Бимодуль - Bimodule

Жылы абстрактілі алгебра, а екі модуль болып табылады абель тобы бұл сол да, оң да модуль, солға және оңға көбейту үйлесімді болатындай. Математиканың көптеген бөліктерінде табиғи түрде пайда болудан басқа, бимодульдер нақтылау рөлін атқарады, өйткені сол және оң модульдер арасындағы көптеген қатынастар бимодульдермен өрнектелгенде қарапайым болады.

Анықтама

Егер R және S екеуі сақиналар, содан кейін R-S-екі модуль - абелия тобы осылай:

  1. М сол жақ R-модуль және оң S-модуль.
  2. Барлығына р жылы R, с жылы S және м жылы М:

Ан R-R-модуль сонымен қатар an ретінде белгілі R-бимодуль.

Мысалдар

  • Натурал сандар үшін n және м, жиынтық Мn,м(R) of n × м матрицалар туралы нақты сандар болып табылады R-S-бимодуль, қайда R сақина Мn(R) of n × n матрицалар, және S сақина Мм(R) of м × м матрицалар. Қосу және көбейту әдеттегі ережелерді қолдану арқылы жүзеге асырылады матрица қосу және матрицаны көбейту; көбейту анықталатындай матрицалардың биіктігі мен ені таңдалған. Ескертіп қой Мn,м(R) өзі сақина емес (егер болмаса n = м), өйткені көбейту ан n × м матрица басқа n × м матрица анықталмаған. Екі модульдің маңызды қасиеті (rx)с = р(xs), бұл матрицаларды көбейту деген тұжырым ассоциативті.
  • Егер R сақина, содан кейін R өзін а деп санауға болады R-R-модуль көбейту үшін солға және оңға әрекеттерді қолдану арқылы - әрекеттерді ассоциативтілікпен ауыстыру. Мұны кеңейтуге болады Rn ( n-қатысу тікелей өнім туралы R).
  • Кез-келген екі жақты идеалды сақина R болып табылады R-R-бимодуль.
  • А. Кез келген модуль ауыстырғыш сақина R автоматты түрде екі модуль болып табылады. Мысалы, егер М сол жақтағы модуль, оң жақтағы көбейтуді сол жақтағы көбейту сияқты анықтай аламыз. (Алайда бәрі емес R-бимодульдер осылай пайда болады.)
  • Егер М сол жақ R-модуль, содан кейін М болып табылады R-З-бимодуль, қайда З сақинасы болып табылады бүтін сандар. Сол сияқты, дұрыс R-модульдер ретінде түсіндірілуі мүмкін З-R-бимодулалар, және абелия тобы а ретінде қарастырылуы мүмкін З-З-бимодуль.
  • Егер R Бұл қосылу туралы S, содан кейін S болып табылады R-R-бимодуль. Бұл сондай-ақ R-S- және ан S-R-бимодуль.
  • Егер М болып табылады S-R-бимодуль және N болып табылады R-Т-бимодуль, содан кейін болып табылады S-Т-бимодуль.

Бұдан кейінгі түсініктер мен фактілер

Егер М және N болып табылады R-S-бимодульдер, содан кейін карта f : МN Бұл екі модульді гомоморфизм егер бұл сол жақтың гомоморфизмі болса R-модульдер және оң жақта S-модульдер.

Ан R-S-бимодуль - бұл сақинаның үстіндегі сол жақ модульмен бірдей , қайда болып табылады қарама-қарсы сақина туралы S (көбейтуді айналдыра отырып). Бимодульдік гомоморфизмдер сол жақтағы гомоморфизмдермен бірдей модульдер. Осы фактілерді қолдана отырып, модульдер туралы көптеген анықтамалар мен тұжырымдарды бірден анықтамалар мен бимодульдер туралы мәлімдемелерге аударуға болады. Мысалы, санат бәрінен де R-S-бимодульдер болып табылады абель және стандарт изоморфизм теоремалары бимодульдер үшін жарамды.

Алайда, бимодульдер әлемінде кейбір жаңа эффекттер бар, әсіресе бұл туралы сөз болғанда тензор өнімі: егер М болып табылады R-S-бимодуль және N болып табылады S-Т-бимодуль, содан кейін тензор көбейтіндісі М және N (сақинаның үстінен алынды S) болып табылады R-Т-бимодуль табиғи түрде. Бимодульдердің бұл тензор көбейтіндісі ассоциативті (дейін бірегей канондық изоморфизм), сондықтан объектілері сақиналар, ал морфизмдері бимодулалар болып табылатын категорияны құруға болады. Бұл шын мәнінде а 2-санат, канондық жолмен - арасындағы 2 морфизм R-S-бимодульдер М және N дәл екі модульді гомоморфизмдер, яғни функциялар

қанағаттанарлық

  1. ,

үшін мМ, рR, және сS. Бимодуль гомоморфизмінің алмасу заңын бірден тексереді, яғни.

теңдеудің кез-келген жағы (демек, екінші жағы) анықталған кезде де болады, ал мұндағы ∘ - гомоморфизмдердің әдеттегі құрамы. Бұл интерпретацияда категория Соңы(R) = Бимод(R, R) дәл сол моноидты категория туралы R-R-бимодульдер әдеттегідей тензор өнімі саннан жоғары тензор көбейтіндісі. Атап айтқанда, егер R Бұл ауыстырғыш сақина, солға немесе оңға R-модуль канондық түрде ан R-R- санатты моноидты ендіруге мүмкіндік беретін екі модуль R-Мод ішіне Бимод(R, R). Бұл жағдайда R Бұл өріс Қ симметриялы моноидты категорияның уәжді мысалы болып табылады, бұл жағдайда R-Мод = Қ-Вект, векторлық кеңістіктер категориясы аяқталды Қ, әдеттегі тензор өнімі бар моноидты құрылымды бере отырып, және бірлікпен Қ. Біз сондай-ақ а моноидты жылы Бимод(R, R) дәл R-алгебра. Қараңыз (2003 ж. Көшесі).[1]Сонымен қатар, егер М болып табылады R-S-бимодуль және L болып табылады Т-S-бимодуль, содан кейін орнатылды ХомS(М, L) бәрінен де S-ден модуль гомоморфизмі М дейін L а болады Т-R- табиғи модуль. Бұл мәлімдемелер алынған функционалдар Қосымша және Тор.

Профессорлар бимодульдерді категориялық жалпылау ретінде қарастыруға болады.

Бимодульдер мүлдем байланысты емес екенін ескеріңіз қос бибралар.

Сондай-ақ қараңыз

Пайдаланылған әдебиеттер

  1. ^ Street, Ross (20 наурыз 2003). «Тектік теорияның категориялық және комбинаторлық аспектілері». arXiv:математика / 0303175.