Өзіндік функция - Eigenfunction

Бұл шешім барабанның дірілдеуі уақыттың кез-келген нүктесінде Лаплас операторы дискіде.

Жылы математика, an өзіндік функция а сызықтық оператор Д. кейбірінде анықталған кеңістік кез келген нөлге тең емес функциясы f сол кеңістікте, ол әрекет еткен кезде Д., тек кейбір деп аталатын масштабтау коэффициентіне көбейтіледі өзіндік құндылық. Теңдеу ретінде бұл шартты былай жазуға болады

кейбіреулер үшін скаляр өзіндік құндылық val.[1][2][3] Осы теңдеудің шешімдері де ұшырауы мүмкін шекаралық шарттар рұқсат етілген меншікті мәндер мен функцияларды шектейтін.

Меншікті функция - бұл тип меншікті вектор.

Меншікті функциялар

Жалпы, сызықтық оператордың меншікті векторы Д. кейбір векторлық кеңістікте анықталатын - облысында нөлдік емес вектор Д. бұл, қашан Д. оған сәйкес әрекет етеді, меншікті мән деп аталатын кейбір скалярлық мәнмен масштабталады. Ерекше жағдайда Д. функция кеңістігінде анықталады, меншікті векторлар деп аталады өзіндік функциялар. Яғни функция f меншікті функциясы болып табылады Д. егер ол теңдеуді қанағаттандырса

 

 

 

 

(1)

мұндағы λ скаляр.[1][2][3] Теңдеудің шешімдері (1) сонымен қатар шекаралық шарттарға бағынуы мүмкін. Шектік шарттарға байланысты, мүмкін the мәндері, әдетте, λ дискретті жиынымен шектеледі1, λ2, ... немесе белгілі бір ауқымдағы үздіксіз жиынтыққа. Барлық мүмкін мәндерінің жиынтығы Д. кейде оның деп аталады спектр, дискретті, үздіксіз немесе екеуінің тіркесімі болуы мүмкін.[1]

Әрбір Each мәні бір немесе бірнеше жеке функцияға сәйкес келеді. Егер бірнеше сызықтық тәуелсіз функциялардың өзіндік мәні бірдей болса, меншікті мән деп аталады азғындау және бірдей мәнге байланысты сызықтық тәуелсіз функциялардың максималды саны меншікті мән деградация дәрежесі немесе геометриялық еселік.[4][5]

Туынды мысал

Шексіз өлшемді кеңістіктерде әрекет ететін сызықтық операторлардың кеңінен қолданылатын класы - кеңістіктегі дифференциалдық операторлар C нақты немесе күрделі аргументтің шексіз дифференциалданатын нақты немесе күрделі функцияларының t. Мысалы, туынды операторды қарастырайық меншікті теңдеуімен

Бұл дифференциалдық теңдеуді екі жағын да көбейту арқылы шешуге болады және интеграциялау. Оның шешімі, экспоненциалды функция

- туынды оператордың өзіндік функциясы, мұндағы f0 - бұл шекаралық шарттарға байланысты параметр. Бұл жағдайда меншікті функцияның кез-келген нақты немесе күрделі мәнді қабылдай алатын өзіндік мәні associated функциясы болып табылатындығын ескеріңіз. Атап айтқанда, λ = 0 үшін өзіндік функция екенін ескеріңіз f(т) тұрақты болып табылады.

Мысалда солай делік f(т) шекаралық шарттарға бағынады f(0) = 1 және = 2. Содан кейін біз мұны табамыз

Мұндағы λ = 2 - дифференциалдық теңдеудің жалғыз мәні, сонымен қатар шекаралық шартты қанағаттандырады.

Матрицалардың меншікті мәндері мен меншікті векторларына сілтеме

Меншікті функцияларды баған векторлары түрінде, ал сызықтық операторларды матрица түрінде көрсетуге болады, бірақ олардың өлшемдері шексіз болуы мүмкін. Нәтижесінде матрицалардың меншікті векторларына қатысты көптеген ұғымдар меншікті функцияларды зерттеуге көшеді.

Анықтаңыз ішкі өнім функция кеңістігінде Д. ретінде анықталады

қызығушылықтың кейбір ауқымында біріктірілген т called деп аталады. The * дегенді білдіреді күрделі конъюгат.

Функционалдық кеңістіктің ортонормальды негіз функциялар жиынтығымен берілген {сен1(т), сен2(т), ..., сенn(т)}, қайда n шексіз болуы мүмкін. Ортонормальды негізде

қайда δиж болып табылады Kronecker атырауы элементтері ретінде қарастыруға болады сәйкестік матрицасы.

Функциялар базалық функциялардың сызықтық комбинациясы түрінде жазылуы мүмкін,

мысалы а Фурьенің кеңеюі туралы f(т). Коэффициенттер бj ішіне қабаттасуға болады n 1 баған векторы бойынша б = [б1 б2 ... бn]Т. Кейбір ерекше жағдайларда, мысалы, синусоидалы функцияның Фурье қатарының коэффициенттері, бұл бағаналы вектор ақырлы өлшемге ие.

Сонымен қатар, сызықтық оператордың матрицалық көрінісін анықтаңыз Д. элементтерімен

Біз функцияны жаза аламыз DF (t) немесе базалық функциялардың сызықтық тіркесімі ретінде немесе Д. кеңейтуге әрекет етеді f(т),

Осы теңдеудің әр жағының ішкі көбейтіндісін ерікті негіз функциясымен алу сенмен(т),

Бұл матрицаны көбейту Аб = c жиынтық нотада жазылған және оператордың матрицалық эквиваленті болып табылады Д. функциясы бойынша әрекет ету f(т) ортонормальды негізде көрсетілген. Егер f(т) - меншікті функциясы Д. меншікті мәнімен λ, содан кейін Аб = λб.

Эрмитиан операторларының меншікті мәндері мен өзіндік функциялары

Физикада кездесетін көптеген операторлар Эрмитиан. Сызықтық операторды алайық Д. функция кеңістігінде әрекет етеді, ол а Гильберт кеңістігі функциялар жиынтығымен берілген ортонормальды негізімен {сен1(т), сен2(т), ..., сенn(т)}, қайда n шексіз болуы мүмкін. Осы негізде оператор Д. матрицалық көрінісі бар A элементтерімен

қызығушылықтың кейбір ауқымында біріктірілген т Ω деп белгіленді.

Аналогы бойынша Эрмициан матрицалары, Д. егер Эрмити операторы болса Aиж = Aджи*, немесе:[6]

Эрмициандық операторды қарастырайық Д. меншікті мәндермен λ1, λ2, ... және сәйкес функциялары f1(т), f2(т), .... Бұл Эрмициан операторының келесі қасиеттері бар:

  • Оның меншікті мәндері нақты, λмен = λмен*[4][6]
  • Оның өзіндік функциялары ортогоналдылық шартына бағынады, = 0, егер i ≠ j[6][7][8]

Екінші шарт әрқашан λ үшін орындаладымен ≠ λj. Меншікті мәні бірдей болатын деградацияланған өзіндік функциялар үшін λмен, ортогоналды меншікті функцияларды әрқашан λ-мен байланысты өзіндік кеңістікті қамтитын етіп таңдауға боладымен, мысалы Грам-Шмидт процесі.[5] Спектрдің дискретті немесе үзіліссіз болуына байланысты меншікті функцияларды ішкі функцияның ішкі туындысын не Кронекер дельтасына, не а тең етіп орнату арқылы қалыпқа келтіруге болады. Dirac delta функциясы сәйкесінше.[8][9]

Көптеген гермиттік операторлар үшін, атап айтқанда Штурм-Лиувилл операторлары, үшінші қасиет

  • Оның өзіндік функциялары оператор анықталған функциялар кеңістігінің негізін құрайды[5]

Нәтижесінде көптеген маңызды жағдайларда Эрмита операторының өзіндік функциялары ортонормальды негізді құрайды. Бұл жағдайларда ерікті функцияны Эрмита операторының өзіндік функцияларының сызықтық комбинациясы түрінде көрсетуге болады.

Қолданбалар

Тербелетін жіптер

Оның шекараларында бекітілген жіптегі тұрақты толқынның пішіні дифференциалдық оператордың өзіндік функциясының мысалы болып табылады. Рұқсат етілген меншікті мәндер жіптің ұзындығымен басқарылады және тербеліс жиілігін анықтайды.

Келіңіздер сағ(х, т) сияқты кернеулі серпімді аккорданың көлденең жылжуын белгілеңіз тербелетін жіптер а ішекті аспап, позицияның функциясы ретінде х жіп бойымен және уақыт бойынша т. Механика заңдарын қолдану шексіз жолдың бөліктері, функциясы сағ қанағаттандырады дербес дифференциалдық теңдеу

ол (бір өлшемді) деп аталады толқындық теңдеу. Мұнда c - бұл жіптің созылуына және массасына тәуелді тұрақты жылдамдық.

Бұл мәселе әдісі бойынша қол жетімді айнымалыларды бөлу. Егер біз мұны алсақ сағ(х, т) форманың туындысы ретінде жазуға болады X(х)Т(т), біз қарапайым дифференциалдық теңдеулер жұбын құра аламыз:

Бұлардың әрқайсысы меншікті мәндері бар меншікті теңдеу және ω2сәйкесінше. Кез келген мәндері үшін ω және c, теңдеулер функциялармен қанағаттандырылады

мұндағы фазалық бұрыштар φ және ψ ерікті нақты тұрақтылар болып табылады.

Егер біз шекаралық шарттарды қойсақ, мысалы, жолдың ұштары бекітілген болса х = 0 және х = L, атап айтқанда X(0) = X(L) = 0және сол Т(0) = 0, меншікті мәндерді шектейміз. Осы шекаралық шарттар үшін күнә (φ) = 0 және күнә (ψ) = 0, сондықтан фазалық бұрыштар φ = ψ = 0, және

Бұл соңғы шекаралық шартты шектейді ω мән алу ωn = ncπ/L, қайда n кез келген бүтін сан. Осылайша, қысылған жіп пішіннің тұрақты толқындарының тобын қолдайды

Ішекті аспап мысалында жиілік ωn - жиілігі nмың гармоникалық, деп аталады (n − 1)мың овертон.

Шредингер теңдеуі

Жылы кванттық механика, Шредингер теңдеуі

бірге Гамильтон операторы

айнымалыларды бөлу арқылы шешуге болады, егер Гамильтон уақытына тікелей тәуелді болмаса.[10] Бұл жағдайда толқындық функция Ψ (р,т) = φ(р)Т(т) екі дифференциалдық теңдеуге әкеледі,

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

(3)

Осы дифференциалдық теңдеулердің екеуі де меншікті мәні бар теңдеулер E. Алдыңғы мысалда көрсетілгендей, теңдеудің шешімі (3) экспоненциалды болып табылады

Теңдеу (2) уақытқа тәуелді емес Шредингер теңдеуі. Меншікті функциялар φк Гамильтон операторының стационарлық күйлер әрқайсысы сәйкес энергияға ие кванттық механикалық жүйенің Eк. Олар жүйенің рұқсат етілген энергетикалық күйлерін білдіреді және шекаралық шарттармен шектелуі мүмкін.

Гамильтон операторы H өзіндік функциялары ортонормальды негізді құрайтын Эрмита операторының мысалы. Гамильтон уақытына тікелей тәуелді болмаған кезде, Шредингер теңдеуінің жалпы шешімдері тербеліске көбейтілген қозғалмайтын күйлердің сызықтық комбинациясы болып табылады. Т(т),[11] немесе үздіксіз спектрі бар жүйе үшін

Шредингер теңдеуінің сутектің спектрлік сипаттамаларын түсіндірудегі жетістігі 20 ғасыр физикасының ең үлкен жеңістерінің бірі болып саналады.

Сигналдар мен жүйелер

Зерттеуінде сигналдар мен жүйелер, жүйенің өзіндік функциясы - бұл сигнал f(т) бұл жүйеге енгізілгенде жауап береді ж(т) = λf(т), қайда λ күрделі скалярлық өзіндік мән болып табылады.[12]

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

Дәйексөздер

Келтірілген жұмыстар

  • Курант, Ричард; Хилберт, Дэвид. Математикалық физика әдістері. Том 1. Уили. ISBN  047150447-5. (2 том: ISBN  047150439-4)
  • Давыдов, А.С (1976). Кванттық механика. Аударылған, өңделген және толықтырулармен Д. тер Хаар (2-ші басылым). Оксфорд: Pergamon Press. ISBN  008020438-4.
  • Джирод, Бернд; Рабенштейн, Рудольф; Стенгер, Александр (2001). Сигналдар мен жүйелер (2-ші басылым). Вили. ISBN  047198800-6.
  • Куссе, Брюс; Вествиг, Эрик (1998). Математикалық физика. Нью-Йорк: Вили Интерсианс. ISBN  047115431-8.
  • Вассерман, Эрик В. (2016). «Өзіндік функция». MathWorld. Вольфрамды зерттеу. Алынған 12 сәуір, 2016.

Сыртқы сілтемелер