Нүктелік шағылысу - Point reflection

2 өлшемдегі нүктелік шағылысу 180 ° айналумен бірдей.

Бір-біріне орталықтан симметриялы қос тетраэдралар

Жылы геометрия, а нүктелік шағылысу немесе бір нүктеде инверсия (немесе нүкте арқылы инверсия, немесе орталық инверсия) түрі болып табылады изометрия туралы Евклид кеңістігі. Нүктелік шағылысумен инвариантты объект иелік етеді нүктелік симметрия; егер ол орталық арқылы шағылысқан кезде инвариантты болса, онда ол иелік етеді орталық симметрия немесе болуы керек орталықтан симметриялы.

Нүктелік шағылысты ан ретінде жіктеуге болады аффиналық трансформация. Атап айтқанда, бұл изометриялық еріксіз аффиналық трансформация, ол дәл біреуіне ие бекітілген нүкте, бұл инверсияның нүктесі. Бұл а-ға тең гомотетикалық трансформация масштаб коэффициенті −1-ге тең. Инверсия нүктесі де деп аталады гомотетикалық орталық.

Терминология

Термин шағылысу еркін, кейбіреулер тілді теріс пайдалану деп санайды инверсия артықшылықты; дегенмен, нүктелік шағылысу кеңінен қолданылады. Мұндай карталар тарту, бұл олардың 2-реті бар екенін білдіреді - олар өздеріне кері болып табылады: оларды екі рет қолданғанда пайда болады жеке куәлік - бұл басқа деп аталатын карталарға да қатысты шағылысулар. Тар, а шағылысу а-дағы шағылысқа жатады гиперплан ( ${ displaystyle n-1}$ өлшемді аффиндік кеңістік - нүкте түзу, сызық ұшақ, жазықтық 3 кеңістіктегі), гиперплан жазулы, бірақ кеңірек шағылысу Евклид кеңістігінің кез-келген инволюциясына және бекітілген жиынтыққа (аффиндік кеңістік кеңістігіне) қолданылады к, қайда ${ displaystyle 1 leq k leq n-1}$ ) деп аталады айна. 1 өлшемінде олар сәйкес келеді, өйткені нүкте сызықтағы гиперплан болып табылады.

Сызықтық алгебра тұрғысынан, егер шығу тегі бекітілген деп есептесек, индукциялар дәл солай болады диагонализацияланатын барлығымен бірге карталар меншікті мәндер 1 немесе −1. Гиперпландағы шағылыстың жалғыз өзіндік мәні (және еселігі) болады ${ displaystyle n-1}$ 1 меншікті мәнінде), ал нүктелік шағылыста тек −1 өзіндік мәні болады (еселікпен) n).

Термин инверсия деп шатастыруға болмайды инверсивті геометрия, қайда инверсия шеңберге қатысты анықталады.

Мысалдар

2D мысалдары
Алты бұрышты параллелогон	Сегізбұрыш

Екі өлшемде нүктелік шағылысу а-мен бірдей айналу 180 градус. Үш өлшемде нүктелік шағылысты 180 градусқа айналу ретінде сипаттауға болады құрастырылған айналу осіне перпендикуляр жазықтықта шағылысуымен. Өлшемде n, нүктелік шағылыстырулар болып табылады бағдар - егер сақталса n біркелкі, және егер бағдар өзгертілсе n тақ.

Формула

Вектор берілген а Евклид кеңістігінде Rⁿ, шағылыстыру формуласы а нүкте бойынша б болып табылады

{ displaystyle mathrm {Ref} _ { mathbf {p}} ( mathbf {a}) = 2 mathbf {p} - mathbf {a}.}

Бұл жағдайда б - шығу тегі, нүктелік шағылысу - векторды жоққа шығару а.

Жылы Евклидтік геометрия, инверсия а нүкте X бір нүктеге қатысты P нүкте X* осылай P ортаңғы нүктесі сызық сегменті соңғы нүктелермен X және X*. Басқаша айтқанда вектор бастап X дейін P векторымен бірдей P дейін X*.

In инверсиясының формуласы P болып табылады

х* = 2а − х

қайда а, х және х* - позиция векторлары P, X және X* сәйкесінше.

Бұл картаға түсіру болып табылады изометриялық еріксіз аффиналық трансформация дәл біреуінде бекітілген нүкте, қайсысы P.

Біркелкі масштабтаудың немесе гомотетияның ерекше жағдайы ретінде нүктелік шағылысу

Инверсия нүктесі болған кезде P шығуымен сәйкес келеді, нүктелік шағылысу ерекше жағдайға эквивалентті біркелкі масштабтау: масштаб коэффициенті −1-ге тең біркелкі масштабтау. Бұл мысал сызықтық түрлендіру.

Қашан P шығуымен сәйкес келмейді, нүктелік шағылысу ерекше жағдайға эквивалентті гомотетикалық трансформация: гомотетия гомотетикалық орталық сәйкес келеді, және шкала коэффициенті −1. Бұл сызықтық емес мысал аффиналық трансформация ).

Нүктелік рефлексия тобы

Екі өлшемдегі екі офсеттік шағылыстың құрамы аударма болып табылады.

The құрамы екі нүктелік шағылыстың а аударма. Дәлірек айтқанда, нүктелік шағылысу б содан кейін нүктелік шағылысу q бұл 2 векторы арқылы аудару (q − б).

Барлық нүктелік көріністер мен аудармалардан тұратын жиынтық Lie кіші тобы туралы Евклид тобы. Бұл жартылай бағыт өнім туралы Rⁿ а циклдік топ 2-ші бұйрық, соңғысы әрекет етеді Rⁿ теріске шығару арқылы. Дәл осы Евклид тобының кіші тобы шексіздік сызығы бағытта.

Жағдайда n = 1, нүктелік рефлексия тобы толық болып табылады изометрия тобы жолдың.

Математикадағы нүктелік рефлексиялар

Сфераның центрі бойынша нүктелік шағылысу нәтижесін береді антиподальды карта.
A симметриялық кеңістік Бұл Риманн коллекторы әр нүкте бойынша изометриялық шағылысумен. Симметриялық кеңістіктер зерттеуде маңызды рөл атқарады Өтірік топтар және Риман геометриясы.

Аналитикалық геометриядағы нүктелік шағылысу

Нүктені ескере отырып ${ displaystyle P (x, y)}$ және оның көрінісі ${ displaystyle P '(x', y ')}$ нүктеге қатысты ${ displaystyle C (x_ {c}, y_ {c})}$ , соңғысы ортаңғы нүкте сегменттің ${ displaystyle { overline {PP '}}}$ ;

{ displaystyle { begin {case} x_ {c} = { frac {x + x '} {2}} y_ {c} = { frac {y + y'} {2}} end { істер}}}

Демек, шағылған нүктенің координаталарын табудың теңдеулері болып табылады

{ displaystyle { begin {case} x '= 2x_ {c} -x y' = 2y_ {c} -y end {case}}}

С нүктесінің координаталары болатын жағдай ерекше ${ displaystyle (0,0)}$ (қараңыз төмендегі параграф )

{ displaystyle { begin {case} x '= - x y' = - y end {case}}}

Қасиеттері

Біркелкі Евклид кеңістігі, 2 деп айтыңызN-өлшемдік кеңістік, нүктедегі инверсия P дегенге тең N бұрыштар бойынша айналу $π$ ерікті жиынының әр жазықтығында N қиылысатын өзара ортогональ жазықтықтар P. Бұл айналымдар өзара ауыстырымды болып табылады. Демек, бір өлшемді кеңістіктегі нүктедегі инверсия бағдар сақтайтын изометрия немесе тікелей изометрия.

Тақ өлшемді Евклид кеңістігі, айтыңыз (2N + 1) -өлшемдік кеңістік, ол барабар N айналу аяқталды $π$ ерікті жиынының әр жазықтығында N қиылысатын өзара ортогональ жазықтықтар P, 2-дегі шағылысумен біріктірілгенN-осы айналу жазықтықтарының көлемді ішкі кеңістігі. Сондықтан, ол керісінше консервілеуге қарағанда бағдар, бұл жанама изометрия.

Геометриялық түрде 3D-де ол құрайды айналу ось арқылы P арқылы жазықтықта шағылысумен біріктірілген 180 ° бұрышпен P осіне перпендикуляр; нәтиже тәуелді емес бағдар (басқа мағынада) ось. Операция түріне немесе ол жасайтын топтың түріне арналған белгілер болып табылады ${ displaystyle { overline {1}}}$ , C_мен, S₂, және 1 ×. Топ типі - үшеудің бірі симметрия тобы кез-келген таза түрде 3D форматында айналу симметриясы, қараңыз циклдік симметриялар бірге n = 1.

Келесісі үш өлшемді топтық нүктелер инверсияны қамтиды:

C_nсағ және Д._nсағ тіпті n
S_2n және Д._nг. тақ үшін n
Т_сағ, O_сағ, және Мен_сағ

Нүктедегі кері мәнмен тығыз байланысты шағылысу а қатысты ұшақ, оны «жазықтықтағы инверсия» деп санауға болады.

Кристаллографиядағы инверсиялық орталықтар

Нүкте болған кезде молекулаларда инверсия орталығы болады, ол арқылы барлық атомдар симметрияны сақтай отырып шағылыса алады. Кристаллографияда инверсиялық орталықтардың болуы центросимметриялық және центросимметриялық емес қосылыстарды ажыратады. Кристалдық құрылымдар координациялық саны мен байланыс бұрыштары бойынша жіктелген әр түрлі полиэдрадан тұрады. Мысалы, төрт координаталы полиэдраны тетраэдралар қатарына жатқызады, ал бес координаталық орталар байланыс бұрыштарына байланысты квадрат пирамидалы немесе тригональды бипирамидалы бола алады. Барлық кристалды қосылыстар біртұтас жасуша деп аталатын атомдық блоктың қайталануынан пайда болады және бұл бірлік жасушалар қандай полиэдраның қандай тәртіпте пайда болатынын анықтайды. Бұл полиэдра атомдардың ортақ байланыстарды бөлуіне байланысты бұрыштық, шеттік немесе бетті бөлісу арқылы біріктіріледі. Құрамында инверсия орталықтары бар полиэдралар центросимметриялы, ал ондайлар центросимметриялық емес деп аталады. Алты координаталық октаэдра центросимметриялық полиэдраның мысалы болып табылады, өйткені орталық атом алты байланысқан атомдар симметрияны сақтайтын инверсия орталығы ретінде әрекет етеді. Ал тетраэдралар центросемметриялы емес, өйткені орталық атом арқылы инверсия полиэдрдің өзгеруіне әкеледі. Тақ координациялық сандармен байланыстыру геометриялары центросимметриялық емес болуы керек екенін ескеру маңызды, өйткені бұл полиэдрада инверсия орталықтары болмайды.

Кристалдардағы нақты полиэдралар көбінесе олардың байланыс геометриясында күтілетін біртектілікке ие болмайды. Кристаллографияда кездесетін жалпы бұзушылықтарға бұрмаланулар мен бұзылулар жатады. Бұрмалануға көбінесе гетероатомдар арасындағы әр түрлі электростатикалық тартудың әсерінен біркелкі емес байланыстыру ұзындығына байланысты полиэдраның қисаюы жатады. Мысалы, титан орталығы октаэдрдегі алты оксигенмен біркелкі байланысады, бірақ егер оксигендердің біреуі әлдеқайда электронегативті фтормен ауыстырылса, бұрмалану пайда болады. Бұрмаланулар полиэдраның өзіне тән геометриясын өзгертпейді - бұрмаланған октаэдр әлі де октаэдр қатарына жатқызылған, бірақ жеткілікті күшті бұрмаланулар қосылыстың центросимметриясына әсер етуі мүмкін. Бұзушылық екі немесе одан да көп учаскелерге бөлінуді қамтиды, онда атом белгілі бір пайыздық полистраның бір кристаллографиялық орнын, ал қалған позицияны алады. Бұзушылық белгілі бір полиэдралардың центросимметриясына әсер етуі мүмкін, бұл толтыру қазірдің өзінде бар инверсия орталығы бойынша бөлінген-бөлінбегеніне байланысты.

Центросимметрия кристалдық құрылымға да қатысты. Кристалдар отыз екі кристаллографиялық нүктелік топтарға жіктеледі, олар әртүрлі полиэдралардың көлемдік құрылымдағы кеңістіктегі орналасуын сипаттайды. Осы отыз екі нүктелік топтардың он бірі центросимметриялы. Нонцентриметриялық емес полиэдраның болуы нүктелер тобының бірдей болатындығына кепілдік бермейді - екі центросимметриялық емес фигуралар екеуінің арасындағы инверсия центрін қамтитын кеңістікте бағдарлануы мүмкін. Бір-біріне қараған екі тетраэдрдың ортасында инверсия орталығы болуы мүмкін, себебі бағдар әрбір атомға шағылысқан жұпқа ие болуға мүмкіндік береді. Кері де дұрыс, өйткені көп центросимметриялық полиэдраны центрсиметриялық емес нүктелер тобын құруға орналастыруға болады.

Бейсентримметриялық қосылыстар бейсызық оптикаға қолдану үшін пайдалы болуы мүмкін. Инверсиялық орталықтар арқылы симметрияның болмауы кристалдың аудандарына түсетін жарықпен әр түрлі әсер етуі мүмкін. Электромагниттік сәуле құрылымның әр түрлі энергетикалық күйлерімен әрекеттескен кезде жарықтың толқын ұзындығы, жиілігі мен қарқындылығы өзгеруі мүмкін. Калий титанилфосфаты, KTiOPO4 (KTP) центросимметриялық емес, ортомомдық Pna21 кеңістік тобында кристалданады және пайдалы сызықтық емес кристалл болып табылады. KTP екінші гармоникалық генерация деп аталатын сызықтық емес оптикалық қасиетін қолдана отырып, жиілікті екі еселендіретін неодим-қоспалы лазерлер үшін қолданылады. Сызықты емес материалдарға арналған қосымшалар әлі де зерттелуде, бірақ бұл қасиеттер инверсия орталығының болуынан (немесе олардың болмауынан) туындайды.

Шығу тегіне қатысты инверсия

Шығу тегі бойынша инверсия сәйкес келеді аддитивті инверсия позиция векторының, және де скалярлық көбейту −1. Операция бір-бірімен жүреді сызықтық түрлендіру, бірақ онымен емес аударма: бұл орталығы туралы жалпы сызықтық топ. «Инверсия» «нүктеде», «сызықта» немесе «жазықтықта» көрсетпей, осы инверсияны білдіреді; физикада шығу тегі арқылы 3-өлшемді шағылысуды а деп те атайды паритетті өзгерту.

Математикада, шығу тегі арқылы шағылысу нүктелік шағылысына жатады Евклид кеңістігі Rⁿ арқылы шығу тегі туралы Декарттық координаттар жүйесі. Шығу тегі арқылы шағылысу ортогональды түрлендіру сәйкес скалярлық көбейту арқылы ${ displaystyle -1}$ , және сондай-ақ жазылуы мүмкін ${ displaystyle -I}$ , қайда ${ displaystyle I}$ болып табылады сәйкестік матрицасы. Үш өлшемде бұл жіберіледі ${ displaystyle (x, y, z) mapsto (-x, -y, -z)}$ және т.б.

Өкілдіктер

Сияқты скаляр матрица, ол әр негізде матрицамен ұсынылған ${ displaystyle -1}$ диагональ бойынша, және сәйкестілікпен бірге орталығы туралы ортогональды топ ${ displaystyle O (n)}$ .

Бұл өнімі n ортогоналды шағылыстар (кез-келгеннің осьтері арқылы шағылысу ортогональды негіз ); ортогоналды шағылыстың жүруіне назар аударыңыз.

Екі өлшемде ол 180 градусқа айналады, ал өлшемде ${ displaystyle 2n}$ , бұл 180 градусқа айналу n ортогоналды жазықтықтар;^{[1 ескерту]} Ортогональ жазықтықтағы айналу жүрісі ауыстырылатындығына тағы назар аударыңыз.

Қасиеттері

Оның детерминанты бар ${ displaystyle (-1) ^ {n}}$ (матрицамен немесе шағылысу көбейтіндісімен ұсынудан). Сонымен, ол жұп өлшемде бағдар сақтайды, осылайша арнайы ортогоналды топ СО (2n) және ол тақ өлшемде бағыттылықты өзгертеді, сондықтан SO элементі емес (2n + 1) және оның орнына a бөлу картаның ${ displaystyle O (2n + 1) to pm 1}$ , деп көрсетіп ${ displaystyle O (2n + 1) = SO (2n + 1) times { pm I }}$ ретінде ішкі тікелей өнім.

Тұлғамен бірге ол орталығы туралы ортогональды топ.
Ол әрбір квадраттық форманы, мағынаны сақтайды ${ displaystyle Q (-v) = Q (v)}$ , осылайша әрқайсысының элементі болып табылады белгісіз ортогоналды топ сонымен қатар.
Бұл сипаттама 2 болған жағдайда ғана, ол сәйкестікке тең болады.
Бұл ең ұзын элемент туралы Коксетер тобы туралы қол қойылған ауыстырулар.

Ұқсас түрде, бұл ортогоналды топтың ең ұзын элементі, шағылыстыратын генерация жиынтығына қатысты: ортогоналды топтың элементтерінде барлығы бар ұзындығы ең көп дегенде n генерациялайтын шағылысулар жиынтығына қатысты,^{[2 ескерту]} және шығу тегі арқылы шағылыстың ұзақтығы бар n, бұл ерекше емес: айналудың басқа максималды комбинациялары (және шағылысуы да) максималды ұзындыққа ие.

Геометрия

SO-да (2р), шығу тегі арқылы шағылысу жеке элементтен әдеттегі метрикаға қатысты ең алыс нүкте болып табылады. O-да (2р + 1), шығу тегі бойынша шағылысу SO-да болмайды (2р+1) (бұл сәйкестендіру компонентінде) және оның жеке емес компоненттің кез-келген нүктесінен гөрі «алыс нүкте» болатын табиғи мағынасы жоқ, бірақ ол негізгі нүкте басқа компонентте.

Клиффорд алгебралары және спин топтары

Ол ... жөн болар емес элементпен шатастырыңыз ${ displaystyle -1 in mathrm {Spin} (n)}$ ішінде айналдыру тобы. Бұл тіпті спин-топтар үшін де түсініксіз ${ displaystyle -I in SO (2n)}$ және, осылайша ${ displaystyle operatorname {Spin} (n)}$ екеуі де бар ${ displaystyle -1}$ және 2 көтергіш ${ displaystyle -I}$ .

Сәйкестік арқылы рефлексия а автоморфизміне дейін таралады Клиффорд алгебрасы, деп аталады негізгі инволюция немесе баға инволюциясы.

Сәйкестік арқылы рефлексия а көтеріледі псевдоскалар.

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

^ Барлық элементтерді білдіретін «ортогональды жазықтықтар» ортогональды және жазықтықтар тек 0-де қиылысады, олардың түзумен қиылысуы және екі жақты бұрыш 90°.
^ Бұдан ортогональды түрлендірулерді айналу мен шағылыстың тікелей қосындысы ретінде жіктеу шығады спектрлік теорема, мысалы.

Әдебиеттер тізімі

[1] Барлық элементтерді білдіретін «ортогональды жазықтықтар» ортогональды және жазықтықтар тек 0-де қиылысады, олардың түзумен қиылысуы және екі жақты бұрыш 90°.

[2] Бұдан ортогональды түрлендірулерді айналу мен шағылыстың тікелей қосындысы ретінде жіктеу шығады спектрлік теорема, мысалы.

[1 ескерту]

[2 ескерту]