Спектрлік теорема - Википедия - Spectral theorem

Жылы математика, атап айтқанда сызықтық алгебра және функционалдық талдау, а спектрлік теорема а болған кездегі нәтиже болып табылады сызықтық оператор немесе матрица бола алады диагональды (яғни а ретінде ұсынылған қиғаш матрица қандай да бір негізде). Бұл өте пайдалы, өйткені диагонализацияланатын матрицаны қамтитын есептеулер көбінесе сәйкес диагональды матрицаны қамтитын қарапайым есептеулерге дейін азайтылуы мүмкін. Диагонализация ұғымы шектеулі векторлық кеңістіктегі операторлар үшін салыстырмалы түрде қарапайым, бірақ шексіз кеңістіктегі операторлар үшін кейбір түрлендірулерді қажет етеді. Жалпы, спектрлік теорема сызықтық операторлар оны модельдеуге болады көбейту операторлары, оларды табуға үміттенгендей қарапайым. Неғұрлым абстрактілі тілде спектрлік теорема - бұл коммутативті туралы тұжырым C * -алгебралар. Сондай-ақ қараңыз спектрлік теория тарихи перспектива үшін.

Спектрлік теорема қолданылатын операторлардың мысалдары өздігінен байланысатын операторлар немесе жалпы түрде қалыпты операторлар қосулы Гильберт кеңістігі.

Спектралды теорема а канондық ыдырау деп аталады спектрлік ыдырау, өзіндік құндылықтың ыдырауы, немесе өзіндік композиция, оператор әрекет ететін векторлық кеңістіктің.

Августин-Луи Коши үшін спектрлік теореманы дәлелдеді өзін-өзі байланыстыратын матрицалар, яғни әрбір нақты, симметриялық матрица диагонализацияланатындығы. Сонымен қатар, Коши детерминанттарға қатысты бірінші болып жүйелі болды.[1][2] Бойынша жалпыланған спектрлік теорема Джон фон Нейман бүгінде операторлар теориясының ең маңызды нәтижесі болып табылады.

Бұл мақалада негізінен спектралды теореманың қарапайым түріне назар аударылады, ол а өзін-өзі біріктіру Гильберт кеңістігіндегі оператор. Алайда, жоғарыда айтылғандай, спектрлік теорема Гильберт кеңістігіндегі қалыпты операторлар үшін де орындалады.

Соңғы өлшемді жағдай

Эрмитические карталары және гермициялық матрицалар

Біз а Эрмициан матрицасы қосулы (бірақ келесі талқылау шектеулі жағдайға бейімделетін болады симметриялық матрицалар қосулы ). Біз а Эрмити картасы A ақырлы өлшемді күрделі ішкі өнім кеңістігі V а позитивті анық дыбыссыз ішкі өнім . Эрмити шарты қосулы барлығы үшін дегенді білдіреді х, жV,

Балама шарт - бұл A* = A, қайда A* болып табылады Эрмициандық конъюгат туралы A. Бұл жағдайда A матрицасы Эрмициан матрицасымен анықталады A* онымен анықтауға болады конъюгат транспозасы. (Егер A Бұл нақты матрица, бұл барабар AТ = A, Бұл, A Бұл симметриялық матрица.)

Бұл шарт Эрмита картасының барлық мәндерінің нақты екендігін білдіреді: оны жағдайға қолдану жеткілікті х = ж жеке вектор. (Естеріңізге сала кетейік меншікті вектор сызықтық карта A - бұл (нөлге тең емес) вектор х осындай Балта = λx скаляр үшін λ. Мәні λ сәйкес келеді өзіндік құндылық. Оның үстіне меншікті мәндер тамыры болып табылады тән көпмүшелік.)

Теорема. Егер A Эрмитиан, ан бар ортонормальды негіз туралы V меншікті векторларынан тұрады A. Әрбір жеке мән нақты болып табылады.

Біз скалярдың негізгі өрісі болып табылатын жағдайға дәлелдің эскизін ұсынамыз күрделі сандар.

Бойынша алгебраның негізгі теоремасы, қолданылды тән көпмүшелік туралы A, кем дегенде бір меншікті мән бар λ1 және жеке вектор e1. Содан бері

біз мұны табамыз λ1 нақты. Енді кеңістікті қарастырыңыз Қ = аралық {e1}, ортогоналды комплемент туралы e1. Эрмитизм бойынша, Қ болып табылады өзгермейтін ішкі кеңістік туралы A. Сол аргументті қолдану Қ көрсетеді A меншікті векторы бар e2Қ. Содан кейін ақырғы индукция дәлелдеуді аяқтайды.

Спектрлік теорема ақырлы өлшемді нақты ішкі өнім кеңістігіндегі симметриялы карталарға да қатысты, бірақ меншікті вектордың болуы бірден пайда болмайды алгебраның негізгі теоремасы. Мұны дәлелдеу үшін қарастырыңыз A матрицасы ретінде және гермитич матрицасының барлық меншікті мәндері нақты болатындығын қолданыңыз.

Матрицалық көрінісі A меншікті векторлар негізінде қиғаш орналасқан, ал құрылысы бойынша дәлелдеу өзара ортогоналды меншікті векторларға негіз береді; оларды бірлік векторлар ретінде таңдау арқылы меншікті векторлардың ортонормальды негізін алуға болады. A оны деп аталатын жұптық ортогональ проекциялардың сызықтық комбинациясы түрінде жазуға болады спектрлік ыдырау. Келіңіздер

меншікті мәнге сәйкес жеке кеңістік болыңыз λ. Анықтама нақты меншікті векторларды таңдауға байланысты емес екенін ескеріңіз. V кеңістіктердің ортогональды тікелей қосындысы болып табылады Vλ мұндағы индекс меншікті мәндерден асады.

Басқаша айтқанда, егер Pλ дегенді білдіреді ортогональды проекция үстінде Vλ, және λ1, ..., λм меншікті мәндері болып табылады A, онда спектрлік ыдырау келесі түрде жазылуы мүмкін

Егер спектрлік ыдырауы болса A болып табылады , содан кейін және кез-келген скаляр үшін Бұдан кез-келген көпмүшелік үшін шығады f біреуінде бар

Спектрлік ыдырау - бұл екеуінің де ерекше жағдайы Шурдың ыдырауы және дара мәннің ыдырауы.

Қалыпты матрицалар

Спектрлік теорема жалпы матрицалар класына дейін таралады. Келіңіздер A ақырлы өлшемді ішкі өнім кеңістігінің операторы болу. A деп айтылады қалыпты егер A*A = АА*. Мұны біреу көрсете алады A қалыпты жағдайда, егер ол тек диагонализацияланған болса ғана. Дәлел: Шурдың ыдырауы, кез-келген матрицаны келесідей жаза аламыз A = UTU*, қайда U унитарлы және Т жоғарғы үшбұрышты A бұл қалыпты жағдай, оны біреу көреді ТТ* = Т*Т. Сондықтан, Т қиғаш болуы керек, өйткені қалыпты жоғарғы үшбұрышты матрица диагональды құрайды (қараңыз) қалыпты матрица ). Керісінше анық.

Басқа сөздермен айтқанда, A бар болған жағдайда ғана қалыпты унитарлық матрица U осындай

қайда Д. Бұл қиғаш матрица. Содан кейін, диагоналінің жазбалары Д. болып табылады меншікті мәндер туралы A. Баған векторлары U меншікті векторлары болып табылады A және олар ортонормальды. Эрмитистің жағдайынан айырмашылығы Д. нақты болмауы керек.

Өздігінен байланысатын ықшам операторлар

Шексіз өлшемге ие болуы мүмкін Гильберт кеңістігінің жалпы жағдайында спектрлік теореманың тұжырымы ықшам өздігінен байланысатын операторлар ақырғы өлшемді жағдайдағы сияқты іс жүзінде бірдей.

Теорема. Айталық A (нақты немесе күрделі) Гильберт кеңістігінде өздігінен байланысатын ықшам оператор V. Сонда бар ортонормальды негіз туралы V меншікті векторларынан тұрады A. Әрбір жеке мән нақты болып табылады.

Эрмициан матрицаларына келетін болсақ, шешуші мәселе - кем дегенде бір нөлдік емес жеке вектордың бар екендігін дәлелдеу. Меншікті мәндердің бар екендігін көрсету үшін детерминанттарға сенуге болмайды, бірақ меншікті мәндердің вариациялық сипаттамасына ұқсас максималдау аргументін қолдануға болады.

Егер ықшамдық туралы болжам алынып тасталса, ол жойылады емес әрбір өзін-өзі байланыстыратын оператордың меншікті векторлары бар екендігі рас.

Өзін-өзі байланыстыратын операторлар

Меншікті векторлардың болмауы мүмкін

Біз қарастыратын келесі жалпылау - бұл шектелген Гильберт кеңістігінде өздігінен байланысатын операторлар. Мұндай операторлардың өзіндік мәні болмауы мүмкін: мысалы, рұқсат етіңіз A арқылы көбейту операторы болу керек т қосулы L2[0, 1], Бұл,[3]

Енді физик осылай айтар еді жасайды меншікті векторлары бар, атап айтқанда , қайда бұл Dirac дельта-функциясы. Дельта-функция, дегенмен, қалыпқа келтірілетін функция емес; бұл Гильберт кеңістігінде емес L2[0, 1]. Сонымен, дельта-функциялар «жалпыланған меншікті векторлар» болып табылады, бірақ қатаң мағынада меншікті векторлар емес.

Спектрлік ішкі кеңістіктер және проекциялармен бағаланатын өлшемдер

(Шын) меншікті векторлар болмаған жағдайда, ішкі кеңістіктерді іздеуге болады дербес векторлар. Жоғарыдағы мысалда, мысалы, қайда біз кіші аралықта қолданылатын функциялардың ішкі кеңістігін қарастыруымыз мүмкін ішінде . Бұл кеңістік астында өзгермейді және кез келген үшін осы кіші кеңістікте, өте жақын . Спектралды теоремаға бұл тәсілде, егер өзін-өзі байланыстыратын оператор болып табылады, осындай «спектрлік ішкі кеңістіктердің» көпбалалы отбасыларын іздейді.[4] Әрбір ішкі кеңістік, өз кезегінде, байланысты проекциялау операторымен кодталады, содан кейін барлық ішкі кеңістіктің жиынтығы проекциялайтын өлшем.

Спектралды теореманың бір тұжырымы операторды білдіреді A оператордың үстінен координаталық функцияның интегралы ретінде спектр проекциямен бағаланатын өлшемге қатысты.[5]

Қарастырылып отырған өзін-өзі байланыстыратын оператор болған кезде ықшам, спектрлік теореманың бұл нұсқасы жоғарыдағы ақырлы-өлшемді спектрлік теоремаға ұқсас нәрсеге дейін азаяды, тек оператор проекциялардың ақырлы немесе шексіз сызықтық комбинациясы түрінде өрнектеледі, яғни өлшем тек атомдардан тұрады.

Көбейту операторының нұсқасы

Спектралды теореманың альтернативті тұжырымдамасында әрбір шектелген өзін-өзі біріктіретін оператор көбейту операторына бірлікте эквивалентті болады дейді. Бұл нәтиженің маңыздылығы - көбейту операторлары көп жағдайда түсінікті.

Теорема.[6] Келіңіздер A Гильберт кеңістігінде өзін-өзі байланыстыратын оператор болуы керек H. Сонда а кеңістікті өлшеу (X, Σ, μ) және нақты бағаланады мәні бойынша шектелген өлшенетін функция f қосулы X және а унитарлы оператор U:HL2μ(X) осындай

қайда Т болып табылады көбейту операторы:
және

Спектралды теорема деп аталатын функционалды анализдің үлкен зерттеу аймағының бастамасы болып табылады оператор теориясы; қараңыз спектрлік өлшем.

Шектелгенге арналған аналогтық спектрлік теорема да бар қалыпты операторлар Гильберт кеңістігінде. Қорытындыдағы жалғыз айырмашылық - қазір f күрделі бағалануы мүмкін.

Тура интегралдар

Тұрғысынан спектралды теореманың тұжырымдамасы да бар тікелей интегралдар. Бұл көбейту-оператор тұжырымына ұқсас, бірақ канондық.

Келіңіздер шектеулі өзін-өзі байланыстыратын оператор болу және мүмкіндік беру спектрі болу . Спектралды теореманың тура интегралды тұжырымдамасы екі шаманы байланыстырады . Біріншіден, шара қосулы , екіншіден, Гилберт кеңістігінің отбасы Содан кейін біз тікелей интегралды Гильберт кеңістігін құрамыз

Бұл кеңістіктің элементтері функциялар (немесе «бөлімдер») осындай барлығына . Спектралды теореманың тікелей интегралды нұсқасы келесі түрде көрсетілуі мүмкін:[7]

Теорема. Егер шектеулі өзін-өзі байланыстыратын оператор, содан кейін «-ге көбейтуге бірлікте тең «оператор қосулы

белгілі бір мөлшерде және кейбір отбасы Гильберт кеңістігінің Шара арқылы анықталады теоретикалық эквиваленттілікке дейін; яғни кез келген екі өлшем бір бірдей нөлдер жиынтығына ие болыңыз. Гильберт кеңістігінің өлшемдері бірегей анықталады жиынтығына дейін - нөлді өлшеу.

Бос орындар «өзіндік кеңістік» сияқты нәрсе ретінде қарастыруға болады . Алайда, егер бір элемент болмаса ғана екенін ескеріңіз кеңістіктің оң өлшемі бар тікелей интегралдың ішкі кеңістігі емес. Осылайша, Мұны «жалпыланған өзіндік кеңістік» деп қарастыру керек, яғни элементтері бұл Гильберт кеңістігіне жатпайтын «меншікті векторлар».

Көбейту операторы да, спектралды теореманың тікелей интегралды тұжырымдамасы да өзіне-өзі қосылатын операторды көбейту операторына бірлікті эквивалент ретінде көрсеткенімен, тура интегралды тәсіл канондық болып табылады. Біріншіден, тікелей интеграл жүретін жиын (оператор спектрі) канондық болады. Екіншіден, біз көбейтіп отырған функция тікелей интегралды тәсілде канондық болып табылады: Жай функция .

Циклдік векторлар және қарапайым спектр

Вектор а деп аталады циклдік вектор үшін егер векторлар Гильберт кеңістігінің тығыз ішкі кеңістігін қамтиды. Айталық - бұл циклдік вектор бар, өзін-өзі байланыстыратын шектелген оператор. Бұл жағдайда спектрлік теореманың тура интегралды және көбейту-оператор тұжырымдары арасында айырмашылық жоқ. Шынында да, бұл жағдайда өлшем бар спектрде туралы осындай «-ге көбейтуге бірлікте тең «оператор қосулы .[8] Бұл нәтиже ұсынады көбейту операторы ретінде бір уақытта және бастап тікелей интеграл ретінде бұл тек Гильберттің әр кеңістігі болатын тікелей интеграл жай .

Әрбір шектелген өзін-өзі байланыстыратын оператор циклдік векторды қабылдамайды; Шынында да, тікелей интегралды ыдыраудың бірегейлігімен бұл тек барлық кезде пайда болуы мүмкін өлшемі бар. Мұндай жағдай болған кезде біз оны айтамыз мағынасында «қарапайым спектр» бар спектрлік көптік теориясы. Яғни, циклдік векторды қабылдайтын шектеулі өзін-өзі қосатын операторды өзіндік мәндері бар (яғни, әрбір жеке мәннің еселігі бір) өзін-өзі байланыстыратын матрицаның шексіз өлшемді жалпылауы деп ойлау керек.

Әрқайсысы болмаса да циклдік векторды қабылдайды, біз Гильберт кеңістігін инвариантты ішкі кеңістіктің тікелей қосындысы ретінде ыдырататынымызды байқау қиын емес. циклдік векторға ие. Бұл бақылау - көбейту операторы және спектралды теореманың тура интегралды формаларының дәлелі үшін кілт.

Функционалды есептеу

Спектрлік теореманың маңызды қолданылуының бірі (қандай формада болса да) а-ны анықтау идеясы функционалды есептеу. Яғни функция берілген спектрінде анықталған , біз операторды анықтағымыз келеді . Егер жай оң күш, , содан кейін бұл тек қуаты , . Қызықты жағдайлар қайда квадрат түбір немесе экспоненциал сияқты полиномдық емес функция. Спектралды теореманың кез-келген нұсқасы осындай функционалды есептеуді ұсынады.[9] Тікелей интегралды нұсқада, мысалы ретінде көбейтудің рөлін атқарады «тікелей интегралдағы оператор:

.

Яғни, әрбір кеңістік тікелей интегралда жеке кеңістік (жалпыланған) болып табылады меншікті мәнімен .

Өздігінен байланысатын жалпы операторлар

Кездесетін көптеген маңызды сызықтық операторлар талдау, сияқты дифференциалдық операторлар, шектеусіз. Сондай-ақ спектралды теорема бар өздігінен байланысатын операторлар бұл жағдайларда қолданылады. Мысал келтіру үшін әр тұрақты коэффициентті дифференциалдық оператор көбейту операторына бірлікте эквивалентті болады. Шынында да, осы эквиваленттілікті жүзеге асыратын унитарлы оператор болып табылады Фурье түрлендіруі; көбейту операторы типтің түрі болып табылады Фурье көбейткіші.

Жалпы, өзіне-өзі қосылатын операторларға арналған спектрлік теорема бірнеше эквивалентті формаларда болуы мүмкін.[10] Алдыңғы бөлімде шектеулі өзін-өзі біріктіретін операторларға арналған барлық тұжырымдамалар - проекцияға бағаланған өлшем нұсқасы, көбейту операторы нұсқасы және тура интегралды нұсқа - шектеусіз өзін-өзі біріктіретін операторлар үшін кішігірім күйінде қалады. домен мәселелерін шешуге арналған техникалық модификация.

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ Хокинс, Томас (1975). «Коши және матрицалардың спектрлік теориясы». Historia Mathematica. 2: 1–29. дои:10.1016/0315-0860(75)90032-4.
  2. ^ Операторлар теориясының қысқаша тарихы Эванс М. Харрелл II
  3. ^ Холл 2013 6.1 бөлім
  4. ^ Холл 2013 Теорема 7.2.1
  5. ^ Холл 2013 Теорема 7.12
  6. ^ Холл 2013 Теорема 7.20
  7. ^ Холл 2013 Теорема 7.19
  8. ^ Холл 2013 Лемма 8.11
  9. ^ Мысалы, Холл 2013 Анықтама 7.13
  10. ^ 10.1 бөлімін қараңыз Холл 2013

Әдебиеттер тізімі