Эйнштейн жазбасы - Einstein notation

Жылы математика, әсіресе сызықтық алгебра дейін физика, Эйнштейн жазбасы немесе Эйнштейн конвенциясы - бұл формуладағы индекстелген терминдер жиынтығының қорытындысын, осылайша нотациялық қысқалыққа жетуді көздейтін конвенциялық шарт. Математиканың бөлігі ретінде ол нотациялық жиынтық болып табылады Ricci calculus; дегенмен, ол көбінесе физикадағы бір-бірінен ажырата алмайтын қосымшаларда қолданылады тангенс және котангенс кеңістіктер. Ол физикамен таныстырылды Альберт Эйнштейн 1916 ж.^[1]

Кіріспе

Конгресс мәлімдемесі

Осы шартқа сәйкес индекс айнымалысы бір терминде екі рет пайда болғанда және басқаша анықталмаған кезде (қараңыз) еркін және байланысқан айнымалылар ), бұл индекстің барлық мәндері бойынша осы терминнің қорытындысын білдіреді. Сонымен, индекстер қайда өзгеруі мүмкін орнатылды ${1, 2, 3}$ ,

{ displaystyle y = sum _ {i = 1} ^ {3} c_ {i} x ^ {i} = c_ {1} x ^ {1} + c_ {2} x ^ {2} + c_ {3 } x ^ {3}}

конвенциямен жеңілдетілген:

{ displaystyle y = c_ {i} x ^ {i}.}

Жоғарғы индекстер жоқ экспоненттер бірақ координаттар индексі болып табылады, коэффициенттер немесе негізгі векторлар. Яғни, осы тұрғыда $х 2$ екінші компоненті ретінде түсіну керек $х$ квадратына қарағанда $х$ (бұл кейде түсініксіздікке әкелуі мүмкін). Индексінің жоғарғы позициясы $х мен$ себебі, әдетте, индекс бір мерзімде жоғарғы (жоғары скрипт) және бір рет төменгі (подписка) жағдайда болады (қараңыз) § Қолдану төменде). Әдетте, $(х 1 х 2 х 3)$ дәстүрліге тең болар еді $(х ж з)$ .

Жылы жалпы салыстырмалылық, жалпы конвенция - бұл

The Грек алфавиті индекстер 0, 1, 2 немесе 3 мәндерін қабылдайтын кеңістік пен уақыт компоненттері үшін қолданылады (жиі қолданылатын әріптер) $μ, ν, ...$ ),
The Латын әліпбиі индекстері 1, 2 немесе 3 мәндерін қабылдайтын кеңістіктік компоненттер үшін ғана қолданылады (жиі қолданылатын әріптер) $мен, j, ...$ ),

Жалпы, индекстер кез-келген бойынша өзгеруі мүмкін индекстеу жиынтығы оның ішінде шексіз жиынтық. Мұны бір-бірінен ажырату үшін қолданылатын типографиялық ұқсас конвенциямен шатастыруға болмайды тензор индексінің жазбасы және тығыз байланысты, бірақ негізі тәуелсіз индекстің абстрактілі жазбасы.

Жинақталған индекс - бұл жиынтық индекс, Бұл жағдайда » $мен$ «. Ол сондай-ақ а деп аталады жалған индекс өйткені кез-келген таңба ауыстыра алады « $мен$ «өрнектің мағынасын өзгертпестен, егер ол бірдей мерзімде индекстік белгілермен соқтығыспаса.

Жинақталмаған индекс - бұл еркін индекс және әр тоқсанда бір рет қана пайда болуы керек. Егер мұндай индекс пайда болса, ол, әдетте, нөлге тең арнайы мәндерді қоспағанда, бірдей сомаға жататын терминдерде де пайда болады.

Қолдану

Эйнштейн жазбасын әр түрлі тәсілдермен қолдануға болады. Әдетте, әр индекс бір рет жоғарғы (үстіңгі сценарийде) және бір рет төменгі (подписка) позицияда бір рет кездеседі; дегенмен, конвенцияны бір мерзім ішінде кез келген қайталанатын индекстерге көбіне қолдануға болады.^[2] Қарым-қатынас кезінде ковариантты және қарама-қайшы векторлар, онда индекстің орны вектордың түрін де көрсетеді, бірінші жағдай әдетте қолданылады; ковариантты вектор тек коэффициенттер көбейтінділерінің қосындысына сәйкес келетін қарсы вектормен ғана шарттаса алады. Екінші жағынан, тұрақты координаттар базасы болған кезде (немесе координаталық векторларды қарастырмаған кезде) тек жазылуларды қолдануды таңдауға болады; қараңыз § суперкрипттер мен жазылымдар тек жазылымдарға қарсы төменде.

Векторлық ұсыныстар

Суперкрипттер мен жазылымдар тек жазылымдарға қарсы

Жөнінде векторлардың ковариациясы және қарсы келуі,

жоғарғы индекстер компоненттерін білдіреді қарама-қарсы векторлар (векторлар ),
төменгі индекстер компоненттерін білдіреді ковариант векторлар (ковекторлар ).

Олар негіздің өзгеруіне қатысты сәйкесінше керісінше немесе ковариантты түрде өзгереді.

Осы фактіні мойындау үшін келесі жазба векторға немесе ковекторға және оның символына бірдей белгіні қолданады компоненттер, сияқты:

{ displaystyle v = v ^ {i} e_ {i} = { begin {bmatrix} e_ {1} & e_ {2} & cdots & e_ {n} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} v ^ {1} v ^ {2} vdots v ^ {n} end {bmatrix}} qquad w = w_ {i} e ^ {i} = { begin {bmatrix} w_ {1 } & w_ {2} & cdots & w_ {n} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} e ^ {1} e ^ {2} vdots e ^ {n} end { bmatrix}}}

қайда $v$ және векторы болып табылады $v мен$ оның компоненттері болып табылады (емес $мен$ covector $v$ ), $w$ - бұл ковекторы және $w мен$ оның компоненттері болып табылады. Негіздік векторлық элементтер ${ displaystyle e_ {i}}$ әрбір баған векторлары, ал ковекторлық негіз элементтері ${ displaystyle e ^ {i}}$ әр қатардағы ковекторлар болып табылады. (Реферат сипаттамасын да қараңыз; екі жақтылық, төменде және мысалдар )

Деградацияланбаған форма болған жағдайда (изоморфизм) $V \to V *$ , мысалы а Риман метрикасы немесе Минковский метрикасы ), бір мүмкін индекстерді көтеру және төмендету.

Негіз осындай форманы береді (арқылы қосарланған негіз ), демек, жұмыс кезінде $ℝ n$ Евклидтік метрика және тұрақты ортонормальды негізде тек жазылымдармен жұмыс істеу мүмкіндігі бар.

Алайда, егер біреу координатаны өзгертсе, коэффициенттердің өзгеру тәсілі объектінің дисперсиясына байланысты болады, ал айырмашылықты елемеуге болмайды; қараңыз векторлардың ковариациясы және қарсы келуі.

Мнемотехника

Жоғарыда келтірілген мысалда векторлар ретінде көрсетілген $n \times 1$ матрицалар (баған векторлары), ал ковекторлар ретінде ұсынылады $1 \times n$ матрицалар (қатарлы ковекторлар).

Бағаналы векторлық конвенцияны қолданған кезде:

"Жоғарыиндекстерге сәйкес келеді жоғары төменге; лower индекстері барады лeft оңға ».
"Coнұсқа тензорлары болып табылады қатар индекстері бар векторлар төменде (қатардан төменге)."
Ковекторлар - жол векторлары:
${ displaystyle { begin {bmatrix} w_ {1} & cdots & w_ {k} end {bmatrix}}.}$
Демек төменгі индекс қайсысын көрсетеді баған сіз кіресіз
Қарама-қарсы векторлар дегеніміз бағандық векторлар:
${ displaystyle { begin {bmatrix} v ^ {1} vdots v ^ {k} end {bmatrix}}}$
Демек жоғарғы индекс қайсысын көрсетеді қатар сіз кіресіз

Реферат сипаттамасы

Эйнштейн жазбасының қадір-қасиеті, ол инвариант шамаларды қарапайым белгілеумен бейнелейді.

Физикада а скаляр түрлендірулерінде өзгермейтін болып табылады негіз. Атап айтқанда, а Лоренц скаляры Лоренцтің өзгеруіне байланысты инвариантты. Қосындыдағы жеке терминдер жоқ. Негізі өзгерген кезде компоненттер матрицамен сипатталған сызықтық түрлендіру арқылы векторлық өзгерісті. Бұл Эйнштейн конвенцияны бірнеше рет индекстер қорытындылау керек деген тұжырымдаманы ұсынуға мәжбүр етті.

Ковекторларға келетін болсақ, олар кері матрица бойынша өзгереді. Бұл қандай негізде болса да, ковектормен байланысты сызықтық функцияның, жоғарыдағы қосындының бірдей екендігіне кепілдік беру үшін жасалған.

Эйнштейн конвенциясының мәні оның басқа векторлық кеңістіктерге қатысты екендігінде $V$ пайдаланып тензор өнімі және екі жақтылық. Мысалға, $V \otimes V$ , тензор көбейтіндісі $V$ өзімен бірге форманың тензорларынан тұратын негізі бар $e иж = e мен \otimes e j$ . Кез келген тензор $Т$ жылы $V \otimes V$ келесі түрде жазылуы мүмкін:

{ displaystyle mathbf {T} = T ^ {ij} mathbf {e} _ {ij}}

.

$V *$ , қосарлы $V$ , негізі бар $e 1$ , $e 2$ , ..., $e n$ ережеге бағынатын

{ displaystyle mathbf {e} ^ {i} ( mathbf {e} _ {j}) = delta _ {j} ^ {i}.}

қайда $δ$ болып табылады Kronecker атырауы. Қалай

{ displaystyle operatorname {Hom} (V, W) = V ^ {*} otimes W}

матрицадағы жол / баған координаттары тензор көбейтіндісіндегі жоғарғы / төменгі индекстерге сәйкес келеді.

Осы нотадағы жалпы операциялар

Эйнштейн белгілеуінде әдеттегі элемент сілтемесі $A мн$ үшін $м$ ші қатар және $n$ матрицаның бағаны $A$ болады $A м n$ . Содан кейін Эйнштейн нотасында келесі операцияларды келесідей жаза аламыз.

Ішкі өнім (сондықтан да нүктелік көбейтінді )

Пайдалану ортогональды негіз, ішкі өнім - бұл көбейтілген сәйкес компоненттердің қосындысы:

{ displaystyle mathbf {u} cdot mathbf {v} = u_ {j} v ^ {j}}

Мұны вектордағы ковекторды көбейту арқылы да есептеуге болады.

Векторлық кросс өнім

Ортогональды негізді қолдана отырып (3 өлшемде) кросс-өнімнің құрамдас бөліктерін ауыстырудың ішкі жиынтығы бар:

{ displaystyle mathbf {u} times mathbf {v} = varepsilon ^ {i} {} _ {jk} u ^ {j} v ^ {k} mathbf {e} _ {i}}

қайда

{ displaystyle varepsilon ^ {i} {} _ {jk} = delta ^ {il} varepsilon _ {ljk}}

$ε ijk$ болып табылады Levi-Civita белгісі, және $δ il$ жалпылама болып табылады Kronecker атырауы. Осы анықтамаға сүйене отырып $ε$ , арасында ешқандай айырмашылық жоқ $ε мен jk$ және $ε ijk$ бірақ индекстердің жағдайы.

Матрицалық-векторлық көбейту

Матрицаның көбейтіндісі $A иж$ бағаналы вектормен $v j$ бұл:

{ displaystyle mathbf {u} _ {i} = ( mathbf {A} mathbf {v}) _ {i} = sum _ {j = 1} ^ {N} A_ {ij} v_ {j} }

баламасы

{ displaystyle u ^ {i} = A ^ {i} {} _ {j} v ^ {j}}

Бұл матрицаны көбейтудің ерекше жағдайы.

Матрицаны көбейту

The матрицалық өнім екі матрицаның $A иж$ және $B jk$ бұл:

{ displaystyle mathbf {C} _ {ik} = ( mathbf {A} mathbf {B}) _ {ik} = sum _ {j = 1} ^ {N} A_ {ij} B_ {jk} }

баламасы

{ displaystyle C ^ {i} {} _ {k} = A ^ {i} {} _ {j} B ^ {j} {} _ {k}}

Із

Квадрат матрица үшін $A мен j$ , із - бұл диагональ элементтерінің қосындысы, демек, жалпы индекстің үстіндегі қосынды $A мен мен$ .

Сыртқы өнім

Баған векторының сыртқы көбейтіндісі $сен мен$ жол векторы бойынша $v j$ өнімді береді $м \times n$ матрица $A$ :

{ displaystyle A ^ {i} {} _ {j} = u ^ {i} v_ {j} = (uv) ^ {i} {} _ {j}}

Бастап $мен$ және $j$ екеуін білдіреді әр түрлі индекстер, қосынды жоқ және индекстер көбейту арқылы жойылмайды.

Индекстерді көтеру және төмендету

Тензорды ескере отырып, тензорды келісімшарт арқылы индексті көтеруге немесе төмендетуге болады метрикалық тензор, $ж μν$ . Мысалы, тензорды алайық $Т α β$ , индексті көтеруге болады:

{ displaystyle T ^ { mu alpha} = g ^ { mu sigma} T _ { sigma} {} ^ { alpha}}

Немесе индексті төмендетуге болады:

{ displaystyle T _ { mu beta} = g _ { mu sigma} T ^ { sigma} {} _ { beta}}

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

Бұл тек сандық көрсеткіштерге қатысты. Жағдай керісінше дерексіз индекстер. Сонда векторлардың өздері жоғарғы абстрактілі индекстерді, ал ковекторлар төменгі абстрактілі индекстерді, мысалыдағы мысалда келтіреді кіріспе осы мақаланың Векторлар негізінің элементтері төменірек болуы мүмкін сандық индекс және жоғарғы реферат индекс.

Әдебиеттер тізімі

^ Эйнштейн, Альберт (1916). «Жалпы салыстырмалылық теориясының негізі». Аннален дер Физик. Бибкод:1916AnP ... 354..769E. дои:10.1002 / және с.19163540702. Архивтелген түпнұсқа (PDF ) 2006-08-29 ж. Алынған 2006-09-03.
^ «Эйнштейннің қорытындысы». Wolfram Mathworld. Алынған 13 сәуір 2011.

Библиография

Купцов, Л.П. (2001) [1994], «Эйнштейн ережесі», Математика энциклопедиясы, EMS Press.

Сыртқы сілтемелер

Ролингс, Стив (2007-02-01). «Дәріс 10 - Эйнштейннің жиынтық конвенциясы және векторлық сәйкестік». Оксфорд университеті. Архивтелген түпнұсқа 2017-01-06. Алынған 2008-07-02.
«NumPy einsum туралы түсінік». Stack overflow.

[Ein1916-1] Эйнштейн, Альберт (1916). «Жалпы салыстырмалылық теориясының негізі». Аннален дер Физик. Бибкод:1916AnP ... 354..769E. дои:10.1002 / және с.19163540702. Архивтелген түпнұсқа (PDF ) 2006-08-29 ж. Алынған 2006-09-03.

[wolfram-2] «Эйнштейннің қорытындысы». Wolfram Mathworld. Алынған 13 сәуір 2011.

[1]

[2]