Ақырғы топ - Википедия - Finitely generated group

The 8-ші бұйрық тобы бұл ұсынылған екі генераторды қажет етеді цикл диаграммасы.

Жылы алгебра, а түпкілікті құрылған топ Бұл топ G оның кейбіреулері бар ақырлы генератор жиынтығы S сондықтан әрбір элементі G көптеген элементтерінің тіркесімі ретінде (топтық операция кезінде) жазылуы мүмкін ақырлы жиынтық S және инверстер осындай элементтердің^[1]

Анықтама бойынша, әрқайсысы ақырғы топ бастап шығарылады, өйткені S деп қабылдауға болады G өзі. Әрбір шексіз құрылған топ болуы керек есептелетін бірақ есептік топтарды түпкілікті құру қажет емес. Аддитивті тобы рационал сандар Q шектеулі түрде жасалынбайтын есептелетін топтың мысалы.

Мысалдар

Бір элементтің көмегімен жасалатын топ деп аталады циклдік. Әрбір шексіз циклдік топ болып табылады изоморфты дейін қоспа тобы туралы бүтін сандар З. A жергілікті циклдік топ - бұл барлық ақырғы құрылған кіші топ циклдік болатын топ.
The тегін топ ақырлы жиында сол жиын элементтері ақырлы түрде жасайды.
Әрқайсысы мөлшер ақырғы құрылған топтың G түпкілікті түрде жасалады; Quotient тобы генераторлардың кескіндері арқылы жасалады G астында канондық проекция.
A кіші топ ақырғы түрде құрылған топтың түпкілікті құрылуы қажет емес.
Фортиори, әрқайсысы түпкілікті ұсынылған топ түпкілікті түрде жасалады. Қараңыз # Мысалдар тобының презентациясы бірнеше мысалдар үшін.
Қараңыз # Мысалдар тобын құру басқа мысалдар үшін.

Шектелген Абел топтары

Бірліктің алты 6 күрделі тамырлары а циклдік топ көбейту кезінде.

Әрқайсысы Абель тобы ретінде қарастыруға болады модуль үстінен сақина туралы бүтін сандар Зжәне а түпкілікті түрде құрылған Абелия тобы генераторлармен х₁, ..., х_n, әр топтың элементі х ретінде жазылуы мүмкін сызықтық комбинация осы генераторлардың,

х = α₁⋅х₁ + α₂⋅х₂ + ... + α_n⋅х_n

бүтін сандармен α₁, ..., α_n.

Шектелген топшалар Абель тобы өздері түпкілікті түрде жасалады.

The ақырғы құрылған абел топтарының негізгі теоремасы түбегейлі құрылған Абелия тобы болып табылады тікелей сома а тегін Абель тобы ақырлы дәреже және әрқайсысы изоморфизмге дейін болатын шектеулі абель тобы.

Ішкі топтар

A кіші топ ақырғы түрде құрылған топтың түпкілікті құрылуы қажет емес. The коммутатордың кіші тобы туралы тегін топ ${ displaystyle F_ {2}}$ екі генераторда ақырлы түрде жасалынбаған, ақырлы құрылған топтың кіші тобының мысалы келтірілген.

Екінші жағынан, барлық құрылған шағын топтардың барлық топтары Абель тобы түпкілікті түрде жасалады.

Ақырлы топшасы индекс ақырлы түрде құрылған топта әрдайым ақырлы түрде жасалады және Шрайер индексінің формуласы қажетті генераторлар санына шек қояды.^[2]

1954 жылы Альберт Г.Ховсон еркін топтың ақырлы құрылған екі кіші тобының қиылысы қайтадан ақырлы түрде жасалатынын көрсетті. Сонымен қатар, егер ${ displaystyle m}$ және ${ displaystyle n}$ - бұл екі шектелген кіші топтардың генераторларының сандары, олардың қиылысы ең көп дегенде жасалады ${ displaystyle 2mn-m-n + 1}$ генераторлар.^[3] Содан кейін бұл жоғарғы шекара айтарлықтай жақсарды Ханна Нейман дейін ${ displaystyle 2 (m-1) (n-1) +1}$ , қараңыз Ханна Нейманның болжамдары.

The кіші топтардың торы топтың өсетін тізбектің шарты егер тек топтың барлық кіші топтары құрылған болса ғана. Оның барлық кіші топтары түпкілікті түрде құрылатын топ деп аталады Ноетриялық.

Әрбір ақырлы құрылған ішкі топ ақырлы болатын топ деп аталады жергілікті шектеулі. Жергілікті ақырғы топтардың барлығы мерзімді, яғни, әр элементтің шегі бар тапсырыс. Керісінше, әр мерзімді абель тобы жергілікті шектеулі.^[4]

Қолданбалар

Геометриялық топтар теориясы ақырлы құрылған топтардың алгебралық қасиеттері мен арасындағы байланыстарды зерттейді топологиялық және геометриялық қасиеттері кеңістіктер бұл топтар әрекет ету.

Байланысты түсініктер

The сөз мәселесі ақырғы құрылған топ үшін болып табылады шешім мәселесі екі сөздер топтың генераторларында бірдей элемент ұсынылады. Берілген ақырғы топ үшін сөз мәселесі топтың әрқайсысына енуі мүмкін болған жағдайда ғана шешіледі алгебралық жабық топ.

The топтың дәрежесі ең кіші деп жиі анықталады түпкілікті топ үшін генератор жиынтығы. Анықтама бойынша, шекті түрде құрылған топтың дәрежесі шекті болып табылады.

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

^ Грегорак, Роберт Дж. (1967). «Шектелген топтар туралы ескерту». Американдық математикалық қоғамның еңбектері. 18 (4): 756. дои:10.1090 / S0002-9939-1967-0215904-3.
^ Раушан (2012), б. 55.
^ Хоусон, Альберт Г. (1954). «Ақырлы түрде құрылған еркін топтардың қиылысында». Лондон математикалық қоғамының журналы. 29 (4): 428–434. дои:10.1112 / jlms / s1-29.4.428. МЫРЗА 0065557.
^ Раушан (2012), б. 75.

Әдебиеттер тізімі

Роуз, Джон С. (2012) [1978 жылы Cambridge University Press, Англия, Кембридж Университеті баспасында бірінші рет жарияланған шығарманың өзгертілмеген және өзгеріссіз республикасы]. Топтық теория курсы. Dover жарияланымдары. ISBN 978-0-486-68194-8.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)

[1] Грегорак, Роберт Дж. (1967). «Шектелген топтар туралы ескерту». Американдық математикалық қоғамның еңбектері. 18 (4): 756. дои:10.1090 / S0002-9939-1967-0215904-3.

[FOOTNOTERose201255-2] Раушан (2012), б. 55.

[3] Хоусон, Альберт Г. (1954). «Ақырлы түрде құрылған еркін топтардың қиылысында». Лондон математикалық қоғамының журналы. 29 (4): 428–434. дои:10.1112 / jlms / s1-29.4.428. МЫРЗА 0065557.

[FOOTNOTERose201275-4] Раушан (2012), б. 75.

[1]

[2]

[3]

[4]