Коммутативті сақина - Википедия - Commutative ring

Бұл мақала қолданады HTML түзетуі. өтінемін Көмектесіңдер HTML белгілеуін өзгерту арқылы Уики белгілеу қажет болған жағдайда. Мәселелі тегтерді табуға немесе ауыстыруға көмек алу үшін қараңыз нұсқаулық. (Қазан 2020) Осы бетте табылған нақты тегтерге (басқалары болуы мүмкін) кіреді: сілтеме

Жылы сақина теориясы, филиалы абстрактілі алгебра, а ауыстырғыш сақина Бұл сақина көбейту операциясы орындалатын ауыстырмалы. Коммутативті сақиналарды зерттеу деп аталады ауыстырмалы алгебра. Қосымша, алгебра зерттеу болып табылады жалпы емес сақиналар мұнда көбейтудің ауыстырымдылығы қажет емес.

Алгебралық құрылым → Сақина теориясы Сақина теориясы
Негізгі түсініктер Сақиналар • Субрингтер • Идеал • Сақина сақинасы • Бөлшек идеал • Жалпы сақина • Өнім сақинасы • Ассоциативті алгебралардың ақысыз өнімі • Сақиналардың тензорлық өнімі Сақиналы гомоморфизмдер • Ядро • Ішкі автоморфизм • Фробениус эндоморфизмі Алгебралық құрылымдар • Модуль • Ассоциативті алгебра • Бағаланған сақина • Ерекше сақина • Сақиналардың санаты • Бастапқы сақина ${ displaystyle mathbb {Z}}$ • Терминал сақинасы ${ displaystyle 0 = mathbb {Z} _ {1}}$ Байланысты құрылымдар • Өріс • Соңғы өріс • Ассоциативті емес сақина • Өтірік сақина • Джордан сақинасы • Семиринг • Жартылай алаң
Коммутативті алгебра Коммутативті сақиналар • Интегралды домен • Интегралды түрде жабық домен • GCD домені • Факторизацияның бірегей домені • Негізгі идеалды домен • Евклидтік домен • Өріс • Соңғы өріс • Композициялық сақина • Көпмүшелік сақина • Ресми қуат сериясы сақинасы Алгебралық сандар теориясы • Алгебралық сан өрісі • Бүтін сандар сақинасы • Алгебралық тәуелсіздік • Трансценденталды сандар теориясы • Трансценденттілік дәрежесі б-адикалы сандар теориясы және ондықтар • Тікелей шектеу /Кері шек • Нөлдік сақина ${ displaystyle mathbb {Z} _ {1}}$ • Бүтін модульдер бn ${ displaystyle mathbb {Z} / p ^ {n} mathbb {Z}}$ • Прюфер б-жіңішке ${ displaystyle mathbb {Z} (p ^ { infty})}$ • Негіз -б шеңбер сақинасы ${ displaystyle mathbb {T}}$ • Негіз -б бүтін сандар ${ displaystyle mathbb {Z}}$ • б-адикалық рационалдар ${ displaystyle mathbb {Z} [1 / p]}$ • Негіз -б нақты сандар ${ displaystyle mathbb {R}}$ • б- әдеттегі бүтін сандар ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ • б-адикалық сандар ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ • б-адик электромагниті ${ displaystyle mathbb {T} _ {p}}$ Алгебралық геометрия • Аффин түрлілігі
Коммутативті емес алгебра Коммутативті емес сақиналар • Дивизион сақинасы • Жартылай сақина • Қарапайым сақина • Коммутатор Коммутативті емес алгебралық геометрия Тегін алгебра Клиффорд алгебрасы • Геометриялық алгебра Оператор алгебрасы

Анықтама және алғашқы мысалдар

Анықтама

A сақина Бұл орнатылды R екеуімен жабдықталған екілік амалдар, яғни сақинаның кез-келген екі элементін үштен біріне біріктіретін операциялар. Олар аталады қосу және көбейту және әдетте «+» және «⋅» арқылы белгіленеді; мысалы а + б және а ⋅ б. Сақина құру үшін осы екі амал бірқатар қасиеттерді қанағаттандыруы керек: сақина an болуы керек абель тобы сонымен қатар а моноидты көбейту астында, мұнда көбейту таратады үстеме қосу; яғни, а ⋅ (б + c) = (а ⋅ б) + (а ⋅ c). Қосу және көбейту үшін сәйкестендіру элементтері сәйкесінше 0 және 1 деп белгіленеді.

Егер көбейту коммутативті болса, яғни.

а ⋅ б = б ⋅ а,

содан кейін сақина R аталады ауыстырмалы. Осы мақаланың қалған бөлігінде, егер басқаша айтылмаса, барлық сақиналар коммутативті болады.

Бірінші мысалдар

Маңызды мысал және кейбір мағынада шешуші болып табылады бүтін сандар сақинасы З қосу және көбейтудің екі операциясымен. Бүтін сандарды көбейту ауыстырымды амал болғандықтан, бұл ауыстырмалы сақина. Ол әдетте белгіленеді З аббревиатурасы ретінде Неміс сөз Захлен (сандар).

A өріс бұл ауыстырылатын сақина ${ displaystyle 0 not = 1}$ және әрқайсысы нөлге тең емес элемент а аударылатын; яғни, мультипликативті кері болады б осындай а ⋅ б = 1. Демек, анықтама бойынша кез-келген өріс коммутативті сақина болып табылады. The рационалды, нақты және күрделі сандар форма өрістері.

Егер R берілген коммутативті сақина, содан кейін барлығының жиынтығы көпмүшелер айнымалыда X коэффициенттері R құрайды көпмүшелік сақина, деп белгіленді R[X]. Бұл бірнеше айнымалыларға қатысты.

Егер V кейбіреулері топологиялық кеңістік, мысалы, кейбіреулерінің жиынтығы Rⁿ, нақты немесе күрделі мәнді үздіксіз функциялар қосулы V ауыстыратын сақина құрайды. Дәл сол үшін қолданылады ажыратылатын немесе голоморфты функциялар үшін, сияқты екі ұғым анықталған кезде V а күрделі көпжақты.

Бөлінгіштік

Әр нөлдік емес элемент мультипликативті түрде қайтымды болатын өрістерден айырмашылығы сақиналарға бөлінгіштік бай. Элемент а сақина R а деп аталады бірлік егер ол мультипликативті кері мәнге ие болса. Элементтің тағы бір ерекше түрі нөлдік бөлгіштер, яғни элемент а нөлге тең емес элемент болатындай б сақина осындай аб = 0. Егер R нөлге тең емес бөлгіштері жоқ, оны ан деп атайды интегралды домен (немесе домен). Элемент а қанағаттанарлық аⁿ = 0 оң сан үшін n аталады әлсіз.

Локализация

The оқшаулау сақина дегеніміз - бұл кейбір элементтер төңкерілетін, яғни мультипликативті инверстер сақинаға қосылатын процесс. Егер нақты болса S Бұл көбейтілген жабық жиын туралы R (яғни, қашан болса да) с, т ∈ S олай болса ст) содан кейін оқшаулау туралы R кезінде S, немесе фракциялар сақинасы бөлгіштерімен S, әдетте белгіленеді S⁻¹R белгілерден тұрады

${ displaystyle { frac {r} {s}}}$ бірге р ∈ R, с ∈ S

рационалды сандардан таныс жоюды имитациялайтын белгілі бір ережелерге бағынады. Шынында да, осы тілде Q локализациясы болып табылады З нөлдік емес бүтін сандар. Бұл құрылыс кез-келген интегралды домен үшін жұмыс істейді R орнына З. Локализация (R \ {0})⁻¹R - деп аталатын өріс өріс туралы R.

Идеалдар мен модульдер

Келесі ұғымдардың көпшілігі міндетті түрде коммутативті сақиналар үшін де кездеседі, бірақ анықтамалары мен қасиеттері әдетте күрделі. Мысалы, коммутативті сақинадағы барлық идеалдар автоматты түрде болады екі жақты, бұл жағдайды айтарлықтай жеңілдетеді.

Модульдер мен идеалдар

Сақина үшін R, an R-модуль М өріске арналған векторлық кеңістіктің мәні сияқты. Яғни, модульдегі элементтерді қосуға болады; оларды элементтерге көбейтуге болады R векторлық кеңістікке ұқсас аксиомаларға бағынады. Модульдерді зерттеу векторлық кеңістікке қарағанда едәуір көбірек қатысады сызықтық алгебра, векторлық кеңістіктің бірнеше ерекшеліктері жалпы модульдер үшін сәтсіздікке ұшырағандықтан: модульдер қажет емес Тегін, яғни форманың

${ displaystyle M = bigoplus _ {i in I} R.}$

Тегін модульдер үшін де ақысыз модуль дәрежесі (яғни векторлық кеңістіктің өлшемінің аналогы) жақсы анықталмаған болуы мүмкін. Сонымен, ақырғы модульдердің субмодульдерін түпкілікті құру қажет емес (егер болмаса) R Ноетрийлік, қараңыз төменде ).

Идеал

Идеал сақина R болып табылады субмодульдер туралы R, яғни модульдер R. Толығырақ, идеал Мен бос емес жиынтығы болып табылады R бәріне арналған р жылы R, мен және j жылы Мен, екеуі де ri және мен + j бар Мен. Әр түрлі қосымшалар үшін сақинаның идеалдарын түсіну ерекше маңызды, бірақ көбіне жалпы модульдерді оқып үйрену арқылы пайда болады.

Кез-келген сақинаның екі идеалы бар, атап айтқанда нөлдік идеал {0} және R, бүкіл сақина. Бұл екі идеал тек егер олар болса R өріс. Кез келген ішкі жиын берілген F = {f_j}_{j ∈ Дж} туралы R (қайда Дж бұл қандай да бір индекс жиынтығы), идеал жасаған F қамтитын ең кішкентай идеал F. Эквивалентті, ол ақырлы түрде беріледі сызықтық комбинациялар

р₁f₁ + р₂f₂ + ... + р_nf_n.

Негізгі идеалды домендер

Егер F бір элементтен тұрады р, жасаған идеал F еселіктерінен тұрады р, яғни форманың элементтері rs ерікті элементтер үшін с. Мұндай идеал а деп аталады негізгі идеал. Егер әрбір идеал негізгі идеал болса, R а деп аталады негізгі идеалды сақина; екі маңызды жағдай З және к[X], өріс үстіндегі көпмүшелік сақина к. Бұл екеуі қосымша домендер, сондықтан олар аталады негізгі идеалды домендер.

Жалпы сақиналардан айырмашылығы, негізгі идеалды домен үшін жеке элементтердің қасиеттері тұтасымен сақинаның қасиеттерімен тығыз байланысты. Мысалы, кез-келген негізгі идеалды домен R Бұл бірегей факторизация домені (UFD), бұл кез-келген элементтің (факторларды қайта реттеуге дейін) ерекше тәсілмен төмендетілмейтін элементтердің өнімі екенін білдіреді. Міне, элемент а доменде деп аталады қысқартылмайтын егер оны өнім ретінде көрсетудің жалғыз тәсілі болса

а = б.з.д.,

екеуі де б немесе c бірлік. Мысал, маңызды өріс теориясы, болып табылады қысқартылмайтын көпмүшелер, яғни, ішіндегі төмендетілмейтін элементтер к[X], өріс үшін к. Бұл факт З UFD-ді кез-келген натурал сан жай сандардың дәрежелерінің көбейтіндісі ретінде ерекше түрде ыдыратылуы мүмкін деп айтуға болады. Ол сондай-ақ арифметиканың негізгі теоремасы.

Элемент а Бұл қарапайым элемент егер болса да а өнімді бөледі б.з.д., а бөледі б немесе c. Доменде бірінші дәрежедегі болу дегеніміз төмендетілмейтін дегенді білдіреді. Керісінше бірегей факторизация саласында шындық, ал жалпы жалған.

Фактор сақинасы

Идеалдардың анықтамасы «бөліну» Мен «тыс» тағы бір сақинаны береді фактор сақинасы R / Мен: бұл жиынтығы ғарыш туралы Мен операциялармен бірге

(а + Мен) + (б + Мен) = (а + б) + Мен және (а + Мен)(б + Мен) = аб + Мен.

Мысалы, сақина З/nЗ (сонымен бірге белгіленеді З_n), қайда n бүтін сан, бұл бүтін сандар сақинасы болып табылады n. Бұл негізі модульдік арифметика.

Идеал - бұл дұрыс егер ол бүкіл сақинадан қатаң кішірек болса. Қандай да бір идеалда қатаң қамтылмаған идеал деп аталады максималды. Идеал м максималды егер және егер болса R / м өріс. Қоспағанда нөлдік сақина, кез-келген сақина (идентификациясы бар) кем дегенде бір максималды идеалға ие; бұл келесіден Зорн леммасы.

Ноетриялық сақиналар

Сақина деп аталады Ноетриялық (құрметіне) Эмми Нетер, кім бұл тұжырымдаманы жасады) егер әрқайсысы болса мұраттар тізбегі

0 ⊆ Мен₀ ⊆ Мен₁ ... ⊆ Мен_n ⊆ Мен_{n + 1} ⊆ ...

стационарлы болады, яғни қандай да бір индекстен тыс тұрақты болады n. Эквивалентті түрде кез-келген идеалды көптеген элементтер тудырады, немесе, баламасы, субмодульдер ақырлы құрылған модульдер ақырлы түрде жасалады.

Ноетрия болу - бұл өте маңызды аяқталу шарты, және шарт геометрияда жиі кездесетін көптеген операциялар кезінде сақталады. Мысалы, егер R Ноетрийлік болса, полиномдық сақина да солай R[X₁, X₂, ..., X_n] (бойынша Гильберттің негізгі теоремасы ), кез-келген локализация S⁻¹R, сондай-ақ кез-келген фактор сақинасы R / Мен.

Кез-келген нотериалды емес сақина R болып табылады одақ оның ноетриялық қосалқы аймақтары. Ретінде белгілі бұл факт Ноетриялықтардың жуықтауы, кейбір теоремаларды нотериялық емес сақиналарға дейін кеңейтуге мүмкіндік береді.

Артина сақиналары

Сақина деп аталады Артиан (кейін Эмиль Артин ), егер әрбір төмендейтін мұраттар тізбегі

R ⊇ Мен₀ ⊇ Мен₁ ... ⊇ Мен_n ⊇ Мен_{n + 1} ⊇ ...

соңында стационарлық болады. Симметриялы болып көрінетін екі жағдайға қарамастан, ноетрия сақиналары артиниан сақиналарына қарағанда әлдеқайда жалпы. Мысалға, З Ноетрия, өйткені кез-келген идеалды бір элемент тудыруы мүмкін, бірақ тізбектегідей Артиниан емес

З ⊋ 2З ⊋ 4З ⊋ 8З ⊋ ...

көрсетеді. Іс жүзінде Хопкинс-Левицки теоремасы, әр артиниан сақинасы - нетрия. Дәлірек айтқанда, Артиниан сақиналарын Крулл өлшемі нөлге тең болатын нетриялық сақиналар деп сипаттауға болады.

Коммутативті сақина спектрі

Басты идеалдар

Жоғарыда айтылғандай, З Бұл бірегей факторизация домені. Бұл жалпы сақиналарға қатысты емес, өйткені алгебристер 19 ғасырда іске асырды. Мысалы, in

${ displaystyle mathbf {Z} [{ sqrt {-5}}],}$

6-ны өнім ретінде жазудың екі нақты тәсілі бар:

${ displaystyle 6 = 2 cdot 3 = (1 + { sqrt {-5}}) (1 - { sqrt {-5}}).}$

Басты идеалдар, қарапайым элементтерге қарағанда, бұл мәселені айналып өтуге мүмкіндік береді. Негізгі идеал - бұл тиісті (яғни, қатаң түрде қамтылған) R) идеалды б кез келген өнім аб кез келген екі сақина элементтерінің а және б ішінде б, екі элементтің кем дегенде біреуі қазірдің өзінде б. (Анықтама бойынша кез-келген идеалға қарама-қарсы қорытынды жасалады). Сонымен, егер негізгі идеал негізгі болса, оны қарапайым элемент эквивалентті түрде жасайды. Алайда, сияқты сақиналарда ${ displaystyle mathbf {Z} [{ sqrt {-5}}]}$, басты идеалдар басты болмауы керек. Бұл сақина теориясында қарапайым элементтердің қолданылуын шектейді. Алгебралық сандар теориясының негізі болып табылады, дегенмен, кез-келгенінде Сақиналар (ол кіреді ${ displaystyle mathbf {Z} [{ sqrt {-5}}]}$ және жалпы сан өрісіндегі бүтін сандар сақинасы ) кез-келген идеал (мысалы, 6-да пайда болған идеал) негізгі идеалдардың туындысы ретінде ерекше түрде ыдырайды.

Кез келген максималды идеал - бұл негізгі идеал немесе қысқаша айтқанда, қарапайым. Сонымен қатар, идеал Мен жай және егер фактор сақинасы болған жағдайда ғана R / Мен ажырамас домен болып табылады. Идеалдың қарапайым екенін немесе оған сақинаның нөлдік бөлгіштері жоқ екенін эквивалентті түрде дәлелдеу өте қиын болуы мүмкін. Мұны білдірудің тағы бір тәсілі - деп айту толықтыру R \ б көбейтілген түрде жабық. Локализация (R \ б)⁻¹R өзінің жеке белгісі болу үшін маңызды: R_б. Бұл сақинаның максималды бір ғана идеалы бар, атап айтқанда pR_б. Мұндай сақиналар деп аталады жергілікті.

Спектр

Spec (З) нөлдік идеалға арналған нүктені қамтиды. Бұл нүктенің жабылуы - бұл бүкіл кеңістік. Қалған тармақтар идеалдарға сәйкес келеді (б), қайда б жай сан. Бұл нүктелер жабық.

The сақинаның спектрі R,^{[nb 1]} Spec арқылы белгіленеді R, барлық негізгі идеалдар жиынтығы R. Ол топологиямен жабдықталған Зариски топологиясы, -ның алгебралық қасиеттерін көрсетеді R: ашық ішкі жиындардың негізі

Д.(f) = {б ∈ Spec R, f ∉ б}, қайда f кез келген сақина элементі болып табылады.

Ауызша аударма f мәні қабылдайтын функция ретінде f мод б (яғни, суреті f қалдықтар өрісінде R/б), бұл ішкі локус f нөлге тең емес. Сондай-ақ, спектр локализация мен факторлық сақиналардың бірін-бірі толықтыратын интуициясын дәл анықтайды: табиғи карталар R → R_f және R → R / fR сәйкестендірілген, сақиналардың спектрлерін Зариски топологиясымен толықтырғаннан кейін ашық және жабық батыру сәйкесінше. Тіпті суреттер сияқты негізгі сақиналар үшін R = З оң жағында Зариски топологиясы нақты сандар жиынтығынан біршама ерекшеленеді.

Спектрде максималды идеалдар жиынтығы бар, олар кейде mSpec деп белгіленеді (R). Үшін алгебралық жабық өріс к, mSpec (k [Т₁, ..., Т_n] / (f₁, ..., f_м)) жиынтықпен биекцияда

{х =(х₁, ..., х_n) ∊ кⁿ | f₁(х) = ... = f_м(х) = 0.}

Сонымен, максималды идеалдар көпмүшелердің шешімдер жиынтығының геометриялық қасиеттерін көрсетеді, бұл коммутативті сақиналарды зерттеудің бастапқы мотиві болып табылады. Алайда максималды емес идеалдарды сақинаның геометриялық қасиеттерінің бөлігі ретінде қарастыру бірнеше себептерге байланысты пайдалы. Мысалы, минималды қарапайым идеалдар (яғни, одан гөрі кішігірім емес) сәйкес келеді төмендетілмейтін компоненттер Spec R. Ноетрия сақинасы үшін R, Spec R тек қана азайтылмайтын компоненттері бар. Бұл геометриялық қайта құру бастапқы ыдырау, оған сәйкес кез-келген идеал шектеулі көпшіліктің көбейтіндісі ретінде ыдырауы мүмкін бастапқы идеалдар. Бұл факт - Дедекинд сақиналарында негізгі идеалдарға ыдыраудың түпкілікті қорытуы.

Аффиндік схемалар

Спектр ұғымы коммутативті алгебраның және жалпы негізі болып табылады алгебралық геометрия. Алгебралық геометрия Spec-ті ендіру арқылы жүреді R а шоқ ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ (жергілікті анықталған функцияларды, яғни әр түрлі ашық ішкі жиындарда жинайтын ұйым). Кеңістіктің және шоқтың санағы an деп аталады аффиндік схема. Аффиндік схема, негізгі сақина берілген R ретінде қалпына келтіруге болады жаһандық бөлімдер туралы ${ displaystyle { mathcal {O}}}$. Сонымен қатар, сақиналар мен аффиндік схемалар арасындағы осы бір-бірімен сәйкестік сақиналық гомоморфизмдермен де сәйкес келеді: кез келген f : R → S а тудырады үздіксіз карта қарсы бағытта

Spec S → Spec R, q ↦ f⁻¹(q), яғни кез келген негізгі идеал S оған сәйкес келеді алдын-ала түсіру астында f, бұл идеал болып табылады R.

Нәтижесінде баламалылық аталған екі санаттың сақиналардың алгебралық қасиеттерін геометриялық тәсілмен дұрыс көрсетеді.

Осыған ұқсас коллекторлар жергілікті ашық жиындармен берілген Rⁿ, аффиндік схемалар - жергілікті модельдер схемалар, олар алгебралық геометрияның зерттеу объектісі болып табылады. Сондықтан коммутативті сақиналарға қатысты бірнеше түсініктер геометриялық интуициядан туындайды.

Өлшем

The Крул өлшемі (немесе өлшем) күңгірт R сақина R сақинаның «мөлшерін», шамамен айтқанда, тәуелсіз элементтерді санау арқылы өлшейді R. Өріс үстіндегі алгебралардың өлшемі к төрт қасиет бойынша аксиоматизациялауға болады:

• Өлшем жергілікті қасиет: күңгірт R = суп_{p ∊ Spec R} күңгірт R_б.
• Өлшем нилпотентті элементтерден тәуелсіз: егер Мен ⊆ R әлсіз, содан кейін күңгірт R = күңгірт R / Мен.
• Өлшем ақырлы кеңейту кезінде тұрақты болып қалады: егер S болып табылады Rретінде анықталған алгебра R-модуль, содан кейін күңгірт S = күңгірт R.
• Өлшем күңгірт арқылы калибрленеді к[X₁, ..., X_n] = n. Бұл аксиома көпмүшелік сақинаға байланысты n алгебралық аналогы ретінде айнымалылар n-өлшемдік кеңістік.

Өлшем кез келген сақина үшін анықталған R, ұзындық супремумы ретінде n басты идеалдар тізбегі

б₀ ⊊ б₁ ⊊ ... ⊊ б_n.

Мысалы, өріс нөлдік өлшемді, өйткені жалғыз идеал - нөлдік идеал. Бүтін сандар бір өлшемді, өйткені тізбектер (0) ⊊ (б), қайда б Бұл жай сан. Ноетриялық емес сақиналар үшін, сондай-ақ жергілікті емес сақиналар үшін өлшем шексіз болуы мүмкін, бірақ ноетриялық жергілікті сақиналардың ақырғы өлшемдері бар. Жоғарыда келтірілген төрт аксиоманың ішінде алғашқы екеуі анықтаманың қарапайым салдары болып табылады, ал қалған екеуі маңызды фактілерге байланысты ауыстырмалы алгебра, көтерілу теоремасы және Круллдың негізгі идеалды теоремасы.

Сақиналы гомоморфизмдер

A сақиналы гомоморфизм немесе, ауызекі түрде, жай а карта, бұл карта f : R → S осындай

f(а + б) = f(а) + f(б), f(аб) = f(а)f(б) және f(1) = 1.

Бұл жағдайлар қамтамасыз етеді f(0) = 0. Басқа алгебралық құрылымдар сияқты сақиналы гомоморфизм де қарастырылып отырған алгебралық нысандардың құрылымымен үйлесімді карта болып табылады. Мұндай жағдайда S деп аталады R-алгебра, мұны түсіну арқылы с жылы S кейбіреулеріне көбейтілуі мүмкін р туралы R, орнату арқылы

р · с := f(р) · с.

The ядро және сурет туралы f ker (f) = {р ∈ R, f(р) = 0} және im (f) = f(R) = {f(р), р ∈ R}. Ядро - бұл идеалды туралы R, және сурет а қосылу туралы S.

Сақиналы гомоморфизм, егер ол биективті болса, изоморфизм деп аталады. Ретінде белгілі сақиналық изоморфизмнің мысалы Қытайдың қалған теоремасы, болып табылады

${ displaystyle mathbf {Z} / n = bigoplus _ {i = 0} ^ {k} mathbf {Z} / p_ {i}}$

қайда n = б₁б₂...б_к жұптық айырмашылықтың туындысы болып табылады жай сандар.

Коммутативті сақиналар сақиналы гомоморфизмдермен бірге а санат. Сақина З болып табылады бастапқы объект бұл санатта, бұл кез-келген коммутативті сақина үшін R, бірегей сақиналы гомоморфизм бар З → R. Осы карта арқылы бүтін сан n элементі ретінде қарастыруға болады R. Мысалы, биномдық формула

${ displaystyle (a + b) ^ {n} = sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} a ^ {k} b ^ {n-k}}$

ол кез келген екі элемент үшін жарамды а және б кез-келген ауыстырғыш сақинада R биномдық коэффициенттерді элементтері ретінде түсіндіру арқылы осы мағынада түсініледі R осы картаны пайдаланып.

The әмбебап меншік туралы S ⊗_R Т кез келген екі карта үшін S → W және Т → W сыртқы төртбұрыштың жүруіне мәжбүр ететін бірегей карта бар S ⊗_R Т → W бұл бүкіл сызбаға маршрут жасайды.

Екі R-алгебралар S және Т, олардың тензор өнімі

S ⊗_R Т

қайтадан ауыстырады R-алгебра. Кейбір жағдайларда тензор өнімі а табуға қызмет ете алады Т- қатысты алгебра З сияқты S қатысты R. Мысалға,

R[X] ⊗_R Т = Т[X].

Шекті ұрпақ

Ан R-алгебра S аталады (алгебра түрінде) егер элементтер өте көп болса с₁, ..., с_n сияқты кез келген элементі с ішіндегі көпмүшелік ретінде көрінеді с_мен. Эквивалентті, S изоморфты болып табылады

R[Т₁, ..., Т_n] / Мен.

Бұл әлдеқайда күшті шарт S болып табылады ретінде анықталған R-модуль, бұл кез келген дегенді білдіреді с ретінде көрсетілуі мүмкін R- кейбір ақырлы жиынтықтың сызықтық комбинациясы с₁, ..., с_n.

Жергілікті сақиналар

Сақина деп аталады жергілікті егер ол тек бір ғана максималды идеалға ие болса, оны белгілейді м. Кез-келген (міндетті түрде жергілікті емес) сақина үшін R, локализация

R_б

ең жақсы идеалда б жергілікті. Бұл локализация Spec-тің геометриялық қасиеттерін көрсетеді R «айналасында б«Коммутативті алгебрадағы бірнеше түсініктер мен мәселелерді жағдайға келтіруге болады R жергілікті, сақиналарды ерекше терең зерттелген сақиналар класы етіп жасайды. The қалдық өрісі туралы R ретінде анықталады

к = R / м.

Кез келген R-модуль М өнімділік а к-векторлық кеңістік М / мм. Накаяманың леммасы Бұл үзінді маңызды ақпаратты сақтайтындығын көрсетеді: түпкілікті құрылған модуль М нөлге тең болады, егер де болса М / мм нөлге тең.

Тұрақты жергілікті сақиналар

The текше жазықтық қисығы (қызыл) теңдеумен анықталады ж² = х²(х + 1) болып табылады жекеше шыққан кезде, яғни сақина к[х, ж] / ж² − х²(х + 1), қарапайым сақина емес. Тангенс конусы (көк) - бұл екі жолдың бірігуі, ол сонымен қатар даралықты көрсетеді.

The к-векторлық кеңістік м/м² алгебралық инкарнациясы болып табылады котангенс кеңістігі. Ресми емес, элементтері м нүктесінде жоғалып кететін функциялар деп санауға болады б, ал м² кем дегенде 2 рет жойылып кететіндерді қамтиды. Кез-келген нотериялық жергілікті сақина үшін R, теңсіздік

күңгірт_к м/м² Күңгірт R

котангенс (немесе теңбе-тең тангенс) кеңістігінің кем дегенде Spec кеңістігінің өлшемі бар деген идеяны көрсете отырып, ақиқат R. Егер теңдік осы бағалауда орындалса, R а деп аталады тұрақты жергілікті сақина. Ноетрияның жергілікті сақинасы, егер ол сақина болса (ол функциялардың сақинасы болса) тұрақты болады тангенсті конус )

${ displaystyle bigoplus _ {n} m ^ {n} / m ^ {n + 1}}$

көпмүшелік сақинаға изоморфты к. Жалпы жергілікті сақиналар көп мағыналы сақиналарға ұқсас.^[1] Тұрақты жергілікті сақиналар UFD-ге жатады.^[2]

Дискретті бағалау сақиналары кез-келген элементке бүтін санды тағайындайтын функциямен жабдықталған р. Бағалау деп аталатын бұл сан р бейресми түрде нөл немесе полюстің реті ретінде қарастырылуы мүмкін р. Дискретті бағалау сақиналары дәл бір өлшемді тұрақты жергілікті сақиналар болып табылады. Мысалы, а-да голоморфты функциялардың микробтарының сақинасы Риман беті дискретті бағалау сақинасы болып табылады.

Толық қиылыстар

The бұралған куб (жасыл) - бұл теориялық толық қиылысу, бірақ толық қиылысу емес.

Авторы Круллдың негізгі идеалды теоремасы, негізді нәтиже сақиналардың өлшем теориясы, өлшемі

R = к[Т₁, ..., Т_р] / (f₁, ..., f_n)

ең болмағанда р − n. Сақина R а деп аталады толық қиылысу сақинасы егер оны осы ең төменгі шекке жететіндей етіп ұсынуға болатын болса. Бұл ұғым көбінесе жергілікті сақиналарға арналған. Кез-келген тұрақты жергілікті сақина толық қиылысу сақинасы болып табылады, бірақ керісінше емес.

Сақина R Бұл теориялық егер қысқартылған сақина байланысты болса, толық қиылысу R, яғни барлық нольпотентті элементтерді бөлу арқылы алынған толық қиылысу болып табылады. 2017 жылдан бастап үшөлшемді кеңістіктегі қисықтардың теориялық толық қиылысулар екендігі белгісіз.^[3]

Коэн-Маколей сақиналары

The тереңдік жергілікті сақина R - бұл кейбір (немесе көрсетілгендей, кез-келген) максималды тұрақты реттіліктегі элементтердің саны, яғни тізбек а₁, ..., а_n ∈ м бәріне бірдей а_мен нөлге тең емес бөлгіштер болып табылады

R / (а₁, ..., а_мен−1).

Кез-келген жергілікті нотериялық сақина үшін теңсіздік

тереңдік (R≤ күңгірт (R)

ұстайды. Теңдік орын алатын жергілікті сақина а деп аталады Коэн-Маколей сақинасы. Жергілікті толық қиылысу сақиналары және фортиори, тұрақты жергілікті сақиналар Коэн-Маколей болып табылады, бірақ керісінше емес. Коэн-Маколей тұрақты сақиналардың қажетті қасиеттерін біріктіреді (мысалы, болмыс сипаты) жалпыға ортақ сақиналар Бұл жай сандардың (ко) өлшемі өзін-өзі дұрыс ұстайтындығын білдіреді), сонымен қатар кәдімгі сақиналардан гөрі квоент алу кезінде берік болады.^[4]

Коммутативті сақиналар салу

Берілген сақиналардан жаңа сақиналар салудың бірнеше әдісі бар. Мұндай конструкциялардың мақсаты көбінесе сақинаның белгілі бір қасиеттерін жақсарту және оны түсінікті етіп жасау болып табылады. Мысалы, интегралды домен тұтас жабық оның ішінде фракциялар өрісі аталады қалыпты. Бұл қалаулы қасиет, мысалы кез-келген қалыпты бір өлшемді сақина тұрақты. Көрсету^{[түсіндіру қажет ]} қалыпты сақина белгілі қалыпқа келтіру.

Аяқталуы

Егер Мен коммутативті сақинадағы идеал болып табылады R, өкілеттіктері Мен форма топологиялық аудандар туралы 0 мүмкіндік береді R ретінде қарастырылуы керек топологиялық сақина. Бұл топология деп аталады Мен-адикалық топология. R осы топологияға қатысты аяқтауға болады. Ресми түрде Мен- түбегейлі аяқтау кері шек сақиналардың R/Менⁿ. Мысалы, егер к бұл өріс, к[[X]], ресми қуат сериялары бір айнымалыда сақина к, болып табылады Мен- түбегейлі аяқтау к[X] қайда Мен арқылы құрылған негізгі идеал болып табылады X. Бұл сақина дискінің алгебралық аналогы ретінде қызмет етеді. Ұқсас, сақинасы б- әдеттегі бүтін сандар аяқталуы болып табылады З негізгі идеалға қатысты (б). Өзінің аяқталуына изоморфты болатын кез-келген сақина деп аталады толық.

Толық жергілікті сақиналар қанағаттандырады Генсель леммасы Бұл қалдық өрісі бойынша шешімдерді (әр түрлі мәселелерді) кеңейтуге мүмкіндік береді к дейін R.

Гомологиялық түсініктер

Әдістерін қолдана отырып, коммутативті сақиналардың бірнеше терең аспектілері зерттелді гомологиялық алгебра. Хохстер (2007) белсенді зерттеудің осы бағытындағы кейбір ашық сұрақтарды тізбектейді.

Проективті модульдер және Ext функционалдары

Проективті модульдерді анықтауға болады тікелей шақырулар ақысыз модульдер. Егер R жергілікті болып табылады, кез-келген ақырлы түрде құрылған проективті модуль шынымен де ақысыз, бұл проективті модульдер арасындағы ұқсастыққа мазмұн береді байламдар.^[5] The Квиллен-Суслин теоремасы кез-келген түпкілікті түрде құрылған проективті модульдің аяқталғандығын дәлелдейді к[Т₁, ..., Т_n] (к өріс) еркін, бірақ жалпы алғанда бұл екі ұғым бір-бірінен ерекшеленеді. Жергілікті ноетриялық сақина, егер ол болса ғана тұрақты жаһандық өлшем ақырлы, айталық n, бұл дегеніміз кез-келген түпкілікті түрде жасалған R-модульде а бар рұқсат ұзындығы бойынша проективті модульдер бойынша n.

Осы және басқа да байланысты мәлімдемелердің дәлелі гомологиялық әдістерді қолдануға негізделген, мысалыҚосымша функция. Бұл функция алынған функция функционал

Хом_R(М, −).

Соңғы функция дәл егер дәл болса М проективті, бірақ басқаша емес: сурьективті карта үшін E → F туралы R-модульдер, карта М → F картаға дейін созудың қажеті жоқ М → E. Неғұрлым жоғары Ext функциялары Hom-функциясының дәл еместігін өлшейді. Гомологиялық алгебра сабақтарында осы стандартты құрылыстың маңыздылығын жергілікті ноетрия сақинасынан көруге болады R қалдық өрісі бар к тұрақты және егер болса ғана

Қосымшаⁿ(к, к)

жоқ болып кетеді n. Сонымен қатар, аталған Ext-топтардың өлшемдері Бетти сандары, ішінде көпмүше өседі n егер және егер болса R Бұл жергілікті толық қиылысу сақина.^[6] Мұндай пікірлердегі негізгі аргумент болып табылады Қосзұл кешені, бұл қалдық өрісінің анық еркін шешімін ұсынады к жергілікті сақина R тұрақты реттілік тұрғысынан.

Тегіс

The тензор өнімі коммутативті сақиналар контекстінде қолданылатын тағы бір нақты емес функция: жалпы үшін R-модуль М, функция

М ⊗_R −

дәл дұрыс. Егер дәл болса, М аталады жалпақ. Егер R жергілікті болып табылады, кез-келген ақырлы ұсынылған жалпақ модуль ақырғы дәрежеге ие емес, сондықтан проективті. Гомологиялық алгебра тұрғысынан анықталғанына қарамастан, жазықтық терең геометриялық әсер етеді. Мысалы, егер R-алгебра S тегіс, талшықтардың өлшемдері

S / pS = S ⊗_R R / б

(басты идеалдар үшін б жылы R) «күтілетін» өлшемге ие, атап айтқанда күңгірт S - күңгірт R + күңгірт (R / б).

Қасиеттері

Авторы Ведберберн теоремасы, әрбір ақырлы бөлу сақинасы коммутативті болып табылады, сондықтан а ақырлы өріс. Сақинаның коммутативтілігін қамтамасыз ететін тағы бір жағдай Джейкобсон, келесі: әр элемент үшін р туралы R бүтін сан бар n > 1 осындай рⁿ = р.^[7] Егер, р² = р әрқайсысы үшін р, сақина деп аталады Буль сақинасы. Сақинаның коммутативтілігіне кепілдік беретін жалпы шарттар да белгілі.^[8]

Жалпылау

Бағаланған-ауыстырмалы сақиналар

A шалбар Бұл кобордизм шеңбер мен екі бөлінбеген шеңбер арасында. Кобордизм сабақтары декарттық өнім көбейту ретінде және бірлескен одақ қосындысы ретінде кобордизм сақинасы.

A дәрежелі сақина R = ⨁_мен∊З R_мен аталады бағаланған-ауыстырмалы егер

аб = (−1)^{градус а . Градус б.}

Егер R_мен дифференциалдарымен байланысқан, өйткені абстрактілі формасы өнім ережесі ұстайды, яғни

∂(аб) = ∂(а)б + (−1)^{градус а}∂(б),

R а деп аталады коммутативті дифференциалды дәрежеленген алгебра (cdga). Мысал ретінде дифференциалды формалар үстінде көпжақты, арқылы берілген көбейту арқылы сыртқы өнім, cdga болып табылады. CDH-нің когомологиясы - градустық-коммутативті сақина, кейде деп аталады когомологиялық сақина. Осындай дәрежеде сақиналардың кең ауқымды мысалдары пайда болады. Мысалы, Лазард сақинасы күрделі манифольдтардың кобордизм кластарының сақинасы болып табылады.

Бағалауға қатысты бағаланған-ауыстырмалы сақина З/ 2 (керісінше З) а деп аталады супералгебра.

Байланысты түсінік - бұл коммутативті сақина, бұл дегеніміз R болып табылады сүзілген байланыстырылған сақина болатындай етіп

гр R := ⨁ F_менR / ⨁ F_мен−1R

коммутативті болып табылады. Мысал ретінде Вейл алгебрасы және одан да көп жалпы сақиналар дифференциалдық операторлар.

Қарапайым коммутативті сақиналар

A қарапайым коммутативті сақина Бұл қарапайым объект коммутативті сақиналар санатында. Олар құрылыс материалдары (дәнекер) алынған алгебралық геометрия. Бір-бірімен тығыз байланысты, бірақ жалпы түсінік E_∞-жіңішке.

Сондай-ақ қараңыз

• Сақина дерлік, коммутативті сақинаны белгілі бір жалпылау.
• Бөлінгіштік (сақина теориясы): нольпотентті элемент, мысал: қос сандар
• Идеалдар мен модульдер: Идеал радикалды, Моританың эквиваленттілігі
• Сақиналы гомоморфизмдер: ажырамас элемент: Кэйли-Гамильтон теоремасы, Интегралды түрде жабық домен, Крул сақинасы, Крулл-Акизуки теоремасы
• Негізгі уақыт: Бастапқы лемма, Джейкобсон радикалды, Сақинаның нилрадикалы, Спектр: Шағын орын, Қосылған сақина, Коммутативті алгебралар бойынша дифференциалдық есептеу, Банах-тас теоремасы
• Жергілікті сақиналар: Горенштейн сақинасы: Дуальдылық (математика), Эбен Матлис; Дуалды модуль, Попеску теоремасы, Артиннің жуықтау теоремасы.
• «Қосымшалар» (математикада туындайтын ауыстырғыш сақиналар): Холоморфты функциялар, Алгебралық К теориясы, Топологиялық K-теориясы, Бөлінген күш құрылымдары, Витт-векторлар, Гекге алгебра, Фонтейн периоды сақиналары, Кластерлік алгебра, Конволюция алгебрасы (ауыстыратын топтың), қараңыз Фрегет алгебрасы

Ескертулер

Дәйексөздер

Әдебиеттер тізімі

• Атия, Майкл; Макдональд, I. Г. (1969), Коммутативті алгебраға кіріспе, Addison-Wesley Publishing Co.
• Бальцерик, Станислав; Юзефиак, Тадеуш (1989), Коммутативті ноетрия және крул сақиналары, Ellis Horwood сериясы: Математика және оның қосымшалары, Чичестер: Ellis Horwood Ltd., ISBN  978-0-13-155615-7
• Бальцерик, Станислав; Юзефиак, Тадеуш (1989), Өлшем, еселік және гомологиялық әдістер, Ellis Horwood сериясы: Математика және оның қосымшалары., Чичестер: Ellis Horwood Ltd., ISBN  978-0-13-155623-2
• Кристенсен, Ларс Винтер; Струли, Джанет; Величе, Оана (2010), «Жергілікті сақинаның инъекциялық минималды қарқынының өсуі», Лондон математикалық қоғамының журналы, Екінші серия, 81 (1): 24–44, arXiv:0812.4672, дои:10.1112 / jlms / jdp058
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативті алгебра. Алгебралық геометрия тұрғысынан., Математика бойынша магистратура мәтіндері, 150, Берлин, Нью-Йорк: Шпрингер-Верлаг, ISBN  978-0-387-94268-1, МЫРЗА  1322960
• Хохстер, Мелвин (2007), «Ескі және жаңа гомологиялық болжамдар» (PDF), Иллинойс Дж. Математика., 51 (1): 151–169, дои:10.1215 / ijm / 1258735330, мұрағатталған түпнұсқа (PDF) 2019-10-29, алынды 2017-08-01
• Джейкобсон, Натан (1945), «Шектелген алгебралық алгебралардың құрылым теориясы», Математика жылнамалары, 46 (4): 695–707, дои:10.2307/1969205, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969205
• Капланский, Ирвинг (1974), Коммутативті сақиналар (Редакцияланған редакция), Чикаго Университеті, МЫРЗА  0345945
• Любезник, Геннадий (1989), «Анықтаушы теңдеулер саны бойынша есептер мен нәтижелерге шолу», Көрсетілімдер, ажыратымдылықтар және тоғысқан сандар, 375-390 б., Zbl  0753.14001
• Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативті сақина теориясы, Кембриджді тереңдетілген математикадан зерттеу (екінші басылым), Кембридж университетінің баспасы, ISBN  978-0-521-36764-6
• Нагата, Масайоси (1975) [1962], Жергілікті сақиналар, Таза және қолданбалы математикадағы ғылымаралық трактаттар, 13, Intercience Publishers, xiii + 234 бет, ISBN  978-0-88275-228-0, МЫРЗА  0155856
• Пинтер-Лаке, Джеймс (2007), «Сақиналардың коммутативтілік шарттары: 1950–2005», Mathematicae экспозициялары, 25 (2): 165–174, дои:10.1016 / j.exmath.2006.07.001, ISSN  0723-0869
• Зариски, Оскар; Сэмюэль, Пьер (1958–60), Коммутативті алгебра I, II, Жоғары математикадағы университет сериялары, Принстон, Н.Ж .: Д. ван Ностран, Инк. (1975-76 жж. Спрингер математикадағы магистратура мәтіндерінің 28-29 томы ретінде қайта басылған.)