың математикалық тұжырымдалуында мультифекторлар басты рөл атқарады. Сәйкес Дэвид Хестенес,

[Скалярлық емес] k-векторлары кейде деп аталады k-пышақтар немесе, жай, жүздер 0-векторлардан (скалярлардан) айырмашылығы олардың «бағыттық қасиеттерге» ие екендігін атап көрсету.[14]

2003 жылы мерзім жүзі мультивекторды К.Доран мен А.Ласенби қолданған.[15]

Жылы геометриялық алгебра, мультивектор әртүрлі деңгейдің қосындысы ретінде анықталады к-қарын, мысалы, а скаляр, а вектор және а 2-вектор.[16] Тек қана қосынды к-құрамды компоненттер а деп аталады к-вектор,[17] немесе а біртекті көпвекторлы.[18]

Кеңістіктегі ең жоғары дәрежелі элемент а деп аталады псевдоскалар.

Егер берілген элемент біртекті болса к, онда ол к-вектор, бірақ міндетті емес a к- пышақ. Мұндай элемент а к- бұл сына көбейтіндісі ретінде көрсетілуі мүмкін к векторлар. 4 өлшемді евклидтік векторлық кеңістік арқылы құрылған геометриялық алгебра нүктені мысалмен бейнелейді: біреуі XY жазықтығынан, ал екіншісі ZW жазықтығынан алынған кез-келген екі жүздің қосындысы 2 векторды құрайды, яғни 2 жүзді емес. 2 немесе 3 өлшемді эвклидтік векторлық кеңістігі құрған геометриялық алгебрада 2-жүздердің барлық қосындылары жалғыз 2-жүздер түрінде жазылуы мүмкін.

Мысалдар

Векторлардың реттелген жиынтығымен анықталған бағыт.
Кері бағдар сыртқы өнімді жоққа шығаруға сәйкес келеді.
Бағаны геометриялық түсіндіру n үшін нақты сыртқы алгебрадағы элементтер n = 0 (қол қойылған нүкте), 1 (бағытталған сызық кесіндісі немесе вектор), 2 (бағытталған жазықтық элементі), 3 (бағытталған көлем). Сыртқы өнімі n векторларды кез-келген түрде бейнелеуге болады n- өлшемді пішін (мысалы, n-параллелопат, n-эллипсоид ); шамасымен (гиперволюм ), және бағдар сол арқылы анықталады (n − 1)-өлшемді шекара және интерьер қай жағында.[19][20]

Қатысуымен а көлем нысаны (мысалы, берілген ішкі өнім және бағдарлау), псевдекторлар мен псевдоскаларларды векторлармен және скалярлармен анықтауға болады, бұл әдеттегідей векторлық есептеу, бірақ көлемдік формасыз бұл таңдаусыз жасалмайды.

Ішінде физикалық кеңістіктің алгебрасы (Евклидтің 3-кеңістігінің геометриялық алгебрасы, (3 + 1) - кеңістік моделі ретінде қолданылады), скаляр мен вектордың қосындысы а деп аталады паравектор, және кеңістіктегі нүктені білдіреді (вектор кеңістік, уақыт скаляры).

Бевекторлар

A бисвектор элементі болып табылады антисимметриялық тензор өнімі а жанасу кеңістігі өзімен бірге.

Жылы геометриялық алгебра, сонымен қатар, а бисвектор нәтижесінде пайда болған 2 дәрежелі элемент (2-вектор) сына өнімі екі вектордың, және геометриялық ан бағдарланған аймақ, дәл осылай а вектор бағытталған сызық сегменті болып табылады. Егер а және б екі вектор, екі вектор аб бар

  • а норма оның ауданы болып табылады, берілген
  • бағыт: сол аудан жатқан жазықтық, яғни анықталған жазықтық а және б, егер олар сызықтық тәуелсіз болса;
  • бастапқы векторларды көбейту ретімен анықталатын бағдар (екеуінен).

Бевекторлар қосылған жалған векторлар, және геометриялық алгебрада айналуды бейнелеу үшін қолданылады.

Екі векторлар a векторлық кеңістіктің элементтері болғандықтан2V (қайда V - бар ақырлы өлшемді векторлық кеңістік күңгірт V = n) мағынасын анықтауға болады ішкі өнім бұл векторлық кеңістікте келесідей. Алдымен кез-келген элементті жазыңыз F ∈ Λ2V негіз тұрғысынан (eменej)1 ≤ мен < jn of2V сияқты

қайда Эйнштейн конвенциясы пайдаланылуда.

Енді картаны анықтаңыз G: Λ2V × Λ2VR деп талап ету арқылы

қайда сандар жиынтығы.

Қолданбалар

Бевекторлар физикада көптеген маңызды рөлдерді атқарады, мысалы электромагниттік өрістердің жіктелуі.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Джон Снигг (2012), Клиффордтың геометриялық алгебрасын қолдану арқылы дифференциалды геометрияға жаңа тәсіл, Бирхязер, б.5 §2.12
  2. ^ а б c г. Харли Фландрия (1989)[1963] Физика ғылымдарына қолданылатын дифференциалды формалар, § 2.1 ректорлардың кеңістігі, 5-7 беттер, Довер туралы кітаптар
  3. ^ Wendell Fleming (1977) [1965] Бірнеше айнымалылардың функциялары, 7.5 бөлімі, көпвекторлар, 295 бет, ISBN  978-1-4684-9461-7
  4. ^ Эли Картан, Шпинаторлар теориясы, б. 16, тек біртектес векторларды қарастырады, әсіресе қарапайым, оларды «көпвекторлы» деп атайды (жалпы) немесе б-векторлар (арнайы).
  5. ^ Кіші Уильям М Пеззаглия (1992). «Максвелл теңдеулеріне тән гипер беткейлердің Клиффорд алгебрасын шығару». Джулиан Чавриновичте (ред.). Математикалық құрылымдардың деформациясы II. Спрингер. б. 131 фф. ISBN  0-7923-2576-1. Демек, 3D-де біз баламалы шарттарын байланыстырамыз жалған вектор үшін бисвектор, және псевдоскалар үшін тривектор
  6. ^ Байлис (1994). Физика ғылымдарындағы теориялық әдістер: Maple V көмегімен есептер шығаруға кіріспе. Бирхязер. б. 234, түсіндірмені қараңыз. ISBN  0-8176-3715-X.
  7. ^ Шилов Г., Сызықтық алгебра, (аударма R. A. Silverman), Dover Publications, 1977 ж.
  8. ^ В.В. Д.Ходж және Д.Педо, алгебралық геометрия әдістері, т. 1, Кембридж Университеті. Баспасөз, 1947
  9. ^ В.Клиффорд, «Екі кватерниондардың алдын-ала эскизі», Proc. Лондон математикасы. Soc. Том. 4 (1873) 381-395 беттер
  10. ^ В.Клиффорд, Математикалық құжаттар, (ред. Р. Такер), Лондон: Макмиллан, 1882.
  11. ^ Дж. М. Маккарти, Теориялық кинематикаға кіріспе, 62-5 б., MIT Press 1990 ж.
  12. ^ О.Боттема және Б. Рот, Теориялық кинематика, North Holland Publ. Co., 1979
  13. ^ Дэвид Хестенес және Гаррет Собчик (1984) Клиффорд алгебрасы геометриялық есептеуден, 4 бет, Д.Рейдель ISBN  90-277-1673-0
  14. ^ Дэвид Хестенес (1999)[1986] Классикалық механиканың жаңа негіздері, 34 бет, Д.Рейдель ISBN  90-277-2090-8
  15. ^ Доран және А. Ласенби (2003) Физиктерге арналған геометриялық алгебра, 87 бет, Кембридж университетінің баспасы ISBN  9780511807497
  16. ^ Маркос А.Родригес (2000). «§1.2 Геометриялық алгебра: контур». Үлгіні тануға және жіктеуге арналған инварианттар. Әлемдік ғылыми. б. 3 фф. ISBN  981-02-4278-6.
  17. ^ R Wareham, J Cameron & J Lasenby (2005). «Конформды геометриялық алгебраның компьютерлік көріністегі және графикадағы қолданылуы». Hongbo Li-де; Питер Дж. Олвер; Джеральд Соммер (ред.) Қолданбалы компьютерлік алгебра және геометриялық алгебра. Спрингер. б. 330. ISBN  3-540-26296-2.
  18. ^ Эдуардо Байро-Коррочано (2004). «Клиффорд геометриялық алгебра: компьютерлік көру, робототехника және оқыту үшін перспективалық негіз». Альберто Санфелиуда; Хосе Франциско Мартинес Тринидад; Джесус Ариэль Карраско Очоа (ред.). Үлгіні тану, кескінді талдау және қолдану саласындағы прогресс. Спрингер. б. 25. ISBN  3-540-23527-2.
  19. ^ Р.Пенроуз (2007). Ақиқатқа апаратын жол. Винтажды кітаптар. ISBN  0-679-77631-1.
  20. ^ Дж. Wheeler; C. Миснер; K.S. Торн (1973). Гравитация. В.Х. Freeman & Co. б. 83. ISBN  0-7167-0344-0.