Крулл-Акизуки теоремасы - Krull–Akizuki theorem

Алгебрада Крулл-Акизуки теоремасы келесіні айтады: рұқсат етіңіз A бір өлшемді болу төмендетілді нотерия сақинасы,^[1] Қ оның фракциялардың жалпы сақинасы. Егер B - бұл ақырлы кеңейтудің қосындысы L туралы Қ құрамында Aсодан кейін B бір өлшемді нотериялық сақина. Сонымен қатар, нөлдік емес кез-келген идеал үшін Мен туралы B, ${ displaystyle B / I}$ аяқталған A.^[2]

Теоремада бұл айтылмағанын ескеріңіз B аяқталған A. Теорема үлкен өлшемге жайылмайды. Теореманың маңызды нәтижелерінің бірі - интегралды жабу а Dedekind домені A фракциялар өрісінің ақырлы кеңеюінде A қайтадан Dedekind домені болып табылады. Бұл нәтиже жоғары өлшемді жалпылайды: Мори-Нагата теоремасы ноетриялық доменнің ажырамас жабылуы а Крул домені.

Дәлел

Мұнда біз қашан дәлел келтіреміз ${ displaystyle L = K}$. Келіңіздер ${ displaystyle { mathfrak {p}} _ {i}}$ минималды идеал болуы A; олардың көпшілігі бар. Келіңіздер ${ displaystyle K_ {i}}$ бөлшектерінің өрісі болу керек ${ displaystyle A / {{ mathfrak {p}} _ {i}}}$ және ${ displaystyle I_ {i}}$ табиғи картаның ядросы ${ displaystyle B to K to K_ {i}}$. Сонда бізде:

${ displaystyle A / {{ mathfrak {p}} _ {i}} ішкі жиын B / {I_ {i}} ішкі жиын K_ {i}}$.

Енді, егер теорема қашан орындалатын болса A домен болып табылады, демек бұл дегеніміз B әрқайсысынан бастап бір өлшемді нетриялық домен болып табылады ${ displaystyle B / {I_ {i}}}$ болып табылады және бастап ${ displaystyle B = prod B / {I_ {i}}}$. Демек, біз дәлелдемелерді іс бойынша қысқарттық A домен болып табылады. Келіңіздер ${ displaystyle 0 neq I ішкі жиын B}$ идеал болыңыз және рұқсат етіңіз а нөлдік емес идеалда нөлдік емес элемент болу ${ displaystyle I cap A}$. Орнатыңыз ${ displaystyle I_ {n} = a ^ {n} B cap A + aA}$. Бастап ${ displaystyle A / aA}$ нөлдік көмкерілген нетрия сақинасы; осылайша, артиниан, бар л осындай ${ displaystyle I_ {n} = I_ {l}}$ барлығына ${ displaystyle n geq l}$. Біз талап етеміз

${ displaystyle a ^ {l} B a ^ {l + 1} B + A ішкі жиынтығы.}$

Инклюзияны жергілікті орнату жеткілікті болғандықтан, біз болжай аламыз A максималды идеалға ие жергілікті сақина ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$. Келіңіздер х нөлдік емес элемент болыңыз B. Содан кейін, бері A нетриялық, ан бар n осындай ${ displaystyle { mathfrak {m}} ^ {n + 1} subset x ^ {- 1} A}$ солай ${ displaystyle a ^ {n + 1} x in ^ {n + 1} B cap A I_ {n + 2}} жиынтығы$. Осылайша,

${ displaystyle a ^ {n} x in ^ {n + 1} B cap A + A.}$

Енді, болжам жасаңыз n минималды бүтін сан ${ displaystyle n geq l}$ және соңғы қосу тоқтатылады. Егер ${ displaystyle n> l}$, содан кейін біз мұны оңай көреміз ${ displaystyle a ^ {n} x in I_ {n + 1}}$. Бірақ содан кейін жоғарыда келтірілген енгізу қажет ${ displaystyle n-1}$, қайшылық. Демек, бізде бар ${ displaystyle n = l}$ және бұл талапты анықтайды. Енді келесідей:

${ displaystyle B / {aB} simeq a ^ {l} B / a ^ {l + 1} B subset (a ^ {l + 1} B + A) / a ^ {l + 1} B simeq A / {a ^ {l + 1} B cap A}.}$

Демек, ${ displaystyle B / {aB}}$ ақырлы ұзындыққа ие A-модуль. Атап айтқанда, Мен сонда бар және т.б. Мен түпкілікті түрде жасалады. Ақырында, жоғарыдағылар осыны көрсетеді ${ displaystyle B / {aB}}$ нөлдік өлшемі бар және т.б. B өлшемі бар. ${ displaystyle square}$

Әдебиеттер тізімі

• Николас Бурбаки, Коммутативті алгебра