Сызықтық комбинация - Linear combination

Жылы математика, а сызықтық комбинация болып табылады өрнек а-дан салынған орнатылды әр мүшені тұрақтыға көбейту және нәтижелерді қосу арқылы терминдер (мысалы, сызықтық комбинациясы х және ж форманың кез-келген көрінісі болар еді балта + арқылы, қайда а және б тұрақтылар).[1][2][3] Сызықтық комбинациялар тұжырымдамасы орталық болып табылады сызықтық алгебра және осыған байланысты математика салалары.Осы мақаланың көп бөлігі а контекстіндегі сызықтық комбинацияларды қарастырады векторлық кеңістік астам өріс, мақаланың соңында келтірілген кейбір жалпыламалармен.

Анықтама

Айталық Қ өріс болып табылады (мысалы, нақты сандар) және V - бұл векторлық кеңістік Қ. Әдеттегідей, біз элементтер деп атаймыз V векторлар және элементтерін шақыру Қ скалярлар.Егер v1,...,vn және векторлары болып табылады а1,...,аn скаляр болып табылады, содан кейін сол векторлардың коэффициент ретінде сол скалярмен сызықтық комбинациясы болып табылады

«Сызықтық комбинация» терминін қолдануда оның өрнекке немесе оның мәніне қатысты екендігі туралы екіұштылық бар. Көп жағдайда мәнге ерекше назар аударылады, өйткені «барлық сызықтық комбинацияларының жиынтығы v1,...,vn әрқашан қосалқы кеңістікті құрайды «. Сонымен бірге» екі түрлі сызықтық комбинациялар бірдей мәнге ие бола алады «деп айтуға болады, бұл жағдайда сілтеме өрнекке сілтеме жасалады. Бұл қолданыстар арасындағы нәзік айырмашылық - бұл ұғымның мәні сызықтық тәуелділік: отбасы F векторлары сызықтық тәуелсіз, егер векторлардың кез-келген сызықтық тіркесімі болса F (мән ретінде) ерекше (өрнек ретінде). Кез-келген жағдайда, тіпті өрнектер ретінде қарастырылған кезде де, сызықтық комбинацияның әрқайсысының коэффициенті маңызды vмен; терминдерді ауыстыру немесе нөлдік коэффициентпен шарттарды қосу сияқты тривиальды түрлендірулер нақты сызықтық комбинацияларды тудырмайды.

Берілген жағдайда, Қ және V нақты көрсетілуі мүмкін немесе олар контекстен айқын болуы мүмкін. Бұл жағдайда біз жиі айтамыз векторлардың сызықтық комбинациясы v1,...,vn, анықталмаған коэффициенттермен (олар тиесілі болуын қоспағанда) Қ). Немесе, егер S Бұл ішкі жиын туралы V, біз туралы айтуға болады векторларының сызықтық комбинациясы, мұнда коэффициенттер де, векторлар да анықталмаған, тек векторлар жиынға тиесілі болуы керек S (және коэффициенттер тиесілі болуы керек Қ). Соңында, біз жай ғана айтуға болады сызықтық комбинация, онда ештеңе көрсетілмеген (тек векторлар тиесілі болуы керек) V және коэффициенттер тиесілі болуы керек Қ); бұл жағдайда өрнекке сілтеме жасалуы мүмкін, өйткені әрбір вектор V әрине, кейбір сызықтық комбинацияның мәні.

Анықтама бойынша сызықтық комбинация тек қана қамтиды шектеулі көптеген векторлар (сипатталғандардан басқа) Жалпылау Алайда, жиынтық S векторлар алынған (егер олар туралы айтылған болса) әлі де болуы мүмкін шексіз; әрбір жеке сызықтық комбинация тек көптеген векторларды қамтиды, сонымен қатар бұған себеп жоқ n болмайды нөл; бұл жағдайда сызықтық комбинацияның нәтижесі болып шартты түрде жариялаймыз нөлдік вектор жылы V.

Мысалдар және контрмысалдар

Евклидтік векторлар

Өріске рұқсат етіңіз Қ жиынтық болуы R туралы нақты сандар, және векторлық кеңістік болсын V болуы Евклид кеңістігі R3.Векторларды қарастырыңыз e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) және e3 = (0,0,1) .Содан кейін кез келген вектор жылы R3 -ның сызықтық комбинациясы болып табылады e1, e2 жәнеe3.

Бұл солай екенін көру үшін ерікті векторды алыңыз (а1,а2,а3) R3, және жазыңыз:

Функциялар

Келіңіздер Қ жиынтық болуы C бәрінен де күрделі сандар және рұқсат етіңіз V жиынтығы CC(R) бәрінен үздіксіз функциялар бастап нақты сызық R дейін күрделі жазықтық C.Векторларды (функцияларды) қарастыру f және ж арқылы анықталады f(т) := eбұл және ж(т) := eбұл.(Мұнда, e болып табылады табиғи логарифмнің негізі, шамамен 2.71828 ..., және мен болып табылады ойдан шығарылған бірлік, −1 квадрат түбірі.) -ның кейбір түзу тіркесімдері f және ж мыналар:

Екінші жағынан, тұрақты 3 функциясы болып табылады емес сызықтық тіркесімі f және ж. Мұны көру үшін 3-тің сызықтық комбинациясы түрінде жазылуы мүмкін делік eбұл және eбұл. Бұл күрделі скалярлар болатынын білдіреді а және б осындай аебұл + болуыбұл = 3 барлық нақты сандар үшін т. Параметр т = 0 және т = π теңдеулерді береді а + б = 3 және а + б = −3, және бұл мүмкін емес. Қараңыз Эйлердің жеке басы.

Көпмүшелер

Келіңіздер Қ болуы R, C, немесе кез-келген өрісті жіберіңіз V жиынтық болуы P бәрінен де көпмүшелер өрістен алынған коэффициенттермен Қ.Векторларды қарастырыңыз (көпмүшеліктер) б1 := 1, б2 := х + 1, және б3 := х2 + х + 1.

Көпмүшелік х2 - 1 сызықтық тіркесімі б1, б2, және б3Мұны білу үшін осы векторлардың ерікті сызықтық комбинациясын қарастырып, оның қажетті векторға қашан тең екенін көруге тырысыңыз х2 - 1. Ерікті коэффициенттерді таңдау а1, а2, және а3, Біз қалаймыз

Көпмүшелерді көбейту, бұл дегеніміз

сияқты қуаттарды жинау х, Біз алып жатырмыз

Екі көпмүше тең егер және егер болса олардың сәйкес коэффициенттері тең, сондықтан қорытынды жасауға болады

Бұл сызықтық теңдеулер жүйесі Біріншіден, мұны бірінші теңдеу жай айтады а3 дегеніміз 1. біз екінші теңдеуді шеше аламыз а2, ол −1-ге шығады.Соңында соңғы теңдеу осыны айтады а1 Сонымен қатар, −1.Сондықтан, сызықтық комбинацияны алудың жалғыз әдісі осы коэффициенттерде болады.

сондықтан х2 − 1 болып табылады сызықтық тіркесімі б1, б2, жәнеб3.

Екінші жағынан, көпмүшелік туралы не айтуға болады х3 - 1? Егер біз осы векторды сызықтық комбинацияға айналдыруға тырысатын болсақ б1, б2, және б3, содан кейін алдыңғы процедурадан кейін біз теңдеуді аламыз

Алайда, бұл жағдайда сәйкес коэффициенттерді теңдегенде, үшін теңдеу х3 болып табылады

Бұл әрқашан жалған, сондықтан жұмыс істеуге ешқандай мүмкіндік жоқ х3 - 1 емес сызықтық тіркесімі б1, б2, жәнеб3.

Сызықтық аралық

Еркін өрісті таңдаңыз Қ, ерікті векторлық кеңістік Vжәне рұқсат етіңіз v1,...,vn векторлар болу VЖиынтығын қарастыру қызықты барлық осы векторлардың сызықтық комбинациясы. Бұл жиынтық деп аталады сызықтық аралық (немесе жай аралық) векторлардың, S = {деп айтыңызv1,...,vn}. S аралығын span (S) немесе sp (S) деп жазамыз:

Сызықтық тәуелсіздік

Кейбір векторлар жиынтығы үшін v1,...,vn, бір векторды сызықтық комбинациясы ретінде екі түрлі жолмен жазуға болады:

Бұларды алып тастау арқылытривиальды емес комбинация нөлге тең:

Егер бұл мүмкін болса, онда v1,...,vn деп аталады сызықтық тәуелді; әйтпесе, олар сызықтық тәуелсіз.Сонымен қатар, ерікті жиынның сызықтық тәуелділігі немесе тәуелсіздігі туралы айтуға болады S векторлардың

Егер S сызықтық тәуелсіз және оның аралығы S тең V, содан кейін S Бұл негіз үшін V.

Аффинді, конустық және дөңес комбинациялары

Сызықтық комбинацияларда қолданылатын коэффициенттерді шектей отырып, байланысты ұғымдарды анықтауға болады аффиналық тіркесім, конустық комбинация, және дөңес тіркесім, және осы операциялар шеңберінде жабылған жиындардың байланысты түсініктері.

Комбинация түріКоэффициенттер бойынша шектеулерЖинақтың атауыҮлгі кеңістігі
Сызықтық комбинацияшектеулер жоқВекторлық кеңістік
Аффинді біріктіруАффиндік ішкі кеңістікАффин гиперплан
Конустық комбинацияДөңес конусТөрттік, октант, немесе ортант
Дөңес комбинация және Дөңес жиынтықҚарапайым

Себебі бұлар көбірек шектелген операциялар, олардың астында қосымша жиындар жабылады, сондықтан аффинді ішкі топтар, дөңес конустар және дөңес жиынтықтар жалпылау векторлық ішкі кеңістіктер: векторлық ішкі кеңістік сонымен қатар аффиндік кеңістік, дөңес конус және дөңес жиынтық болып табылады, бірақ дөңес жиынтық векторлық ішкі кеңістік, аффин немесе дөңес конус болмауы керек.

Бұл ұғымдар көбінесе объектілердің белгілі бір сызықтық комбинацияларын алуға болатын кезде пайда болады, бірақ олардың ешқайсысы емес: мысалы, ықтималдық үлестірімдері дөңес тіркесіммен жабылған (олар дөңес жиынтықты құрайды), бірақ конустық немесе аффиндік емес (немесе сызықтық) тіркесімдер және оң шаралар конустық тіркесіммен жабылған, бірақ аффинді немесе сызықтық емес - сондықтан оны анықтайды қол қойылған шаралар сызықтық жабылу ретінде.

Сызықтық және аффиналық тіркесімдерді кез-келген өрісте (немесе сақинада) анықтауға болады, бірақ конустық және дөңес тіркесімде «оң» ұғымы қажет, демек, тек тапсырыс берілген өріс (немесе сақина тапсырыс берді ), жалпы нақты сандар.

Егер біреу қосуға емес, тек скалярлық көбейтуге мүмкіндік берсе, онда a (міндетті түрде дөңес емес) шығады конус; көбінесе анықтаманы тек оң скалярмен көбейтуге мүмкіндік береді.

Бұл ұғымдардың барлығы, әдетте, тәуелсіз аксиоматизацияланғаннан гөрі, қоршаған орта векторлық кеңістігінің ішкі жиынтықтары ретінде анықталады (аффиналық кеңістіктерді қоспағанда, олар «шығу тегін ұмытып кететін векторлық кеңістіктер» ретінде де қарастырылады).

Операд теориясы

Тілімен айтқанда абстрактілі опера теориясы, векторлық кеңістікті деп санауға болады алгебралар операның үстінде (шексіз тікелей сома, сондықтан тек көптеген терминдер нөлге тең емес; бұл тек соңғы қосындыларды қабылдауға сәйкес келеді), бұл сызықтық комбинацияларды параметрлейді: вектор мысалы, сызықтық комбинацияға сәйкес келеді . Сол сияқты аффиналық комбинацияларды, конустық комбинацияларды және дөңес тіркесімдерді қосымшалар 1-ге тең болатын, қосымшалар сәйкесінше теріс емес немесе екеуін қосатын субперадаларға сәйкес келеді деп санауға болады. Графикалық түрде бұл шексіз аффинді гиперплан, шексіз гипер-октант және шексіз симплекс. Бұл нені білдіретінін рәсімдейді стандартты симплекс болу немесе модельдік кеңістіктер, сондай-ақ барлық шектеулер сияқты бақылаулар дөңес политоп бұл симплекстің бейнесі. Мұнда субперадалар шектеулі операцияларға сәйкес келеді және осылайша жалпы теорияларға сәйкес келеді.

Осы тұрғыдан алғанда, біз сызықтық комбинацияларды векторлық кеңістіктегі ең жалпы жұмыс түрі ретінде қарастыра аламыз - векторлық кеңістік - бұл сызықтық комбинациялар операциясының үстіндегі алгебра деген сөз. бәрі мүмкін векторлық кеңістіктегі алгебралық амалдар - сызықтық комбинациялар.

Қосудың және скалярды көбейтудің негізгі операциялары, аддитивті сәйкестіліктің және аддитивті инверстің болуымен, жалпы сызықтық комбинациядан гөрі күрделі түрде біріктірілуі мүмкін емес: негізгі амалдар генератор жиынтығы барлық сызықтық комбинациялардың операсы үшін.

Сайып келгенде, бұл факт векторлық кеңістікті зерттеудегі сызықтық комбинациялардың пайдалылығының негізінде жатыр.

Жалпылау

Егер V Бұл топологиялық векторлық кеңістік, содан кейін белгілі бір нәрсені түсінудің жолы болуы мүмкін шексіз топологиясын қолдана отырып, сызықтық комбинациялар V.Мысалға, біз туралы айтуға болады а1v1 + а2v2 + а3v3 + ..., мәңгілікке жалғасады.Осындай шексіз сызықтық комбинациялар әрқашан мағыналы бола бермейді; біз оларды атаймыз конвергентті Бұл жағдайда сызықтық комбинацияларға рұқсат беру аралық, сызықтық тәуелсіздік және негіз туралы басқа түсінікке әкелуі мүмкін.Топологиялық векторлық кеңістіктің әр түрлі хош иістері туралы мақалалар бұл туралы толығырақ баяндайды.

Егер Қ Бұл ауыстырғыш сақина өрістің орнына жоғарыда сызықтық комбинациялар туралы айтылғандардың барлығы осы жағдайды өзгеріссіз жалпылайды, тек айырмашылық - біз осылай кеңістік деп атаймыз V модульдер векторлық кеңістіктердің орнына Қ Бұл қарапайым емес сақина, содан кейін тұжырымдама әлі бір жалпылама түрде ескертеді: Коммутативті емес сақиналардың үстіндегі модульдер сол және оң жақ нұсқаларында болғандықтан, біздің сызықтық комбинациялар берілген модульге сәйкес келетін кез-келген нұсқада болуы мүмкін. дұрыс жағында скалярлық көбейтуді орындау туралы мәселе.

Неғұрлым күрделі бұралу қашан пайда болады V Бұл екі модуль екі сақинадан, ҚL және ҚR.Осы жағдайда ең жалпы сызықтық комбинация ұқсайды

қайда а1,...,аn тиесілі ҚL, б1,...,бn тиесілі ҚR, және v1,...,vn тиесілі V.

Қолдану

Сызықтық комбинацияларды қолдану маңызды болып табылады толқындық функциялар жылы кванттық механика.

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Lay, David C. (2006). Сызықтық алгебра және оның қолданылуы (3-ші басылым). Аддисон – Уэсли. ISBN  0-321-28713-4.
  2. ^ Странг, Гилберт (2006). Сызықтық алгебра және оның қолданылуы (4-ші басылым). Брукс Коул. ISBN  0-03-010567-6.
  3. ^ Аклер, Шелдон (2002). Сызықтық алгебра дұрыс жасалды (2-ші басылым). Спрингер. ISBN  0-387-98258-2.

Сыртқы сілтемелер