Кешенді квадраттау картасы - Complex squaring map

Математикада квадраттың күрделі картасы, а көпмүшелік картаға түсіру екінші дәреже, қарапайым және қол жетімді демонстрация болып табылады хаос динамикалық жүйелерде. Оны келесі қадамдарды орындау арқылы жасауға болады:

1. Кез келгенін таңдаңыз күрделі сан үстінде бірлік шеңбер кімдікі дәлел (күрделі бұрыш) π-тың рационал бөлшегі емес,
2. Осы санды бірнеше рет квадраттаңыз.

Бұл қайталау (қайталау) күрделі бұрыштарымен жеке сипаттауға болатын күрделі сандар тізбегін тудырады. Жоғарыда (1) қанағаттандыратын кез-келген бастапқы бұрышты таңдау қадамдардың қарапайымдылығын жоққа шығаратын өте күрделі бұрыштар тізбегін тудырады. Бірізділік болатынын көрсетуге болады ретсіз, яғни ол бастапқы бұрышты егжей-тегжейлі таңдауға сезімтал.

Хаос және квадраттың күрделі картасы

Қайталаудың ретсіз болуының бейресми себебі, бұрыш әр қайталанған кезде екі еселенеді және екі есе көбейеді, өйткені бұрыш өскен сайын тез өседі, бірақ бұрыштар 2 multip-ге еселенеді (радиан ) бірдей. Осылайша, бұрыш 2π-ден асқанда, ол керек орау 2π-ге бөлінгенде қалған. Демек, бұрышқа сәйкес түрлендіріледі диадиялық трансформация (2х мод 1 картасы деп те аталады). Бастапқы мән ретінде з₀ оның аргументі π, -ның рационал еселігі болмайтындай етіп таңдалған алға қарай орбита туралы з_n қайталана алмайды және мерзімді бола алмайды.

Ресми түрде қайталануды келесі түрде жазуға болады:

${ displaystyle qquad z_ {n + 1} = z_ {n} ^ {2}}$

қайда ${ displaystyle z_ {n}}$ - бұл жоғарыдағы қадамдарды қайталау нәтижесінде алынған күрделі сандардың бірізділігі және ${ displaystyle z_ {0}}$ бастапқы бастапқы нөмірді білдіреді. Біз бұл қайталануды нақты шеше аламыз:

${ displaystyle qquad z_ {n} = z_ {0} ^ {2 ^ {n}}}$

Angle бұрышынан бастап, біз бастапқы мүшені былай жаза аламыз ${ displaystyle z_ {0} = exp (i theta)}$ сондай-ақ ${ displaystyle z_ {n} = exp (i2 ^ {n} theta)}$. Бұл бұрыштың дәйекті екі еселенуін анық етеді. (Бұл қатынасқа балама ${ displaystyle z_ {n} = cos (2 ^ {n} theta) + i sin (2 ^ {n} theta)}$.)

Жалпылау

Бұл карта ерекше жағдай күрделі квадраттық карта, көптеген ерекше жағдайлар үшін нақты шешімдері бар.^[1] Алдыңғы санды кез-келген натурал санға көтеру арқылы алынған күрделі карта ${ displaystyle z_ {n + 1} = z_ {n} ^ {p}}$ сияқты дәл шешіледі ${ displaystyle z_ {n} = z_ {0} ^ {p ^ {n}}}$. Жағдайда б = 2, динамиканы жоғарыда сипатталғандай диадалық трансформациямен салыстыруға болады, бірақ үшін б > 2, біз ауысым картасын сандық база  б. Мысалға, б = 10 - ондық ауысым картасы.

Сондай-ақ қараңыз

• Логистикалық карта
• Диадиялық трансформация

Пайдаланылған әдебиеттер