Пенроуздық графикалық жазба - Penrose graphical notation

Пенроуздық графикалық жазба (тензорлық диаграмма жазбасы) а матрицалық өнім күйі бес бөлшектің

Жылы математика және физика, Пенроуздық графикалық жазба немесе тензорлық диаграмма жазбасы болып табылады (әдетте қолмен) визуалды бейнелеу көп сызықты функциялар немесе тензорлар ұсынған Роджер Пенроуз 1971 жылы.^[1] Нотадағы диаграмма сызықтармен байланысқан бірнеше пішіндерден тұрады. Жазбаны кеңінен зерттеді Предраг Квитанович, кім оны жіктеу үшін қолданды классикалық өтірік топтары.^[2] Ол сондай-ақ қолдану арқылы жалпыланған ұсыну теориясы дейін айналдыру желілері физикада және қатысуымен матрицалық топтар дейін сызбалар жылы сызықтық алгебра. Заманауи белгілер кеңінен пайда болды кванттық теория, атап айтқанда матрицалық күйлер және кванттық тізбектер.

Түсіндірмелер

Көп сызықты алгебра

Тілінде көп сызықты алгебра, әр пішін а көп сызықты функция. Фигураларға бекітілген сызықтар функциялардың кірістерін немесе нәтижелерін білдіреді, ал фигураларды қандай да бір жолмен біріктіру мәні болып табылады функциялардың құрамы.

Тензорлар

Тілінде тензор алгебрасы, белгілі бір тензор белгілі бір формамен байланысты, жоғары және төмен проекциялайтын көптеген сызықтары бар реферат жоғарғы және төменгі сәйкесінше тензорлардың индекстері. Екі фигура арасындағы сызықтарды қосу сәйкес келеді индекстердің қысқаруы. Мұның бір артықшылығы белгілеу жаңа индекстер үшін жаңа әріптер ойлап табудың қажеті жоқ. Бұл жазба да анық негіз -тәуелсіз.^[3]

Матрицалар

Әрбір пішін матрицаны білдіреді, және тензорды көбейту көлденеңінен жасалады және матрицаны көбейту тігінен жасалады.

Арнайы тензорларды ұсыну

Метрикалық тензор

The метрикалық тензор қолданылатын тензор түріне байланысты U-тәрізді циклмен немесе U-тәрізді төңкерілген циклмен ұсынылған.

метрикалық тензор ${ displaystyle g ^ {ab}}$

метрикалық тензор ${ displaystyle g_ {ab}}$

Levi-Civita тензоры

The Levi-Civita антисимметриялық тензор қолданылатын тензор түріне байланысты таяқтары төмен немесе жоғары бағытталған қалың көлденең жолақпен бейнеленген.

${ displaystyle varepsilon _ {ab ldots n}}$

${ displaystyle varepsilon ^ {ab ldots n}}$

${ displaystyle varepsilon _ {ab ldots n} , varepsilon ^ {ab ldots n}}$${ displaystyle = n!}$

Құрылым тұрақты

құрылым тұрақты ${ displaystyle { gamma _ { alpha beta}} ^ { chi} = - { gamma _ { beta alpha}} ^ { chi}}$

Құрылымның тұрақтылары (${ displaystyle { gamma _ {ab}} ^ {c}}$) а Алгебра бір сызығы жоғары, ал екі сызығы төмен бағытталған шағын үшбұрышпен бейнеленген.

Тензорлық операциялар

Индекстердің қысқаруы

Жиырылу индекстер индекс жолдарын біріктіру арқылы ұсынылады.

Kronecker атырауы ${ displaystyle delta _ {b} ^ {a}}$

Нүктелік өнім ${ displaystyle beta _ {a} , xi ^ {a}}$

${ displaystyle g_ {ab} , g ^ {bc} = delta _ {a} ^ {c} = g ^ {cb} , g_ {ba}}$

Симметрия

Симметрия индекстер индекс сызықтарын көлденеңінен қиып өтетін қалың зиг-заг немесе толқынды жолақпен ұсынылған.

Симметрия ${ displaystyle Q ^ {(ab ldots n)}}$ (бірге ${ displaystyle {} _ {Q ^ {ab} = Q ^ {[ab]} + Q ^ {(ab)}}}$)

Антисимметрия

Антисимметрия индекстер индекстік сызықтарды көлденеңінен кесіп өтетін қалың түзу сызықпен ұсынылған.

Антисимметрия ${ displaystyle E _ {[ab ldots n]}}$ (бірге ${ displaystyle {} _ {E_ {ab} = E _ {[ab]} + E _ {(ab)}}}$)

Анықтаушы

Детерминант индекстерге антисимметриялану арқылы түзіледі.

Анықтаушы ${ displaystyle det mathbf {T} = det left (T _ { b} ^ {a} right)}$

Матрицаның кері жағы ${ displaystyle mathbf {T} ^ {- 1} = сол жақ (T _ { b} ^ {a} оң) ^ {- 1}}$

Ковариант туындысы

The ковариант туынды (${ displaystyle nabla}$) дифференциалданатын тензор (лар) айналасындағы шеңбермен және туындының төменгі индексін көрсету үшін шеңберден төмен бағытталған сызықпен бейнеленген.

ковариант туынды ${ displaystyle 12 nabla _ {a} left ( xi ^ {f} , lambda _ {fb [c} ^ {(d} , D_ {gh]} ^ {e) b} right) }$ ${ displaystyle = 12 left ( xi ^ {f} ( nabla _ {a} lambda _ {fb [c} ^ {(d}) , D_ {gh]} ^ {e) b} + ( nabla _ {a} xi ^ {f}) lambda _ {fb [c} ^ {(d} , D_ {gh]} ^ {e) b} + xi ^ {f} lambda _ { fb [c} ^ {(d} , ( nabla _ {a} D_ {gh]} ^ {e) b}) right)}$

Тензорлық манипуляция

Диаграмма жазбасы тензор алгебрасын басқаруда пайдалы. Бұл әдетте бірнеше қарапайым «сәйкестілік «тензорлық манипуляциялар.

Мысалға, ${ displaystyle varepsilon _ {a ... c} varepsilon ^ {a ... c} = n!}$, қайда n өлшемдердің саны болып табылады, бұл жалпы «сәйкестілік».

Риманның қисықтық тензоры

Риманның қисықтық тензоры тұрғысынан келтірілген Риччи мен Бианки сәйкестіктері белгінің күшін көрсетеді

Үшін белгі Риманның қисықтық тензоры

Ricci тензоры ${ displaystyle R_ {ab} = R_ {acb} ^ { c}}$

Ricci сәйкестігі ${ displaystyle ( nabla _ {a} , nabla _ {b} - nabla _ {b} , nabla _ {a}) , mathbf { xi} ^ {d}}$${ displaystyle = R_ {abc} ^ { d} , mathbf { xi} ^ {c}}$

Бианки сәйкестігі ${ displaystyle nabla _ {[a} R_ {bc] d} ^ { e} = 0}$

Кеңейтімдер

Белгілеу қолдаумен кеңейтілді шпинаторлар және бұралу.^[4][5]

Сондай-ақ қараңыз

• Реферат индексінің жазбасы
• Бұрыштық импульс диаграммалары (кванттық механика)
• Өрілген моноидты категория
• Категориялық кванттық механика тензор диаграммасы жазбасын қолданады
• Матрицалық өнім күйі Penrose графикалық белгілерін қолданады
• Ricci calculus
• Айналдыру желілері
• Сызба

Ескертулер