Лиувилл теоремасы (Гамильтон) - Википедия - Liouvilles theorem (Hamiltonian)

Жылы физика, Лиувилл теоремасы, француз математигінің есімімен аталады Джозеф Лиувилл, классикадағы негізгі теорема статистикалық және Гамильтон механикасы. Бұл растайды The фазалық кеңістік үлестіру функциясы траектория жүйенің—Бұл фаза кеңістігінде қозғалатын берілген жүйелік нүктенің маңында жүйелік нүктелердің тығыздығы уақыт бойынша тұрақты болады. Бұл уақытқа тәуелді емес тығыздық классикалық деп аталатын статистикалық механикада априорлық ықтималдығы.^[1]

Осыған байланысты математикалық нәтижелер бар симплектикалық топология және эргодикалық теория; Лиувилл теоремасына бағынатын жүйелер мысал бола алады сығылмайтын динамикалық жүйелер.

Лиувилл теоремасының стохастикалық жүйелерге дейінгі кеңейтімдері бар.^[2]

Лиувилл теңдеулері

Ансамблінің эволюциясы классикалық жүйелер фазалық кеңістік (жоғарғы). Әр жүйе бір өлшемді бір массивтік бөлшектен тұрады әлеуетті жақсы (қызыл қисық, төменгі сурет). Ансамбльдің жеке мүшесінің қозғалысы берілген Гамильтон теңдеулері, Лиувилл теңдеулері бүкіл үлестіру ағынын сипаттайды. Қозғалыс сығылмайтын сұйықтықтағы бояуға ұқсас.

Лиувилл теңдеуі уақыт эволюциясын сипаттайды фазалық кеңістік тарату функциясы. Әдетте теңдеуді «Лиувилль теңдеуі» деп атағанымен, Джозия Уиллард Гиббс статистикалық механиканың негізгі теңдеуі ретінде осы теңдеудің маңыздылығын бірінші болып мойындады.^[3]^[4] Мұны Лиувилль теңдеуі деп атайды, өйткені канондық емес жүйелер үшін оны шығару 1838 жылы Лиувиль алғаш рет шығарған сәйкестікті пайдаланады.^[5]Қарастырайық Гамильтондық динамикалық жүйе бірге канондық координаттар ${ displaystyle q_ {i}}$ және конъюгациялық момент ${ displaystyle p_ {i}}$ , қайда ${ displaystyle i = 1, нүкте, n}$ . Содан кейін фазалық кеңістіктің таралуы ${ displaystyle rho (p, q)}$ ықтималдығын анықтайды ${ displaystyle rho (p, q) , d ^ {n} q , d ^ {n} p}$ жүйе шексіз фазалық кеңістіктің көлемінде болады ${ displaystyle d ^ {n} q , d ^ {n} p}$ . The Лиувилл теңдеуі эволюциясын басқарады ${ displaystyle rho (p, q; t)}$ уақытында ${ displaystyle t}$ :

{ displaystyle { frac {d rho} {dt}} = { frac { жарым-жартылай rho} { бөлшек t}} + қосынды _ {i = 1} ^ {n} сол жақта ({ frac { жарым-жартылай rho} { жартылай q_ {i}}} { нүкте {q}} _ {i} + { frac { жартылай rho} { жартылай p_ {i}}} { нүкте {p }} _ {i} right) = 0.}

Уақыт туындылары нүктелермен белгіленеді және сәйкес бағаланады Гамильтон теңдеулері жүйе үшін. Бұл теңдеу фазалық кеңістіктегі тығыздықтың сақталуын көрсетеді (болды Гиббс теореманың атауы). Лиувилл теоремасы бұл туралы айтады

Тарату функциясы фазалық кеңістіктегі кез келген траектория бойынша тұрақты.

A Лиувилл теоремасының дәлелі пайдаланады n-өлшемдік дивергенция теоремасы. Бұл дәлел эволюцияның негізделген ${ displaystyle rho}$ бағынады n-өлшемді нұсқасы үздіксіздік теңдеуі:

{ displaystyle { frac { жарым-жартылай rho} { жартылай t}} + қосынды _ {i = 1} ^ {n} солға ({ frac { жартылай ( rho { нүкте {q}}) _ {i})} { ішінара q_ {i}}} + { frac { жартылай ( rho { нүкте {p}} _ {i})} { жартылай p_ {i}}} оң) = 0.}

Яғни 3 кортеж ${ displaystyle ( rho, rho { dot {q}} _ {i}, rho { dot {p}} _ {i})}$ Бұл сақталған ток. Мұның және Лиувилл теңдеуінің айырмашылығы терминдер екеніне назар аударыңыз

{ displaystyle rho sum _ {i = 1} ^ {n} солға ({ frac { жартылай { нүкте {q}} _ {i}} { жартылай q_ {i}}} + { frac { жарым-жартылай { нүкте {p}} _ {i}} { жартылай p_ {i}}} оң) = rho sum _ {i = 1} ^ {n} солға ({ frac { жартылай ^ {2} H} { жартылай q_ {i} , жартылай p_ {i}}} - { frac { жартылай ^ {2} H} { жартылай p_ {i} жартылай q_ {i }}} right) = 0,}

қайда ${ displaystyle H}$ Гамильтониан болып табылады, және Гамильтон теңдеулері, сондай-ақ Гамильтонианның ағым бойымен сақталуы қолданылған. Яғни фазалық кеңістіктегі қозғалысты жүйелік нүктелердің «сұйық ағыны» ретінде қарастыру, теоремасы конвективті туынды тығыздық, ${ displaystyle d rho / dt}$ , нөлдік «жылдамдық өрісі» екенін ескере отырып, үздіксіздік теңдеуінен шығады ${ displaystyle ({ dot {p}}, { dot {q}})}$ фазалық кеңістікте нөлдік алшақтыққа ие (бұл Гамильтон қатынастарынан туындайды).^[6]

Тағы бір иллюстрация - бұлттардың фазалық кеңістіктегі траекториясын қарастыру. Бұлт бір координатада созылғанда - ${ displaystyle p_ {i}}$ айт - ол сәйкесінше кішірейеді ${ displaystyle q ^ {i}}$ өнімнің бағытталуы ${ displaystyle Delta p_ {i} , Delta q ^ {i}}$ тұрақты болып қалады.

Эквивалентті түрде, консервацияланған ағымның болуы арқылы Нетер теоремасы, болуы а симметрия. Симметрия уақытша аудармаларға сәйкес инвариантты, ал генератор (немесе Ешқандай заряд жоқ ) симметрияның гамильтондық болып табылады.

Басқа формулалар

Пуассон кронштейні

Теорема көбінесе Пуассон кронштейні сияқты

{ displaystyle { frac { жарым-жартылай rho} { жартылай t}} = - {, rho, H , }}

немесе Лиувилл операторы немесе Лиувиллиан,

{ displaystyle mathrm {i} { widehat { mathbf {L}}} = sum _ {i = 1} ^ {n} left [{ frac { ішінара H} { ішінара p_ {i} }} { frac { жарым-жартылай} { жартылай q ^ {i}}} - { frac { жартылай H} { жартылай q ^ {i}}} { frac { жартылай} { жартылай p_ { i}}} right] = { cdot, H }}

сияқты

{ displaystyle { frac { жарым-жартылай rho} { жартылай t}} + { mathrm {i} { widehat { mathbf {L}}}} rho = 0.}

Эргодикалық теория

Жылы эргодикалық теория және динамикалық жүйелер, осы уақытқа дейін берілген физикалық ойлардан туындаған, сәйкесінше Лиувилл теоремасы деп аталатын нәтиже бар. Жылы Гамильтон механикасы, фазалық кеңістік а тегіс коллектор бұл табиғи түрде тегіспен жабдықталған өлшеу (жергілікті жерде бұл шара 6 болып табыладыn-өлшемді Лебег шарасы ). Теорема бұл тегіс өлшем инварианттық деп айтады Гамильтондық ағын. Тұтастай алғанда, ағынның әсерінен тегіс өлшем өзгермейтін қажетті және жеткілікті шартты сипаттауға болады^{[дәйексөз қажет ]}. Содан кейін Гамильтон оқиғасы қорытындыға айналады.

Симплектикалық геометрия

Сонымен қатар, біз Лиувилл теоремасын тұжырымдай аламыз симплектикалық геометрия. Берілген жүйе үшін фазалық кеңістікті қарастыра аламыз ${ displaystyle (q ^ { mu}, p _ { mu})}$ белгілі бір гамильтондықтың ${ displaystyle H}$ коллектор ретінде ${ displaystyle (M, omega)}$ симплектикамен қамтамасыз етілген 2-форма

{ displaystyle omega = dp _ { mu} wedge dq ^ { mu}.}

Біздің коллектордың көлемдік формасы - жоғарғы жағы сыртқы қуат симплектикалық 2-пішінді және бұл жоғарыда сипатталған фазалық кеңістіктегі өлшемнің тағы бір көрінісі.

Біздің фазалық кеңістігіміз туралы симплектикалық коллектор біз анықтай аламыз Гамильтондық векторлық өріс функциясы арқылы жасалады ${ displaystyle f (q, p)}$ сияқты

{ displaystyle X_ {f} = { frac { жарым-жартылай f} { жартылай p _ { mu}}} { frac { жартылай} { жартылай q ^ { mu}}} - { frac { жартылай f} { жартылай q ^ { mu}}} { frac { жартылай} { жартылай p _ { mu}}}.}

Дәлірек айтқанда, генератор функциясы Гамильтонның өзі болғанда, ${ displaystyle f (q, p) = H}$ , Біз алып жатырмыз

{ displaystyle X_ {H} = { frac { ішінара H} { жартылай p _ { mu}}} { frac { жартылай} { жартылай q ^ { mu}}} - { frac { ішінара H} { жартылай q ^ { mu}}} { frac { жартылай} { бөлшек p _ { mu}}} = { frac {dq ^ { mu}} {dt}} { frac { жартылай} { жартылай q ^ { mu}}} + { frac {dp ^ { mu}} {dt}} { frac { жарым-жартылай} { жартылай p _ { mu}}} = { frac {d} {dt}}}

біз Гамильтонның қозғалыс теңдеулерін және тізбек ережесінің анықтамасын қолдандық.^[7]

Бұл формализмде Лиувилл теоремасы Өтірік туынды көлемдік форманың пайда болған ағын бойымен нөлге тең ${ displaystyle X_ {H}}$ . Яғни, үшін ${ displaystyle (M, omega)}$ 2өлшемді симплектикалық коллектор,

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {X_ {H}} ( omega ^ {n}) = 0.}

Шын мәнінде, симплектикалық құрылым ${ displaystyle omega}$ оның сыртқы күші ғана емес, өзі де сақталады. Яғни, Лиувилл теоремасы да береді ^[8]

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {X_ {H}} ( omega) = 0.}

Кванттық Лиувилл теңдеуі

Лиувилл теңдеуінің аналогы кванттық механика а эволюциясын сипаттайды аралас мемлекет. Канондық кванттау осы теореманың кванттық-механикалық нұсқасын береді Фон Нейман теңдеуі. Классикалық жүйелердің кванттық аналогтарын жасау үшін жиі қолданылатын бұл процедура Гамильтон механикасын қолданып классикалық жүйені сипаттауды қамтиды. Содан кейін классикалық айнымалылар кванттық операторлар ретінде қайта түсіндіріледі, ал Пуассон жақшалары ауыстырылады коммутаторлар. Бұл жағдайда алынған теңдеу мынада болады^[9]^[10]

{ displaystyle { frac { жарым-жартылай rho} { жартылай t}} = { frac {1} {i hbar}} [H, rho]}

Мұндағы ρ - тығыздық матрицасы.

Қолданылған кезде күту мәні туралы байқалатын, сәйкес теңдеу арқылы беріледі Эренфест теоремасы, және нысанды алады

{ displaystyle { frac {d} {dt}} langle A rangle = { frac {1} {i hbar}} langle [A, H] rangle}

қайда ${ displaystyle A}$ бақыланатын болып табылады. Оператор стационар, ал күй уақытқа байланысты деген болжамнан туындайтын белгілер айырмашылығына назар аударыңыз.

Ішінде Кеңістікті қалыптастыру фазасы кванттық механика Адал жақшалар үшін Пуассон жақшалары фон Нейман теңдеуінің фазалық-кеңістіктік аналогы шығады ықтималдық сұйықтығының сығылу қабілеті және, демек, Лиувилл теоремасының бұзылмауы. Демек, бұл мағыналы кванттық траекторияларды анықтауда ілеспе қиындықтарға алып келеді.

Мысалдар

SHO фазасының көлемі

Қарапайым гармоникалық осциллятор (SHO) үшін фазалық кеңістіктің уақыт эволюциясы. Міне, біз алдық

{ displaystyle m = omega = 1}

және аймақты қарастыруда

{ displaystyle p, q in [-1,1]}

.

Қарастырайық ${ displaystyle N}$ бөлшектер жүйесі үш өлшемде және тек эволюциясына назар аударыңыз ${ displaystyle mathrm {d} { mathcal {N}}}$ бөлшектер. Фазалық кеңістікте бұлар ${ displaystyle mathrm {d} { mathcal {N}}}$ бөлшектер берілген шексіз көлемді алады

{ displaystyle mathrm {d} Gamma = displaystyle prod _ {i = 1} ^ {N} d ^ {3} p_ {i} d ^ {3} q_ {i}.}

Біз қалаймыз ${ displaystyle { frac { mathrm {d} { mathcal {N}}} { mathrm {d} Gamma}}}$ уақыт бойына өзгеріссіз қалу үшін ${ displaystyle rho ( Gamma, t)}$ жүйенің траекториялары бойынша тұрақты болады. Егер біз бөлшектеріміздің шексіз уақыт адымымен дамуына жол берсек ${ displaystyle delta t}$ , біз әр бөлшектің фазалық кеңістігінің орналасуы қалай өзгеретінін көреміз

{ displaystyle { begin {case} q_ {i} '= q_ {i} + { dot {q_ {i}}} delta t p_ {i}' = p_ {i} + { dot { p_ {i}}} delta t, end {case}}}

қайда ${ displaystyle { dot {q_ {i}}}}$ және ${ displaystyle { dot {p_ {i}}}}$ белгілеу ${ displaystyle { frac {dq_ {i}} {dt}}}$ және ${ displaystyle { frac {dp_ {i}} {dt}}}$ сәйкесінше, және біз тек терминдерді сызықтық сақтадық ${ displaystyle delta t}$ . Мұны біздің шексіз гиперкубқа дейін кеңейту ${ displaystyle mathrm {d} Gamma}$ , бүйір ұзындықтары өзгереді

{ displaystyle { begin {case} dq_ {i} '= dq_ {i} + { frac { жарым-жартылай { нүкте {q_ {i}}}} { ішінара q_ {i}}} dq_ {i} delta t dp_ {i} '= dp_ {i} + { frac { жарым-жартылай { нүкте {p_ {i}}}} { ішінара p_ {i}}} dp_ {i} delta t. end {case}}}

Жаңа шексіз фазалық кеңістіктің көлемін табу үшін ${ displaystyle mathrm {d} Gamma '}$ , бізге жоғарыда аталған шамалардың көбейтіндісі қажет. Бірінші тапсырыс ${ displaystyle delta t}$ , біз мынаны аламыз.

{ displaystyle dq_ {i} 'dp_ {i}' = dq_ {i} dp_ {i} left [1+ left ({ frac { partional { dot {q_ {i}}}} { ішінара q_ {i}}} + { frac { жарым-жартылай { нүкте {p_ {i}}}} { жартылай p_ {i}}} оң) delta t оң]}

Әзірге біз өз жүйемізге қатысты қандай да бір техникалық сипаттама берген жоқпыз. Енді жағдайға маманданайық ${ displaystyle N}$ ${ displaystyle 3}$ -өлшемді изотропты гармоникалық осцилляторлар. Яғни, біздің ансамбльдегі әрбір бөлшекті а ретінде қарастыруға болады қарапайым гармоникалық осциллятор. Бұл жүйеге арналған Гамильтониан келтірілген

{ displaystyle H = displaystyle sum _ {i = 1} ^ {3N} left ({ frac {1} {2m}} p_ {i} ^ {2} + { frac {m omega ^ { 2}} {2}} q_ {i} ^ {2} оң)}

Гамильтон теңдеулерін жоғарыда келтірілген Гамильтонианың көмегімен жоғарыдағы жақша ішіндегі мүшенің нөлге тең екендігін анықтаймыз

{ displaystyle dq_ {i} 'dp_ {i}' = dq_ {i} dp_ {i}.}

Бұдан фазалық кеңістіктің шексіз көлемін табуға болады.

{ displaystyle mathrm {d} Gamma '= displaystyle prod _ {i = 1} ^ {N} d ^ {3} q_ {i}' d ^ {3} p_ {i} '= prod _ {i = 1} ^ {N} d ^ {3} q_ {i} d ^ {3} p_ {i} = mathrm {d} Gamma}

Осылайша, біз шексіз фазалық кеңістіктің көлемінің өзгермейтіндігін, нәтиже беретіндігін анықтадық

{ displaystyle rho ( Gamma ', t + delta t) = { frac { mathrm {d} { mathcal {N}}} { mathrm {d} Gamma'}} = { frac { mathrm {d} { mathcal {N}}} { mathrm {d} Gamma}} = rho ( Gamma, t),}

осы жүйеге арналған Лиувилл теоремасын көрсету.^[11]

Фазалық кеңістіктің көлемі уақыт бойынша қалай дамиды деген сұрақ қалады. Жоғарыда біз жалпы көлемнің сақталғанын көрсеттік, бірақ оның сыртқы түрі туралы ештеңе айтпадық. Бір бөлшек үшін оның фазалық кеңістіктегі траекториясы тұрақты эллипсімен берілгендігін көруге болады ${ displaystyle H}$ . Жүйе үшін Гамильтон теңдеулерін шешіп, табуға болады

{ displaystyle { begin {aligned} q_ {i} (t) & = Q_ {i} cos { omega t} + { frac {P_ {i}} {m omega}} sin { omega t} p_ {i} (t) & = P_ {i} cos { omega t} -m omega Q_ {i} sin { omega t}, end {aligned}}}

қайда ${ displaystyle Q_ {i}}$ және ${ displaystyle P_ {i}}$ бастапқы позициясы мен импульсін белгілеңіз ${ displaystyle i ^ { mathrm {th}}}$ Бірнеше бөлшектер жүйесі үшін әрқайсысында бөлшектің энергиясына сәйкес эллипсті шығаратын фазалық кеңістік траекториясы болады. Эллипсті іздеу жиілігі ${ displaystyle omega}$ энергиядағы кез-келген айырмашылыққа тәуелді емес Гамильтонда. Нәтижесінде фазалық кеңістік аймағы нүкте бойынша жай айналады ${ displaystyle ( mathbf {q}, mathbf {p}) = (0,0)}$ тәуелді жиілікпен ${ displaystyle omega}$ .^[12] Мұны жоғарыдағы анимациядан байқауға болады.

Өшірілген гармоникалық осциллятор

Демпирленген гармоникалық осциллятор үшін фазалық кеңістік көлемінің эволюциясы. Параметрлердің бірдей мәндері SHO жағдайындағыдай қолданылады

{ displaystyle гамма = 0,5 ; ( альфа = 0,25)}

.

Лиувилл теоремасының негізгі болжамдарының бірі - жүйенің энергияны сақтауға бағынатындығы. Фазалық кеңістік жағдайында бұл туралы айту керек ${ displaystyle rho}$ тұрақты энергияның фазалық кеңістік беттерінде тұрақты болады ${ displaystyle E}$ . Егер біз энергия талап етілмейтін жүйені қарастыру арқылы осы талапты бұзатын болсақ, біз мұны табамыз ${ displaystyle rho}$ сонымен қатар тұрақты бола алмайды.

Бұған мысал ретінде тағы да жүйені қарастырайық ${ displaystyle N}$ әрқайсысы а ${ displaystyle 3}$ -өлшемді изотропты гармоникалық потенциал, ол үшін алдыңғы мысалда келтірілген гамильтондық. Бұл жолы біз әр бөлшектің үйкеліс күшін сезінетіндігін қосамыз. Бұл а консервативті емес күш, бізге Гамильтон теңдеулерін келесідей кеңейту керек

{ displaystyle { begin {aligned} { dot {q_ {i}}} & = { frac { ішінара H} { ішінара p_ {i}}} { dot {p_ {i}}} & = - { frac { ішінара H} { ішінара q_ {i}}} - гамма p_ {i}, соңы {тураланған}}}

қайда ${ displaystyle gamma}$ үйкеліс мөлшерін белгілейтін позитивті тұрақты болып табылады. Өшпейтін гармоникалық осциллятор корпусына ұқсас процедурадан кейін біз қайтадан келеміз

{ displaystyle dq_ {i} 'dp_ {i}' = dq_ {i} dp_ {i} left [1+ left ({ frac { partional { dot {q_ {i}}}} { ішінара q_ {i}}} + { frac { жарым-жартылай { нүкте {p_ {i}}}} { ішінара p_ {i}}} оң) delta t оң].}

Өзгертілген Гамильтон теңдеулерін қосып, біз табамыз

{ displaystyle { begin {aligned} dq_ {i} 'dp_ {i}' & = dq_ {i} dp_ {i} left [1+ left ({ frac { partial ^ {2} H} {) ішінара q_ {i} жартылай p_ {i}}} - { frac { жартылай ^ {2} H} { жартылай p_ {i} жартылай q_ {i}}} - гамма оң) дельта t right] & = dq_ {i} dp_ {i} left [1- gamma delta t right]. end {aligned}}}

Жаңа шексіз фазалық кеңістіктің көлемін есептеу және тек бірінші ретті сақтау ${ displaystyle delta t}$ біз келесі нәтижені табамыз.

{ displaystyle mathrm {d} Gamma '= displaystyle prod _ {i = 1} ^ {N} d ^ {3} q_ {i}' d ^ {3} p_ {i} '= left [ 1- gamma delta t right] ^ {3N} prod _ {i = 1} ^ {N} d ^ {3} q_ {i} d ^ {3} p_ {i} = mathrm {d} Гамма солға [1-3N гамма дельта т оңға]}

Біз анықтадық, шексіз фазалық кеңістіктің көлемі енді тұрақты болмайды, осылайша фазалық кеңістіктің тығыздығы сақталмайды. Уақыт өскен сайын теңдеуден көрініп тұрғандай, үйкеліс жүйеге әсер ететіндіктен фазалық кеңістігіміздің нөлге дейін азаюын күтеміз.

Фазалық кеңістіктің көлемінің уақыт бойынша қалай дамитыны туралы айтатын болсақ, бізде әлі де өшпейтін жағдайдағыдай тұрақты айналу болады. Алайда демпфинг әр эллипс радиусының тұрақты төмендеуін енгізеді. Біз тағы да траекторияларды Гамильтон теңдеулерін қолдана отырып шеше аламыз, жоғарыда келтірілгендерді қолдануды ойластырамыз. Рұқсат ету ${ displaystyle alpha equiv { frac { gamma} {2}}}$ ыңғайлы болу үшін біз табамыз

{ displaystyle { begin {aligned} q_ {i} (t) & = e ^ {- alpha t} left [Q_ {i} cos { omega _ {1} t} + B_ {i} sin { omega _ {1} t} right] && omega _ {1} equiv { sqrt { omega ^ {2} - alpha ^ {2}}} p_ {i} (t) & = e ^ {- alpha t} left [P_ {i} cos { omega _ {1} t} -m ( omega _ {1} Q_ {i} +2 alfa B_ {i}) sin { omega _ {1} t} right] && B_ {i} equiv { frac {1} { omega _ {1}}} left ({ frac {P_ {i}} {m} } +2 alfa Q_ {i} right), end {aligned}}}

мұндағы мәндер ${ displaystyle Q_ {i}}$ және ${ displaystyle P_ {i}}$ бастапқы позициясы мен импульсін белгілеңіз ${ displaystyle i ^ { mathrm {th}}}$ Жүйе дамып келе жатқанда фазаның жалпы кеңістігі бастапқыға айналады. Мұны жоғарыдағы суреттен байқауға болады.

Ескертулер

Лиувилл теңдеуі тепе-теңдік үшін де, тепе-теңдік емес жүйелер үшін де жарамды. Бұл -ның негізгі теңдеуі тепе-теңдік емес статистикалық механика.
Лиувилль теңдеуі тербеліс теоремасы одан термодинамиканың екінші бастамасы алынуы мүмкін. Ол сонымен қатар туындысының негізгі компоненті болып табылады Жасыл-Кубо қатынастары сызықтық үшін көлік коэффициенттері қырқу сияқты тұтқырлық, жылу өткізгіштік немесе электр өткізгіштігі.
Іс жүзінде кез-келген оқулық Гамильтон механикасы, озат статистикалық механика, немесе симплектикалық геометрия Лиувилл теоремасын шығарады.^[13]^[14]^[15]^[16]^[17]

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

^ Харальд Дж. В. Мюллер-Кирстен, Статистикалық физика негіздері, 2-ші басылым, World Scientific (Сингапур, 2013)
^ Кубо, Риого (1963-02-01). «Стохастикалық Лиувилль теңдеулері». Математикалық физика журналы. 4 (2): 174–183. дои:10.1063/1.1703941. ISSN 0022-2488.
^ Дж. В.Гиббс, «Статистикалық механиканың іргелі формуласы туралы, астрономия мен термодинамикаға қосымшалар туралы». Американдық ғылымды дамыту қауымдастығының материалдары, 33, 57-58 (1884). Қайта шығарылды Дж. Уиллард Гиббстің ғылыми еңбектері, II том (1906), б. 16.
^ Гиббс, Джозия Уиллард (1902). Статистикалық механикадағы бастауыш принциптер. Нью Йорк: Чарльз Скрипнердің ұлдары.
^ Дж. Лиувилл, саяхат. де Математика, 3, 342 (1838), [1].
^ Харальд Дж. Мюллер-Кирстен, Кванттық механикаға кіріспе: Шредингер теңдеуі және жол интегралды, 2-ші басылым, World Scientific (Сингапур, 2012).
^ Накахара, Микио (2003). Геометрия, топология және физика (2 басылым). Тейлор және Фрэнсис тобы. 201–204 бет. ISBN 978-0-7503-0606-5.
^ Нэш, Оливер (8 қаңтар 2015). «Педианттарға арналған Лиувилл теоремасы» (PDF).
^ Ашық кванттық жүйелер теориясы, Брюэр мен Петруччионың, 110-беті.
^ Статистикалық механика, Швабль, 16-бет.
^ Кардар, Мехран (2007). Бөлшектердің статистикалық физикасы. Кембридж университетінің баспасы. 59-60 бет. ISBN 978-0-521-87342-0.
^ Истман, Питер (2014–2015). «Фазалық ықтималдықтардың эволюциясы».
^ Ерекше анық туынды үшін қараңыз Толман, Р. (1979). Статистикалық механика принциптері. Довер. 48-51 бет. ISBN 9780486638966.
^ «Фазалық кеңістік және Лиувилль теоремасы». Алынған 6 қаңтар, 2014. Осы Википедия мақаласындағы дәлелдеумен бірдей. Деп болжайды (дәлелдемесіз) n-өлшемдік үздіксіздік теңдеуі.
^ «Фазалық кеңістіктің көлемін және Лиувилл теоремасын сақтау». Алынған 6 қаңтар, 2014. Джейкобянның көлемдік элементінің Гамильтон механикасы кезінде қалай өзгеретініне негізделген дәлелі.
^ «Физика 127а: сынып ескертулері» (PDF). Алынған 6 қаңтар, 2014. Пайдаланады n-өлшемдік дивергенция теоремасы (дәлелсіз).
^ Нэш, Оливер (2015 жылғы 8 қаңтар). «Педианттарға арналған Лиувилл теоремасы» (PDF). Алынған 1 қазан, 2015. Лиовиль теоремасын қазіргі дифференциалды геометрия тілін қолдана отырып дәлелдейді.

Әрі қарай оқу

Муругешан, Р. Қазіргі физика. С.Чанд.
Миснер; Торн; Уилер (1973). «Кинетикалық теория қисық кеңістіктегі уақыт». Гравитация. Фриман. 583-590 бб. ISBN 9781400889099.

Сыртқы сілтемелер

«Кеңістікті бөлудің фазалық функциялары және Лиувилл теоремасы».

[1] Харальд Дж. В. Мюллер-Кирстен, Статистикалық физика негіздері, 2-ші басылым, World Scientific (Сингапур, 2013)

[2] Кубо, Риого (1963-02-01). «Стохастикалық Лиувилль теңдеулері». Математикалық физика журналы. 4 (2): 174–183. дои:10.1063/1.1703941. ISSN 0022-2488.

[3] Дж. В.Гиббс, «Статистикалық механиканың іргелі формуласы туралы, астрономия мен термодинамикаға қосымшалар туралы». Американдық ғылымды дамыту қауымдастығының материалдары, 33, 57-58 (1884). Қайта шығарылды Дж. Уиллард Гиббстің ғылыми еңбектері, II том (1906), б. 16.

[4] Гиббс, Джозия Уиллард (1902). Статистикалық механикадағы бастауыш принциптер. Нью Йорк: Чарльз Скрипнердің ұлдары.

[5] Дж. Лиувилл, саяхат. де Математика, 3, 342 (1838), [1].

[6] Харальд Дж. Мюллер-Кирстен, Кванттық механикаға кіріспе: Шредингер теңдеуі және жол интегралды, 2-ші басылым, World Scientific (Сингапур, 2012).

[7] Накахара, Микио (2003). Геометрия, топология және физика (2 басылым). Тейлор және Фрэнсис тобы. 201–204 бет. ISBN 978-0-7503-0606-5.

[8] Нэш, Оливер (8 қаңтар 2015). «Педианттарға арналған Лиувилл теоремасы» (PDF).

[9] Ашық кванттық жүйелер теориясы, Брюэр мен Петруччионың, 110-беті.

[10] Статистикалық механика, Швабль, 16-бет.

[11] Кардар, Мехран (2007). Бөлшектердің статистикалық физикасы. Кембридж университетінің баспасы. 59-60 бет. ISBN 978-0-521-87342-0.

[12] Истман, Питер (2014–2015). «Фазалық ықтималдықтардың эволюциясы».

[13] Ерекше анық туынды үшін қараңыз Толман, Р. (1979). Статистикалық механика принциптері. Довер. 48-51 бет. ISBN 9780486638966.

[14] «Фазалық кеңістік және Лиувилль теоремасы». Алынған 6 қаңтар, 2014. Осы Википедия мақаласындағы дәлелдеумен бірдей. Деп болжайды (дәлелдемесіз) n-өлшемдік үздіксіздік теңдеуі.

[15] «Фазалық кеңістіктің көлемін және Лиувилл теоремасын сақтау». Алынған 6 қаңтар, 2014. Джейкобянның көлемдік элементінің Гамильтон механикасы кезінде қалай өзгеретініне негізделген дәлелі.

[16] «Физика 127а: сынып ескертулері» (PDF). Алынған 6 қаңтар, 2014. Пайдаланады n-өлшемдік дивергенция теоремасы (дәлелсіз).

[17] Нэш, Оливер (2015 жылғы 8 қаңтар). «Педианттарға арналған Лиувилл теоремасы» (PDF). Алынған 1 қазан, 2015. Лиовиль теоремасын қазіргі дифференциалды геометрия тілін қолдана отырып дәлелдейді.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]