Көп сызықты алгебра - Multilinear algebra

Жылы математика, көп сызықты алгебра әдістерін кеңейтеді сызықтық алгебра. Сызықтық алгебра а ұғымына негізделгендей вектор теориясын дамытады векторлық кеңістіктер, көп сызықты алгебра тұжырымдамаларына сүйенеді б-векторлар және мультивекторлар бірге Грассманн алгебрасы.

Шығу тегі

Векторлық кеңістігінде өлшем n, әдетте тек векторларды қарастырады. Сәйкес Герман Грассманн басқалары, бұл жорамал жұптардың, үштіктердің және жалпы құрылымдарды қарастырудың күрделілігін жіберіп алады мультивекторлар. Бірнеше комбинаторлық мүмкіндіктер болғандықтан, көпвекторлардың кеңістігі 2-ге тең боладыn өлшемдер. The детерминантты абстрактілі тұжырымдау ең жедел өтінім. Көп сызықты алгебраның әртүрлі икемділік модульдерімен кернеулерге және деформацияларға реакциясын механикалық зерттеуде қосымшалары бар. Бұл практикалық сілтеме сөзді қолдануға әкелді тензор көп сызықты кеңістіктің элементтерін сипаттау. Көп сызықты кеңістіктегі қосымша құрылым оны жоғары математиканың әртүрлі зерттеулерінде маңызды рөл ойнауға әкелді. Грассманн бұл тақырыпты 1844 жылы онымен бастады Ausdehnungslehreжәне 1862 жылы қайта басылған оның жұмысы баяу қабылданды, өйткені қарапайым сызықтық алгебра түсінуге жеткілікті қиындықтар тудырды.

Көп сызықты алгебра тақырыбы кейбір зерттеулерде қолданылады көп айнымалы есептеу және коллекторлар қайда Якоб матрицасы ойынға енеді. The шексіз аз дифференциалдар бір айнымалы есептеу болады дифференциалды формалар көп айнымалы есептеулерде және оларды манипуляциялау сыртқы алгебра.

Грассманнан кейін көп сызықты алгебраның дамуы 1872 жылы жасалған Виктор Шлегель өзінің бірінші бөлігін жариялаған кезде Raumlehre жүйесі, және Элвин Бруно Кристоффель. Жұмысында көп сызықты алгебрада үлкен жетістік болды Грегорио Риччи-Кербастро және Туллио Леви-Сивита (сілтемелерді қараңыз). Бұл болды абсолютті дифференциалдық есептеу көп сызықты алгебраның формасы Марсель Гроссманн және Мишель Бессо таныстырды Альберт Эйнштейн. 1915 жылы Эйнштейннің басылымы а жалпы салыстырмалылық үшін түсініктеме Меркурий периелийінің прецессиясы, физикалық маңызды математика ретінде көп сызықты алгебра мен тензорларды бекітті.

Алгебралық топологияда қолданыңыз

20 ғасырдың ортасында тензорларды зерттеу абстрактілі түрде қайта құрылды. The Бурбаки топтық трактат Көп сызықты алгебра әсіресе ықпалды болды - іс жүзінде бұл термин көп сызықты алгебра сонда шығар.[дәйексөз қажет ]

Сол кездегі бір себеп жаңа қолдану аймағы болды, гомологиялық алгебра. Дамуы алгебралық топология 1940 жылдардың ішінде алгебралық емдеуді дамытуға қосымша түрткі болды тензор өнімі. Есептеу гомологиялық топтар туралы өнім екеуінің топологиялық кеңістіктер тензор өнімін қамтиды; бірақ тек қарапайым жағдайларда, мысалы торус, бұл тікелей сол әдіспен есептеледі ме (қараңыз) Кюннет теоремасы ). Топологиялық құбылыстар өте жақсы болды, олар неғұрлым жақсы іргелі ұғымдарды қажет етті; техникалық тұрғыдан алғанда Tor функционалдары анықтау керек болды.

Ұйымдастырылатын материал өте кең болды, оның ішінде идеялар да бар Герман Грассманн, теориясынан алынған идеялар дифференциалды формалар әкелді де Рам когомологиясы сияқты көптеген қарапайым идеялар сына өнімі жалпылайтын кросс өнім.

Нәтижесінде тақырыпты өте қатал жазу (Бурбаки бойынша) векторлық есептеудегі бір тәсілді мүлдем жоққа шығарды ( кватернион маршрут, яғни жалпы жағдайда, қатынас Өтірік топтар ). Олар орнына жаңа тәсіл қолданды категория теориясы, Lie топтық тәсілімен жеке мәселе ретінде қаралды. Бұл әлдеқайда таза емдеуге әкелетіндіктен, тек математикалық тұрғыдан шегіну болмады. (Қатаң түрде, әмбебап меншік тәсіл қолданылды; бұл категория теориясына қарағанда әлдеқайда жалпылама, ал екеуінің өзара байланысы балама жолдар ретінде де нақтыланатын болды.)

Шынында да, жасалынған іс жүзінде мұны түсіндіру үшін жасалған тензор кеңістігі көп сызықты есептерді сызықтық есептерге азайтуға қажетті конструкциялар болып табылады. Бұл таза алгебралық шабуыл геометриялық интуицияны білдірмейді.

Оның артықшылығы мынада: көп сызықты алгебра тұрғысынан мәселелерді қайта өрнектей отырып, нақты және анықталған «ең жақсы шешім» бар: шешімнің шектеулері дәл сізге іс жүзінде қажет. Жалпы кез-келгенді шақырудың қажеті жоқ осы жағдай үшін құрылыс, геометриялық идея немесе үйлестіру жүйелеріне жүгіну. Санат-теориялық жаргонда барлығы толығымен табиғи.

Абстрактілі тәсіл туралы қорытынды

Негізінде дерексіз тәсіл дәстүрлі тәсіл арқылы жасалғанның бәрін қалпына келтіре алады. Іс жүзінде бұл өте қарапайым болып көрінбеуі мүмкін. Екінші жағынан, табиғилық сәйкес келеді жалпы коварианс принципі жалпы салыстырмалылық. Соңғысы айналысады тензор өрістері (тензорлар нүктеден нүктеге дейін өзгереді a көпжақты ), бірақ ковариация тензорлардың тілі жалпы салыстырмалылықты дұрыс тұжырымдау үшін өте маңызды деп санайды.

Бірнеше онжылдықтардан кейін категориялар теориясынан шыққан абстрактілі көзқарас 1930 жылдары қалыптасқан тәсілмен байланыстырылды Герман Вейл[Қалай? ] (абсолютті тензорлық талдау арқылы жалпы салыстырмалылық арқылы және оның кітабында қосымша жұмыс жасау арқылы) Классикалық топтар). Бір жағынан бұл теорияны толық шеңберге алып, бұрынғы және жаңа көзқарастардың мазмұнын тағы бір рет байланыстырды.

Көп сызықты алгебрадағы тақырыптар

Көп сызықты алгебраның тақырыбы өткен жылдармен салыстырғанда азырақ дамыды. Мұнда оған қатысты орталық беттер:

Бар тензор теориясының глоссарийі.

Қолданбалар

Көп сызықты алгебра ұғымдарын қолданудың кейбір тәсілдері:

Әдебиеттер тізімі

Екінші басылым (1977) Спрингер ISBN  3-540-90206-6.
Бөлім: Сыртқы алгебра және дифференциалды есептеу 1-ші басылымда №6, 2-ші нөмірде # 7.