Riesz проекторы - Riesz projector

Жылы математика, немесе дәлірек айтқанда спектрлік теория, Riesz проекторы нақты кеңістікке проектор болып табылады өзіндік құндылық оператордың (немесе, әдетте, проектордың ан өзгермейтін ішкі кеңістік спектрдің оқшауланған бөлігіне сәйкес келеді). Ол енгізілді Фригес Риз 1912 жылы.^[1][2]

Анықтама

Келіңіздер ${ displaystyle A}$ болуы а жабық сызықтық оператор Банах кеңістігінде ${ displaystyle { mathfrak {B}}}$. Келіңіздер ${ displaystyle Gamma}$ қарапайым немесе композициялық түзетілетін контур болу керек, ол белгілі бір аймақты қоршайды ${ displaystyle G _ { Gamma}}$ және толығымен шешуші жиынтық ${ displaystyle rho (A)}$ (${ displaystyle Gamma subset rho (A)}$) оператордың ${ displaystyle A}$. Контур деп ойласақ ${ displaystyle Gamma}$ аймаққа қатысты оң бағдарға ие ${ displaystyle G _ { Gamma}}$, сәйкес келетін Riesz проекторы ${ displaystyle Gamma}$ арқылы анықталады

${ displaystyle P _ { Gamma} = - { frac {1} {2 pi mathrm {i}}} oint _ { Gamma} (A-zI _ { mathfrak {B}}) ^ {- 1 } , dz;}$

Мұнда ${ displaystyle I _ { mathfrak {B}}}$ болып табылады сәйкестендіру операторы жылы ${ displaystyle { mathfrak {B}}}$.

Егер ${ displaystyle lambda in sigma (A)}$ спектрінің жалғыз нүктесі болып табылады ${ displaystyle A}$ жылы ${ displaystyle G _ { Gamma}}$, содан кейін ${ displaystyle P _ { Gamma}}$ деп белгіленеді ${ displaystyle P _ { lambda}}$.

Қасиеттері

Оператор ${ displaystyle P _ { Gamma}}$ баратын проектор ${ displaystyle A}$, демек, ыдырауда

${ displaystyle { mathfrak {B}} = { mathfrak {L}} _ { Gamma} oplus { mathfrak {N}} _ { Gamma} qquad { mathfrak {L}} _ { Gamma } = P _ { Gamma} { mathfrak {B}}, quad { mathfrak {N}} _ { Gamma} = (I _ { mathfrak {B}} - P _ { Gamma}) { mathfrak { B}},}$

екі шарт ${ displaystyle { mathfrak {L}} _ { Gamma}}$ және ${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { Gamma}}$ болып табылады өзгермейтін ішкі кеңістіктер оператордың ${ displaystyle A}$.Сонымен қатар,

1. Шектеу спектрі ${ displaystyle A}$ ішкі кеңістікке ${ displaystyle { mathfrak {L}} _ { Gamma}}$ аймақта бар ${ displaystyle G _ { Gamma}}$;
2. Шектеу спектрі ${ displaystyle A}$ ішкі кеңістікке ${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { Gamma}}$ жабылғаннан тыс жатыр ${ displaystyle G _ { Gamma}}$.

Егер ${ displaystyle Gamma _ {1}}$ және ${ displaystyle Gamma _ {2}}$ жоғарыда көрсетілген қасиеттерге ие екі түрлі контур және аймақтар ${ displaystyle G _ { Gamma _ {1}}}$және ${ displaystyle G _ { Gamma _ {2}}}$ ортақ нүктелері жоқ, содан кейін оларға сәйкес проекторлар өзара ортогоналды болады:

${ displaystyle P _ { Gamma _ {1}} P _ { Gamma _ {2}} = P _ { Gamma _ {2}} P _ { Gamma _ {1}} = 0.}$

Сондай-ақ қараңыз

• Спектр (функционалдық талдау)
• Спектрдің ыдырауы (функционалдық талдау)
• Оператор спектрі
• Шешімді формализм
• Операторлар теориясы

Әдебиеттер тізімі