Levi-Civita байланысы - Levi-Civita connection

Жылы Риманниан немесе жалған Риман геометриясы (атап айтқанда Лоренций геометриясы туралы жалпы салыстырмалылық ), Levi-Civita байланысы бірегей байланыс үстінде тангенс байламы а көпжақты (яғни аффиндік байланыс ) бұл консервілер (жалған- )Риман метрикасы және болып табылады бұралу -Тегін.

The Риман геометриясының негізгі теоремасы осы қасиеттерді қанағаттандыратын ерекше байланыс бар екенін айтады.

Теориясында Риманниан және жалған-риманналық коллекторлар термин ковариант туынды Levi-Civita байланысы үшін жиі қолданылады. Жергілікті координаттар жүйесіне қатысты осы байланыстың компоненттері деп аталады Christoffel рәміздері.

Тарих

Levi-Civita байланысы аталған Туллио Леви-Сивита, дегенмен бастапқыда «ашқан» Элвин Бруно Кристоффель. Леви-Сивита,[1] бірге Грегорио Риччи-Кербастро, Кристоффельдің рәміздерін қолданды[2] ұғымын анықтау параллель тасымалдау және параллель тасымалдаудың қатынасын зерттеңіз қисықтық, осылайша қазіргі заманғы түсінігін дамытады голономия.[3]

Леви-Сивита туралы түсініктер меншікті туынды және вектордың қисық бойымен параллель жылжуы абстрактілі Риман коллекторында мағынасы бар, дегенмен түпнұсқа мотивация нақты ендіруге негізделген

өйткені Christoffel рәміздерінің анықтамасы кез-келген Риман манифолды мағынасында. 1869 жылы Кристоффель вектордың ішкі туындысының компоненттері қарама-қарсы вектордың компоненттері ретінде өзгеретіндігін анықтады. Бұл жаңалық тензорлық талдаудың нақты бастамасы болды. Тек 1917 жылға дейін Леви-Сивита ішкі туындыны ендірілген беттік жағдайда қоршаған орта аффиналық кеңістігіндегі кәдімгі туындының тангенциалды компоненті ретінде түсіндірді.

Ескерту

1906 жылы, Брауэр бірінші болды математик қарастыру параллель тасымалдау а вектор кеңістігі үшін тұрақты қисықтық.[4][5] 1917 жылы, Леви-Сивита а үшін маңыздылығын көрсетті беткі қабат батырылған а Евклид кеңістігі яғни, а Риманн коллекторы қоршаған орта кеңістігіне ендірілген.[1] 1918 жылы, Леви-Сивитадан тәуелсіз, Jan Arnoldus Schouten ұқсас нәтижелер алынды.[6] Сол жылы, Герман Вейл Леви-Сивитаның қорытындыларын қорытты.[7][8]

Ескерту

Көрсеткіш ж екі векторға дейін немесе векторлық өрістерді қабылдай алады X, Y дәлел ретінде. Алдыңғы жағдайда шығыс сан болып табылады, (псевдо-)ішкі өнім туралы X және Y. Екінші жағдайда, ішкі өнімі Xб, Yб барлық нүктелерде қабылданады б коллекторда сондықтан ж(X, Y) тегіс функциясын анықтайды М. Векторлық өрістер (анықтамасы бойынша) тегіс функциялар бойынша дифференциалды оператор ретінде әрекет етеді. Жергілікті координаттарда , акция оқиды

қайда Эйнштейндікі жиынтық конвенция қолданылады.

Ресми анықтама

Ан аффиндік байланыс егер Levi-Civita байланысы деп аталады

  1. ол метриканы сақтайды, яғни, ж = 0.
  2. Бұл бұралу -Тегін, яғни кез-келген векторлық өрістер үшін X және Y Бізде бар XY − ∇YX = [X, Y], қайда [X, Y] болып табылады Жалған жақша туралы векторлық өрістер X және Y.

Жоғарыдағы 1-шарт кейде осылай аталады көрсеткішпен үйлесімділік, ал 2 шартты кейде симметрия деп атайды, т.с.с. Кармо мәтінін жаса.

Риман геометриясының (жалған) теоремасы

Теорема Риманниялық псевдо Levi Civita байланысы бар .

дәлел: Егер Levi-Civita байланысы болса, ол ерекше болуы керек. Мұны көру үшін, тензорларға қосылыстың әрекетін анықтауды анықтаңыз

Демек, біз 1 шартты былай жаза аламыз

Метрикалық тензордың симметриясы бойынша содан кейін мынаны табамыз:

2-шарт бойынша оң жақ бүйірге тең

және біз табамыз Қосзул формула

Демек, егер Levi-Civita байланысы болса, ол ерекше болуы керек, өйткені ерікті, дегенеративті емес, ал оң жағы тәуелді емес .

Болуын дәлелдеу үшін берілген векторлық өріс үшін екенін ескеріңіз және , Қосзул өрнегінің оң жағы векторлық өрісте сызықтық болып табылады , нақты сызықтық емес. Демек, дегенерацияның бұзылмауы , оң жағы біз ұсынатын жаңа векторлық өрісті ерекше түрде анықтайды сол жақтағы сияқты. Қосзул формуласын ауыстыру арқылы енді оны барлық векторлық өрістер үшін тексереді және барлық функциялар

Демек, Koszul өрнегі шын мәнінде байланысты анықтайды және бұл байланыс метрикамен үйлесімді және бұралу мүмкіндігі жоқ, яғни Levi-Civita байланысы болып табылады.

Кішкентай ауытқулармен бірдей дәлел метрикамен үйлесімді және бұралуды тағайындаған бірегей байланыс бар екенін көрсетеді.

Christoffel рәміздері

Келіңіздер тангенс байламындағы аффиндік байланыс. Жергілікті координаттарды таңдаңыз координаталық базалық векторлық өрістермен және жаз үшін . The Christoffel рәміздері туралы осы координаттарға қатысты анықталады

Christoffel белгілері керісінше байланысты анықтайды координаттар маңында, өйткені

яғни.

Аффиндік байланыс iff көрсеткішімен сәйкес келеді

яғни iff

Аффиндік байланыс егер бұралмаса

яғни iff

төменгі екі индексі бойынша симметриялы.

Біреу қабылдау арқылы тексереді , координаталық векторлық өрістер (немесе тікелей есептейді), жоғарыда келтірілген Леви-Сивита байланысының Косзул өрнегі Кристоффель символдарының метрикасы бойынша анықтамасына тең келеді

қайда әдеттегідей екі метрикалық тензор коэффициенттері, яғни матрицаға кері жазбалар .

Қисық бойымен туынды

Levi-Civita байланысы (кез-келген аффиндік байланыс сияқты) сонымен бірге туынды анықтайды қисықтар, кейде арқылы белгіленеді Д..

Тегіс қисық берілген γ қосулы (М, ж) және а векторлық өріс V бойымен γ оның туындысы арқылы анықталады

Ресми түрде, Д. болып табылады кері тарту γ*∇ үстінде байлам γ*ТМ.

Соның ішінде, - қисық бойындағы векторлық өріс γ өзі. Егер жоғалады, қисық ковариант туындысының геодезиясы деп аталады. Формальды түрде шартты кері тарту байланысының жойылуы ретінде қайта қарауға болады :

Егер ковариантты туынды белгілі бір метрияның Леви-Сивита байланысы болса, онда қосылуға арналған геодезия дәл сол геодезия туралы метрикалық доғасының ұзындығына пропорционалды түрде параметрленген.

Параллельді тасымалдау

Жалпы алғанда, параллель тасымалдау қосылысқа қатысты қисық бойымен анықтайды изоморфизмдер қисық нүктелеріндегі жанас кеңістіктер арасында. Егер байланыс Levi-Civita байланысы болса, онда бұл изоморфизмдер ортогоналды - яғни олар ішкі жанама жанама кеңістіктегі өнімдерді сақтайды.

Төмендегі суреттерде Леви-Сивита байланысының параллель тасымалы көрсетілген, жазықтықта екі түрлі римандық көрсеткіштерге байланысты, көрсетілген полярлық координаттар. Сол жақ кескіннің метрикасы стандартқа сәйкес келеді Евклидтік метрика , ал оң жақтағы метрика полярлық координаттарда стандартты формаға ие және осылайша векторды сақтайды шеңберге жанама. Бұл екінші метрика бастапқыда ерекше болып табылады, оны декарттық координаттармен өрнектеу арқылы көруге болады:

Levi-Civita байланысы бойынша параллель тасымалдаулар
Декарттық көлік
Бұл көлік метрикамен беріледі .
Полярлық көлік
Бұл көлік метрикамен беріледі .

Мысалы: бірлік сфера R3

Келіңіздер ⟨ , ⟩ әдеттегідей болу скалярлы өнім қосулы R3. Келіңіздер S2 болуы бірлік сферасы жылы R3. Тангенс кеңістігі S2 бір сәтте м векторлық ішкі кеңістікпен табиғи түрде анықталады R3 ортогональды векторларынан тұрады м. Бұдан векторлық өріс шығады Y қосулы S2 карта ретінде қарастыруға болады Y : S2R3, бұл қанағаттандырады

Ретінде белгілеңіз г.мY(X) The ковариант туынды картаның Y вектордың бағыты бойынша X. Сонда бізде:

Лемма: Формула
аффиндік байланысты анықтайды S2 жоғалып бара жатқан бұралумен.
Дәлел: Мұны дәлелдеуге тура келеді лейбництік сәйкестікті қанағаттандырады және болып табылады C(S2) бірінші айнымалыдағы сызықтық. Сондай-ақ, бұл байланыстың бұралусыз екендігін көрсету үшін тікелей есептеу болып табылады. Бұл жерде дәлелденуі керек нәрсе - жоғарыдағы формула шынымен де векторлық өрісті анықтайды. Яғни, мұны бәрімізге дәлелдеуіміз керек м жылы S2
Картаны қарастырыңыз f бәрін жібереді м жылы S2 дейін Y(м), м, ол әрдайым 0. Карта f тұрақты, демек, оның дифференциалды мәні жоғалады. Соның ішінде
Жоғарыдағы (1) теңдеу келесідей болады. Q.E.D.

Шын мәнінде, бұл байланыс - бұл Metri үшін Levi-Civita байланысы S2 мұрагерлік R3. Шынында да, бұл байланыс метриканы сақтайтындығын тексеруге болады.

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ а б Леви-Сивита, Туллио (1917). «Nozione di parallelismo in una varietà qualunque» [Кез-келген коллектордағы параллелизм ұғымы]. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (итальян тілінде). 42: 173–205. дои:10.1007 / BF03014898. JFM  46.1125.02.
  2. ^ Кристоффель, Элвин Б. (1869). «Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades». Mathematik журналы жазылады. 1869 (70): 46–70. дои:10.1515 / crll.1869.70.46.
  3. ^ Қараңыз Спивак, Майкл (1999). Дифференциалды геометрияға жан-жақты кіріспе (II том). Жариялаңыз немесе жойылыңыз. б. 238. ISBN  0-914098-71-3.
  4. ^ Брауэр, Л.Э. Дж. (1906). «Het krachtveld der niet-Euclidische, negatief gekromde ruimten». Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Верслаген. 15: 75–94.
  5. ^ Brouwer, L. E. J. (1906). «Теріс қисықсыз эвклидтік емес кеңістіктердің күш өрісі». Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Іс жүргізу. 9: 116–133.
  6. ^ Шуен, Ян Арнольдус (1918). «Die Relekte Analysis zur neueren Relativiteitstheorie». Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen Te Amsterdam. 12 (6): 95.
  7. ^ Вейл, Герман (1918). «Gravitation und Elektrizitat». Sitzungsberichte Berliner Akademie: 465–480.
  8. ^ Вейл, Герман (1918). «Рейн шексіз геометриясы». Mathematische Zeitschrift. 2 (3–4): 384–411. дои:10.1007 / bf01199420.

Әдебиеттер тізімі

Сыртқы сілтемелер