Трапеция - Trapezoid

Трапеция (AmE) Трапеция (BrE)
Трапеция немесе трапеция
Түрі	төртбұрыш
Шеттер және төбелер	4
Аудан	${ displaystyle { tfrac {a + b} {2}} h}$
Қасиеттері	дөңес

Жылы Евклидтік геометрия, а дөңес төртбұрыш кем дегенде бір жұп параллель жақтары а деп аталады трапеция (/трəˈбмензменəм/) ағылшын тілінде Солтүстік Америкадан тыс, бірақ а трапеция^[1][2] (/ˈтрæбəзɔɪг./) Американдық және Канадалық ағылшын. Параллель жақтары деп аталады негіздер трапецияның және қалған екі қабырғасының деп аталады аяқтар немесе бүйір жақтары (егер олар параллель болмаса; әйтпесе екі жұп табандар бар). A скалендік трапеция тең өлшемдері жоқ трапеция,^[3] айырмашылығы ерекше жағдайлар төменде.

Этимология

Термин трапеция 1570 жылдан бастап ағылшын тілінде, соңғы латын тілінен бастап қолданыла бастады трапеция, грек тілінен τραπέζιον (трапеция), сөзбе-сөз «кішкене үстел», τράπεζα (трапеза), «үстел», өзі fromράς (тетрас), «төрт» + πέζα (пеза), «табан; соңы, жиегі, жиегі».^[4]

Аударылған грек сөзінің алғашқы жазбаша қолданылуы трапеция (τραπεζοειδή, трапеция, «кесте тәрізді») болған Маринус Проклус^{[күмәнді – талқылау]} (Біздің заманымыздың 412 жылдан 485 жылға дейін) өзінің бірінші кітабындағы түсіндірмесінде Евклидтің элементтері.^[5]

Бұл мақалада термин қолданылады трапеция АҚШ пен Канадада бар мағынада. Көптеген тілдерде грек тілінен алынған сөзді қолдана отырып, оған ең жақыны қолданылады трапеция, емес трапеция (мысалы, француз трапез, Итальян трапецио, Португал тілі трапецио, Испан трапецио, Неміс Трапеция, Украинша «трапеція»).

Трапеция қарсы Трапеция

Термин трапеция Кезінде Ұлыбританияда және басқа жерлерде параллель жақтары жоқ төртбұрыш ретінде анықталған. The Оксфорд ағылшын сөздігі (OED) «19 ғасырда ағылшын жазушылары жиі шақырады» дейді.^[6] OED сәйкес, қабырғалары параллель емес фигураны сезіну үшін Проклус «трапеция» терминін енгізген. Бұл француз тілінде сақталған трапецоид,^[7] Неміс Трапецияжәне басқа тілдерде. Алайда, бұл ерекше сезім ескірген болып саналады.

A трапеция Проклус мағынасында қарама-қарсы жақтарының бір жұбы параллель болатын төртбұрыш. Бұл 17-ші және 18-ші ғасырларда Англияда ерекше мағына болды, және тағы да солтүстік Америкадан тыс жерлерде жиі қолданылды. А-дан гөрі кез-келген төртбұрыш тәрізді трапеция параллелограмм терминінің мағынасы Евклид.

Сөз шатасады трапеция с Англияда кейде қолданылған. 1800 - с. Қабырғалары параллель емес, дұрыс емес төртбұрышты белгілеу үшін 1875 ж. Бұл қазір Англияда ескірген, бірақ Солтүстік Америкада жалғасуда. Алайда, бұл пішін көбінесе тұрақты емес төртбұрыш деп аталады (және түсініксіз).^[8][9]

Инклюзивті және эксклюзивті анықтаманы

Бұл туралы келіспеушіліктер бар параллелограммдар, параллель жақтарының екі жұбы бар, оларды трапеция ретінде қарастырған жөн. Кейбіреулер трапецияны төртбұрышты ие деп анықтайды тек параллелограммдарды қоспағанда, параллель жақтардың бір жұбы (эксклюзивті анықтама).^[10] Басқалар^[11] төртбұрышы ретінде трапецияны анықтаңыз шектен асқанда параллель жақтардың бір жұбы (қоса берілген анықтама)^[12]), параллелограмды трапецияның ерекше түріне айналдыру. Соңғы анықтама оның жоғары математикада қолданылуына сәйкес келеді есептеу. Бұл мақалада инклюзивті анықтама қолданылады және параллелограммдар трапецияның ерекше жағдайлары ретінде қарастырылады. Бұл сонымен қатар төртбұрыштардың таксономиясы.

Инклюзивті анықтама бойынша барлық параллелограммдар (соның ішінде ромбтар, тіктөртбұрыштар және квадраттар ) трапеция болып табылады. Тік төртбұрыштардың ортасында айна симметриясы болады; ромбтардың төбелерінде айна симметриясы, ал квадраттардың орта шеттерінде де, төбелерінде де айна симметриясы болады.

Ерекше жағдайлар

Трапеция ерекше жағдайлары. Қызғылт сары фигуралар параллелограммға сәйкес келеді.

A оң жақ трапеция (деп те аталады тік бұрышты трапеция) екі іргелес тік бұрыштар.^[11] Оң жақтағы трапециялар қолданылады трапеция тәрізді ереже қисық сызықты аймақтарды бағалау үшін.

Ан жедел трапеция ұзынырақта екі жанама өткір бұрышы бар негіз шеті, ал доғал трапеция әрқайсысында бір сүйір және бір доғал бұрыш бар негіз.

Ан тең бүйірлі трапеция - базалық бұрыштары бірдей өлшемге ие болатын трапеция. Нәтижесінде екі аяғы да бірдей ұзындыққа ие және ол бар шағылысу симметриясы. Бұл өткір трапецияға немесе оң жақ трапецияға (тіктөртбұрыш) мүмкін.

A параллелограмм екі параллель қабырғалары бар трапеция. Параллелограмның центрі 2 есе болады айналу симметриясы (немесе нүктелік шағылысу симметрия). Бұл доғал трапеция немесе оң жақ трапеция (тіктөртбұрыш) үшін мүмкін.

A тангенциалды трапеция бар трапеция айналдыра.

A Сакхери төрт бұрышы гиперболалық жазықтықтағы трапецияға ұқсайды, екі көршілес тік бұрышы бар, ал ол эвклид жазықтығындағы тіктөртбұрыш. A Ламберт төртбұрышы гиперболалық жазықтықта 3 тік бұрыш болады.

Өмір сүру жағдайы

Төрт ұзындық а, c, б, г. параллелограммы жоқ трапецияның қатарлы қабырғаларын құра алады а және б параллель болған кезде ғана^[13]

${ displaystyle displaystyle | d-c | <| b-a |$

Төртбұрыш параллелограмм болып табылады ${ displaystyle d-c = b-a = 0}$, бірақ бұл экс-тангенциалды төртбұрыш (бұл трапеция емес) қашан ${ displaystyle | d-c | = | b-a | neq 0}$.^{[14]:б. 35}

Мінездемелер

Дөңес төртбұрыш берілгенде, келесі қасиеттер эквивалентті және әрқайсысы төртбұрыштың трапеция екенін білдіреді:

• Оның екі іргелес жері бар бұрыштар бұл қосымша, яғни олар 180-ге дейін қосылады градус.
• Қабырға мен диагональ арасындағы бұрыш қарама-қарсы жақ пен сол диагональ арасындағы бұрышқа тең.
• The диагональдар бір-бірін бірдей етіп кесу арақатынас (бұл қатынас параллель қабырғалардың ұзындықтарының арақатынасымен бірдей).
• Диагональдар төртбұрышты бір-біріне қарама-қарсы жұп болатын төрт үшбұрышқа кеседі ұқсас.
• Диагональдар төртбұрышты төрт қарама-қарсы жұптың аудандары тең болатын үшбұрышқа кеседі.^{[14]:5-ұсыныс}
• Екі диагональмен құрылған екі үшбұрыштың аудандарының көбейтіндісі екінші диагональмен құрылған екі үшбұрыштардың аудандарының көбейтіндісіне тең.^[14]:Thm.6
• Аудандар S және Т диагональдар құрған төрт үшбұрыштың қарама-қарсы екі үшбұрышының теңдеуін қанағаттандырады

${ displaystyle { sqrt {K}} = { sqrt {S}} + { sqrt {T}},}$

қайда Қ төртбұрыштың ауданы.^[14]:Thm.8

• Екі қарама-қарсы жақтың орта нүктелері мен диагональдардың қиылысуы коллинеарлы.^[14]:Thm.15
• Төртбұрыштағы бұрыштар А Б С Д қанағаттандыру ${ displaystyle sin A sin C = sin B sin D.)$^{[14]:б. 25}
• Екі көршілес бұрыштардың косинустары 0-ге қосылады, қалған екі бұрыштың косинустары сияқты.^{[14]:б. 25}
• Екі көршілес бұрыштардың котангенстері 0-ге тең, қалған екі көршілес котангенстер сияқты.^{[14]:б. 26}
• Бір бимедия төртбұрышты тең ауданы бар төрт төртбұрышқа бөледі.^{[14]:б. 26}
• Екі қарама-қарсы жақтың ортаңғы нүктелерін қосатын бимедия ұзындығының екі есе ұзындығы қалған қабырғалардың ұзындығының қосындысына тең.^{[14]:б. 31}

Сонымен қатар, келесі қасиеттер баламалы және әрқайсысы қарама-қарсы жақтарды білдіреді а және б параллель:

• Тізбектелген жақтар а, c, б, г. және диагональдар б, q теңдеуді қанағаттандыру^{[14]:Кор.11}

${ displaystyle p ^ {2} + q ^ {2} = c ^ {2} + d ^ {2} + 2ab.}$

• Қашықтық v диагональдардың орта нүктелері арасындағы теңдеуді қанағаттандырады^[14]:Thm.12

${ displaystyle v = { frac {| a-b |} {2}}.}$

Ортаңғы сегмент және биіктік

The орта сегмент (оны медиана немесе орта сызық деп те атайды) трапеция - бұл қосылатын кесінді ортаңғы нүктелер аяқтың. Ол негіздерге параллель орналасқан. Оның ұзындығы м негіздердің ұзындықтарының орташа мәніне тең а және б трапецияның,^[11]

${ displaystyle m = { frac {a + b} {2}}.}$

Трапецияның ортаңғы сегменті - екінің бірі бимедиялар (екіншісі бимедия трапецияны тең аудандарға бөледі).

The биіктігі (немесе биіктік) болып табылады перпендикуляр негіздер арасындағы қашықтық. Екі негіздің ұзындығы әр түрлі болған жағдайда (а ≠ б), трапецияның биіктігі сағ формуланың көмегімен оның төрт жағының ұзындығымен анықтауға болады^[11]

${ displaystyle h = { frac { sqrt {(-a + b + c + d) (a-b + c + d) (a-b + cd) (ab-c + d)}} {2 | ba |}}}$

қайда c және г. бұл аяқтың ұзындығы.

Аудан

Аудан Қ трапецияның көмегімен берілген^[11]

${ displaystyle K = { frac {a + b} {2}} cdot h = mh}$

қайда а және б параллель жақтардың ұзындықтары, сағ - бұл биіктік (осы жақтар арасындағы перпендикуляр арақашықтық), және м болып табылады орташа арифметикалық параллель екі жақтың ұзындығының. 499 жылы Арябхата, керемет математик -астроном классикалық жасынан бастап Үнді математикасы және Үнді астрономиясы, бұл әдісті Арябхатия (2.8 бөлім). Бұл а ерекше жағдай а ауданының белгілі формуласы үшбұрыш, үшбұрышты параллель қабырғаларының бірі нүктеге дейін кішірейген азғындаған трапеция ретінде қарастыру арқылы.

7 ғасырдағы үнді математигі Бхаскара I қабырғалары қатарлы трапецияның ауданы үшін келесі формуланы шығарды а, c, б, г.:

${ displaystyle K = { frac {1} {2}} (a + b) { sqrt {c ^ {2} - { frac {1} {4}} left ((ba) + { frac {c ^ {2} -d ^ {2}} {ba}} right) ^ {2}}}}$

қайда а және б параллель және б > а.^[15] Бұл формуланы симметриялы нұсқаға келтіруге болады^[11]

${ displaystyle K = { frac {a + b} {4 | ba |}} { sqrt {(-a + b + c + d) (a-b + c + d) (a-b + cd) (ab-c + d)}}.}$

Параллель жақтардың біреуі нүктеге дейін кішірейген кезде (айталық а = 0), бұл формула төмендейді Герон формуласы үшбұрыштың ауданы үшін

Геронның формуласына жақын аймақ үшін тағы бір баламалы формула болып табылады^[11]

${ displaystyle K = { frac {a + b} {| b-a |}} { sqrt {(s-b) (s-a) (s-b-c) (s-b-d)}},}$

қайда ${ displaystyle s = { tfrac {1} {2}} (a + b + c + d)}$ болып табылады полимерметр трапецияның. (Бұл формула ұқсас Брахмагуптаның формуласы, бірақ ол одан ерекшеленеді, бұл трапеция болмауы мүмкін циклдік (шеңберге жазылған). Формула да ерекше жағдай болып табылады Бретшнайдер формуласы генерал үшін төртбұрыш ).

Бретшнайдер формуласынан мыналар шығады

${ displaystyle K = { sqrt {{ frac {(ab ^ {2} -a ^ {2} b-ad ^ {2} + bc ^ {2}) (ab ^ {2} -a ^ {2 } b-ac ^ {2} + bd ^ {2})} {(2 (ba)) ^ {2}}} - left ({ frac {b ^ {2} + d ^ {2} -a ^ {2} -c ^ {2}} {4}} right) ^ {2}}}.}$

Параллель қабырғалардың ортаңғы нүктелерін қосатын сызық ауданды екіге бөледі.

Диагональдар

Диагональдардың ұзындықтары^[11]

${ displaystyle p = { sqrt { frac {ab ^ {2} -a ^ {2} b-ac ^ {2} + bd ^ {2}} {b-a}}},}$

${ displaystyle q = { sqrt { frac {ab ^ {2} -a ^ {2} b-ad ^ {2} + bc ^ {2}} {b-a}}}}$

қайда а бұл қысқа негіз, б бұл ұзын негіз, және c және г. трапеция тәрізді аяқтар болып табылады.

Егер трапеция диагональдары бойынша төрт үшбұрышқа бөлінсе Айнымалы және BD (оң жақта көрсетілгендей), қиылысатын O, содан кейін ${ displaystyle triangle}$ AOD дегенге тең ${ displaystyle triangle}$ BOC, және аймақтарының көбейтіндісі ${ displaystyle triangle}$ AOD және ${ displaystyle triangle}$ BOC дегенге тең ${ displaystyle triangle}$ AOB және ${ displaystyle triangle}$ COD. Әрбір көрші үшбұрыштың аудандарының қатынасы параллель қабырғаларының ұзындықтарымен бірдей.^[11]

Трапецияның шыңдары болсын A, B, C, және Д. қатарынан және параллель қабырғалары бар AB және Тұрақты ток. Келіңіздер E диагональдарының қиылысы болып, болсын F жағында болу DA және G жағында болу Б.з.д. осындай FEG параллель AB және CD. Содан кейін FG болып табылады гармоникалық орта туралы AB және Тұрақты ток:^[16]

${ displaystyle { frac {1} {FG}} = { frac {1} {2}} солға ({ frac {1} {AB}} + { frac {1} {DC}} оңға ).}$

Ұзартылған параллель емес жақтардың қиылысу нүктесінен де, диагональдардың қиылысу нүктесінен өтетін сызық әр табанды екіге бөледі.^[17]

Басқа қасиеттері

Аудан орталығы (формаға арналған масса орталығы) ламина ) параллель жақтардың орта нүктелерін қосатын түзу кесіндісі бойымен, перпендикуляр қашықтықта жатыр х ұзын жақтан б берілген^[18]

${ displaystyle x = { frac {h} {3}} left ({ frac {2a + b} {a + b}} right)}.$

Аудан орталығы бұл сегментті пропорцияға бөледі (қысқа жағынан ұзын жағына қарай алғанда)^{[19]:б. 862}

${ displaystyle { frac {a + 2b} {2a + b}}.}$

Егер бұрыштар бұрыштарға биссектрисалар болса A және B қиылысады P, және бұрыштардың биссектрисалары C және Д. қиылысады Q, содан кейін^[17]

${ displaystyle PQ = { frac {| AD + BC-AB-CD |} {2}}.}$

Қолданбалар

The Дендур храмы ішінде Митрополиттік өнер мұражайы жылы Нью-Йорк қаласы

Сәулет

Бұл сөз архитектурада мысырлық стильде симметриялы есіктер, терезелер және негізге кеңірек салынған, төбесіне қарай созылған ғимараттарға қатысты қолданылады. Егер бұлардың тік жақтары мен бұрыштық бұрыштары болса, олардың пішіндері әдетте болады тең бүйірлі трапеция. Бұл есіктер мен терезелер үшін стандартты стиль болды Инка.^[20]

Геометрия

The баспалдақтардың қиындығы қиғаш ұзындықтар мен перпендикуляр аяқтан диагональ қиылысқа дейінгі арақашықтықты ескере отырып, оң жақ трапецияның параллель қабырғалары арасындағы қашықтықты табу мәселесі.

Биология

Трапеция формасы pronotum а қателік

Жылы морфология, таксономия сияқты формалар үшін термин қажет болатын басқа сипаттайтын пәндер, мысалы, терминдер трапеция тәрізді немесе трапеция әдетте белгілі бір органдардың немесе формалардың сипаттамаларында пайдалы.^[21]

Компьютерлік инженерия

Компьютерлік техникада, нақтырақ сандық логикада және компьютерлік архитектурада трапециялар әдетте символ ретінде қолданылады мультиплексорлар. Мультиплексорлар дегеніміз - бірнеше элементтердің арасынан таңдайтын және таңдалған сигнал негізінде бір шығыс шығаратын логикалық элементтер. Әдеттегі конструкциялар трапецияларды мультиплексорлар деп көрсетпей-ақ қолданады, өйткені олар жалпыға бірдей эквивалентті.

Сондай-ақ қараңыз

• Сыпайы нөмір, трапециялы сан деп те аталады
• Трапеция ережесі, трапеция ережесі деп те аталады
• Сына, екі үшбұрыш және үш трапеция тәрізді бетпен анықталған полиэдр.

Әдебиеттер тізімі

Әрі қарай оқу

• Д. Фрайверт, А. Сиглер және М. Ступель: Трапеция мен дөңес төртбұрыштардың ортақ қасиеттері

Сыртқы сілтемелер

• Трапеция кезінде Математика энциклопедиясы.
• Вайсштейн, Эрик В. «Оң жақ трапеция». MathWorld.
• Трапецияның анықтамасы   Трапеция аймағы   Трапецияның медианасы Интерактивті анимациялармен
• Трапеция (Солтүстік Америка) elsy.at сайтында: анимациялық курс (құрылысы, айналасы, ауданы)
• Трапеция тәрізді ереже қосулы Бакалавриаттың сандық әдістері
• Автар Кав және Э. Эрик Калу, Қолданбалы сандық әдістер, (2008)