Параллель (геометрия) - Parallel (geometry)

Параллель түзулер мен қисық сызықтар бойынша сурет салу.

Жылы геометрия, параллель сызықтар болып табылады сызықтар ішінде ұшақ кездеспейтін; яғни жазықтықта жоқ екі түзу сызық қиылысады кез келген нүктеде параллель деп аталады. Ауызекі тілде бұл қисық емес түрту бір-бірімен қиылысады немесе белгіленген минималды арақашықтықты параллель дейді. Түзу мен жазықтық, немесе екі жазықтық үш өлшемді эвклид кеңістігі бір ойды бөліспейтіндер де параллель деп аталады. Алайда үш өлшемді кеңістіктегі сәйкес келмейтін екі түзу параллель деп есептелетін ортақ жазықтықта болуы керек; әйтпесе олар аталады қисық сызықтар. Параллель жазықтықтар дегеніміз - үш өлшемді кеңістіктегі ешқашан кездеспейтін жазықтықтар.

Параллель сызықтар тақырыбы болып табылады Евклид Келіңіздер параллель постулат.^[1] Параллелизм, ең алдымен, аффиндік геометрия және Евклидтік геометрия геометрияның осы түрінің ерекше данасы болып табылады, мысалы, кейбір басқа геометрияларда гиперболалық геометрия, сызықтар параллелизм деп аталатын ұқсас қасиеттерге ие болуы мүмкін.

Таңба

Параллель белгісі болып табылады ${ displaystyle parallel}$.^[2][3] Мысалға, ${ displaystyle AB параллель CD}$ сол сызықты көрсетеді AB түзуге параллельCD.

Ішінде Юникод таңбалар жиынтығы, «параллель» және «параллель емес» белгілерінің сәйкесінше U + 2225 (∥) және U + 2226 (∦) кодтық нүктелері бар. Сонымен қатар, U + 22D5 (⋕) «тең және параллель» қатынасын білдіреді.^[4]

Евклидтік параллелизм

Жазықтықтағы екі сызық

Параллелизмнің шарттары

Кене белгілері, сызықтар көрсеткендей а және б параллель болып табылады. Бұл көлденең болғандықтан дәлелденуі мүмкін т сәйкес келетін бұрыштарды шығарады ${ displaystyle theta}$, мұнда көлденеңінен оң жағында, жоғарыда және сызыққа жақын жерде көрсетілген а және екіншісі жоғарыда және сызыққа іргелес б.

Параллель түзулер берілген л және м жылы Евклид кеңістігі, келесі қасиеттер баламалы:

1. Әр тармақ м сызықтан дәл бірдей (минималды) қашықтықта орналасқан л (тең қашықтықта сызықтар).
2. Түзу м түзумен бірдей жазықтықта орналасқан л бірақ қиылыспайды л (сызықтардың дейін созылатындығын еске түсіріңіз шексіздік екі бағытта).
3. Жолдар болған кезде м және л екеуі де үшінші түзу арқылы қиылысады (а көлденең ) сол жазықтықта сәйкес бұрыштар көлденеңімен қиылыстың үйлесімді.

Бұл эквиваленттік қасиеттер болғандықтан, олардың кез-келгенін Евклид кеңістігіндегі параллель түзулердің анықтамасы ретінде қабылдауға болады, бірақ бірінші және үшінші қасиеттер өлшеуді талап етеді, сондықтан екіншісіне қарағанда «күрделі». Сонымен, екінші қасиет, әдетте, Евклид геометриясындағы параллель түзулердің анықтайтын қасиеті ретінде таңдалады.^[5] Басқа қасиеттер содан кейін болады Евклидтің параллель постулаты. Өлшеуді қамтитын тағы бір қасиет - бір-біріне параллель түзулер бірдей болады градиент (көлбеу).

Тарих

Параллель түзулерді жазықтықтағы түзулер жұбы ретінде айқындамайтын анықтама I кітаптағы 23 анықтамасында кездеседі Евклидтің элементтері.^[6] Альтернативті анықтамаларды басқа гректер талқылады, көбінесе оны дәлелдеуге тырысты параллель постулат. Проклус параллель түзулердің анықтамасын бірдей қашықтықтағы сызықтарға жатқызады Позидоний және дәйексөздер Егіздер ұқсас венада. Simplicius Посидонийдің анықтамасын, сондай-ақ оны философ Аганистің өзгерткенін айтады.^[6]

ХІХ ғасырдың аяғында Англияда Евклид элементтері орта мектептерде әлі күнге дейін стандартты оқулық болды. Дәстүрлі геометрияны емдеу жаңа өзгерістерге байланысты өзгеруге мәжбүр болды проективті геометрия және евклидтік емес геометрия, сондықтан осы уақытта геометрияны оқытуға арналған бірнеше жаңа оқулықтар жазылды. Бұл реформа мәтіндерінің арасындағы өзгелерден де, олардан да, Евклидтен де үлкен айырмашылық параллель сызықтарды өңдеу болып табылады.^[7] Бұл реформа мәтіндері олардың сыншыларынан болған жоқ және олардың бірі Чарльз Доджсон (а.к.) Льюис Кэрролл ), пьеса жазды, Евклид және оның қазіргі заманғы қарсыластары, онда бұл мәтіндер жинақталған.^[8]

Ерте реформаның оқулықтарының бірі Джеймс Морис Уилсонның оқулықтары болды Бастауыш геометрия 1868 ж.^[9] Уилсон параллель түзулердің анықтамасын қарабайыр ұғым туралы бағыт. Сәйкес Вильгельмді өлтіру^[10] идеядан бастау алуы мүмкін Лейбниц.^[11] Уилсон бағытты анықтамай, ол қарабайыр болғандықтан, бұл терминді басқа анықтамаларда қолданады, мысалы өзінің алтыншы анықтамасында: «Бір-біріне сәйкес келетін екі түзудің бағыттары әр түрлі, ал олардың бағыттарының айырмашылығы бұрыш олардың арасында ». Уилсон (1868, б. 2) 15 анықтамасында ол параллель түзулерді осылайша енгізеді; «Түзу сызықтары бар бірдей бағыт, бірақ бір түзудің бөліктері емес деп аталады параллель түзулер." Уилсон (1868, б. 12) Август Де Морган ең алдымен осы анықтама негізінде және параллель түзулер туралы дәлелдеу үшін Уилсонның қолдануы негізінде осы мәтінді қарап шығып, оны сәтсіздікке ұшыратты Доджсон сонымен қатар өз пьесасының үлкен бөлімін (II акт, VI көрініс § 1) Вильсонның параллельдерге деген қарым-қатынасын айыптауға арнайды. Уилсон бұл тұжырымдаманы мәтінінің үшінші және жоғары басылымдарының ішінен өңдеді.^[12]

Басқа реформаторлар ұсынған, параллель сызықтарды анықтау үшін ауыстырғыштар ретінде пайдаланылған басқа қасиеттер айтарлықтай жақсарған жоқ. Негізгі қиындық, Доджсон көрсеткендей, оларды осылайша пайдалану жүйеге қосымша аксиомалар қосуды қажет етті. Фрезис Кутбертсон өзінің 1874 жылғы мәтінінде түсіндірген Посидонийдің тең сызықтық анықтамасын Евклидтік геометрия түзудің бір жағында берілген қашықтықта табылған нүктелер түзу сызықты қалыптастыру үшін көрсетілуі керек деген проблемадан зардап шегеді. Мұны дәлелдеу мүмкін емес және оны шындық деп қабылдау керек.^[13] В.Д.Кули өзінің 1860 мәтінінде қолданған көлденең көлденең қасиетімен қалыптасқан сәйкес бұрыштар, Оңайлатылған және түсіндірілген геометрия элементтері егер бір көлденеңдік сәйкес келетін бұрыштар бойынша сызықтар жұбын кездестірсе, онда барлық көлденеңдер осылай жасауы керек екендігінің дәлелі қажет. Тағы да, бұл тұжырымды дәлелдеу үшін жаңа аксиома қажет.

Құрылыс

Жоғарыдағы үш қасиет құрылыстың үш түрлі әдісіне әкеледі^[14] параллель түзулер

Мәселе: арқылы сызық салыңыз а параллель л.

• 

  1-қасиет: жол м барлық жерде сызыққа дейін бірдей қашықтық бар л.

• 

  2-қасиет: кездейсоқ жолды таңдаңыз а қиылысатын л жылы х. Жылжыту нүктесі х шексіздікке.

• 

  3-қасиет: Екеуі де л және м арқылы көлденең сызықты бөлісу а оларды 90 ° кесіп өтеді.

Екі параллель түзудің ара қашықтығы

Евклид жазықтығындағы параллель түзулер болып табылады тең қашықтықта екі параллель түзудің арасында ерекше қашықтық бар. Екі тік емес, көлденең емес параллель түзулердің теңдеулерін ескере отырып,

${ displaystyle y = mx + b_ {1} ,}$

${ displaystyle y = mx + b_ {2} ,,}$

параллель түзулерге ортақ перпендикуляр жатқан екі нүктені (әр түзуде бір) тауып, олардың арасындағы қашықтықты есептеу арқылы екі түзудің арақашықтығын табуға болады. Желілер көлбеу болғандықтан м, жалпы перпендикуляр slop1 / көлбеу боладым және сызықты теңдеумен жүргізуге болады ж = −х/м жалпы перпендикуляр ретінде. Сызықтық жүйелерді шешіңіз

${ displaystyle { begin {case} y = mx + b_ {1} y = -x / m end {case}}}$

және

${ displaystyle { begin {case} y = mx + b_ {2} y = -x / m end {case}}}$

нүктелерінің координаталарын алу үшін. Сызықтық жүйелердің шешімдері нүктелер болып табылады

${ displaystyle left (x_ {1}, y_ {1} right) = left ({ frac {-b_ {1} m} {m ^ {2} +1}}, { frac {b_ {1}} {m ^ {2} +1}} right) ,}$

және

${ displaystyle left (x_ {2}, y_ {2} right) = сол жақ ({ frac {-b_ {2} m} {m ^ {2} +1}}, { frac {b_ {2}} {m ^ {2} +1}} оң).}$

Бұл формулалар параллель түзулер көлденең болса да дұрыс нүкте координаттарын береді (яғни, м = 0). Нүктелер арасындағы қашықтық

${ displaystyle d = { sqrt { left ({ frac {b_ {1} m-b_ {2} m} {m ^ {2} +1}} right) ^ {2} + left ({ frac {b_ {2} -b_ {1}} {m ^ {2} +1}} right) ^ {2}}} ,,}$

ол төмендейді

${ displaystyle d = { frac {| b_ {2} -b_ {1} |} { sqrt {m ^ {2} +1}}} ,.}$

Сызықтар жалпы теңдеу формасымен берілгенде (көлденең және тік сызықтар енгізілген):

${ displaystyle ax + by + c_ {1} = 0 ,}$

${ displaystyle ax + by + c_ {2} = 0, ,}$

олардың арақашықтығы ретінде көрсетілуі мүмкін

${ displaystyle d = { frac {| c_ {2} -c_ {1} |} { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}.}$

Үш өлшемді кеңістіктегі екі сызық

Екі жол бірдей үш өлшемді кеңістік қиылыспайтын параллель қажет емес. Егер олар жалпы жазықтықта болса ғана оларды параллель деп атайды; әйтпесе олар аталады қисық сызықтар.

Екі айқын сызық л және м үш өлшемді кеңістікте параллель орналасқан егер және егер болса нүктеден қашықтық P желіде м сызықтағы ең жақын нүктеге дейін л орналасқан жеріне тәуелсіз P желіде м. Бұл қисық сызықтар үшін ешқашан болмайды.

Сызық және жазықтық

Сызық м және ұшақ q үш өлшемді кеңістікте, егер жазықтықта жатпайтын түзу параллель болса, егер олар қиылыспаса ғана.

Эквивалентті түрде, егер олар нүктеден қашықтық болса ғана параллель болады P желіде м жазықтықтағы ең жақын нүктеге дейін q орналасқан жеріне тәуелсіз P желіде м.

Екі ұшақ

Параллель түзулер бір жазықтықта орналасуы керек екеніне ұқсас, параллель жазықтықтар бірдей үш өлшемді кеңістікте орналасуы керек және олардың ортақ нүктесі болмауы керек.

Екі айқын жазықтық q және р нүктеден қашықтық болған жағдайда ғана параллель болады P жазықтықта q жазықтықтағы ең жақын нүктеге дейін р орналасқан жеріне тәуелсіз P жазықтықта q. Егер екі жазықтық бірдей үш өлшемді кеңістікте болмаса, бұл ешқашан болмайды.

Евклидтік емес геометрияға жалғасу

Бұл бөлім жоқ сілтеме кез келген ақпарат көздері. Өтінемін көмектесіңіз осы бөлімді жақсарту арқылы дәйексөздерді сенімді дерек көздеріне қосу. Ресурссыз материалға шағым жасалуы мүмкін және жойылды. Дереккөздерді табу: «Параллель» геометрия  – жаңалықтар  · газеттер  · кітаптар  · ғалым  · JSTOR (Мамыр 2017) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз)

Жылы евклидтік емес геометрия, туралы айту жиі кездеседі геодезия (түзу) сызықтарға қарағанда. Геодезия - берілген геометриядағы екі нүкте арасындағы ең қысқа жол. Физикада бұл бөлшек оған күш түспесе, жүретін жол деп түсіндірілуі мүмкін. Евклидтік емес геометрияда (эллиптикалық немесе гиперболалық геометрия ) жоғарыда аталған үш евклидтік қасиет эквивалентті емес, ал екіншісі ғана, (m сызығы l түзуімен бірдей жазықтықта орналасқан, бірақ l-ді қиып өтпейді), өйткені ол ешқандай өлшеулерді қажет етпейді. Евклидтік емес геометрияда пайдалы. Жалпы геометрияда үш қасиет қисықтардың үш түрін береді, тең қашықтықтағы қисықтар, параллель геодезия және ортақ перпендикуляр бөлісетін геодезиясәйкесінше.

Гиперболалық геометрия

Қиылысу, параллель және ультра параллель арқылы сызықтар а құрметпен л гиперболалық жазықтықта. Параллель түзулер қиылысатын сияқты л кескіннен тыс. Бұл тек көрнекіліктің артефактісі. Нақты гиперболалық жазықтықта сызықтар бір-біріне жақындай түседі және шексіздікпен «түйіседі».

Евклидтік геометрияда екі геодезия қиылысуы немесе параллель болуы мүмкін болса, гиперболалық геометрияда үш мүмкіндік бар. Бір жазықтыққа жататын екі геодезия болуы мүмкін:

1. қиылысу, егер олар жазықтықтағы жалпы нүктеде қиылысатын болса,
2. параллель, егер олар жазықтықта қиылыспаса, бірақ шексіздік кезінде ортақ шекара нүктесіне жақындаса (тамаша нүкте ), немесе
3. ультра параллель, егер оларда шексіздіктің жалпы шегі болмаса.

Әдебиетте ультра параллель геодезия жиі аталады қиылыспайтын. Шексіздікте қиылысатын геодезия деп аталады шектейтін параллель.

Нүкте арқылы мысалда көрсетілгендей а желіде емес л олар екеу шектейтін параллель сызықтар, әр бағыт үшін бір тамаша нүкте l жолының Олар l түзуімен қиылысатын және түзуге ультра параллель түзулерді ажыратады л.

Ультра параллель түзулерде жалғыз ортақ перпендикуляр болады (ультра параллель теорема ) және осы жалпы перпендикулярдың екі жағында да алшақтайды.

Сфералық немесе эллиптикалық геометрия

Үстінде сфера параллель түзу деген ұғым жоқ. Түзу а Бұл үлкен шеңбер, сфералық геометриядағы түзудің эквиваленті. Түзу в сызыққа бірдей қашықтықта орналасқан а бірақ үлкен шеңбер емес. Бұл ендік параллелі. Түзу б қиылысатын тағы бір геодезиялық болып табылады а екі антиподальды нүктеде. Олар екі жалпы перпендикулярды бөліседі (біреуі көкпен көрсетілген).

Жылы сфералық геометрия, барлық геодезиялар үлкен үйірмелер. Үлкен шеңберлер сфераны екіге тең бөледі жарты шарлар және барлық үлкен шеңберлер бір-бірін қиып өтеді. Сонымен, берілген геодезияға параллель геодезия жоқ, өйткені барлық геодезиялар қиылысады. Шардағы тең иінді қисықтар деп аталады ендік параллельдері ұқсас ендік глобустағы сызықтар. Ендік параллельдерін сфераның центрі арқылы жазықтыққа параллель жазықтықпен қиылысуы арқылы жасауға болады.

Рефлексивті нұсқа

Егер л, м, п бұл үш нақты сызық ${ displaystyle l параллель m land m параллель n білдіреді l параллель n.}$

Бұл жағдайда параллелизм а өтпелі қатынас. Алайда, жағдайда л = n, қабаттасқан сызықтар емес евклидтік геометрияда параллель болып саналады. The екілік қатынас параллель түзулер арасындағы а симметриялық қатынас. Евклидтің ұстанымдары бойынша параллелизм болып табылады емес а рефлексивтік қатынас және осылайша сәтсіз болу эквиваленттік қатынас. Осыған қарамастан аффиндік геометрия а қарындаш параллель түзулер ан ретінде қабылданады эквиваленттілік класы параллелизм эквиваленттік қатынас болатын сызықтар жиынтығында.^[15][16][17]

Оған байланысты, Эмиль Артин (1957) параллелизмнің анықтамасын қабылдады, егер екі сызық параллель болса, егер олардың барлық нүктелері ортақ болса немесе жоқ болса.^[18]Содан кейін сызық болып табылады рефлексивті және өтпелі қасиеттер параллелизмнің осы түріне жататындай етіп, өзіне параллель, сызықтар жиынтығында эквиваленттік қатынас жасайды. Зерттеуінде түсу геометриясы, параллелизмнің бұл нұсқасы аффиндік жазықтық.

Сондай-ақ қараңыз

• Клиффорд параллель
• Параллельді шектеу
• Параллель қисық
• Ультра параллель теорема

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Хит, Томас Л. (1956), Евклид элементтерінің он үш кітабы (2-ші басылым. [Факсимиле. Түпнұсқа басылым: Cambridge University Press, 1925 ж.), Нью-Йорк: Dover Publications

(3 том): ISBN  0-486-60088-2 (1-том), ISBN  0-486-60089-0 (2-том), ISBN  0-486-60090-4 (3-том). Хиттің беделді аудармасы және бүкіл тарихи зерттеулер мен егжей-тегжейлі түсіндірмелер.

• Ричардс, Джоан Л. (1988), Математикалық көріністер: Викториядағы Англиядағы геометрияға ұмтылу, Бостон: Academic Press, ISBN  0-12-587445-6
• Уилсон, Джеймс Морис (1868), Бастауыш геометрия (1-ші басылым), Лондон: Макмиллан және Ко.
• Уайли кіші, Р.Р. (1964), Геометрияның негіздері, McGraw-Hill

Әрі қарай оқу

• Пападопулос, Афаназа; Терет, Гийом (2014), Иоганн Генрих Ламберттің La théorie des parallèles: Презентация, сауда-саттық және түсініктемелер, Париж: Жинақтар туралы ғылымдар, Лисберри Альберт Бланчард, ISBN  978-2-85367-266-5

Сыртқы сілтемелер

• Берілген нүкте арқылы параллель түзуді циркульмен және түзумен салу