Квадраттық функция - Quadratic function

Жылы алгебра, а квадраттық функция, а квадраттық көпмүше, а 2 дәрежелі көпмүшелік, немесе жай а квадраттық, Бұл көпмүшелік функция ең жоғары дәрежелі мүше екінші дәрежелі болатын бір немесе бірнеше айнымалылармен.

Екіден тұратын квадрат көпмүшелік нақты тамырлар (өткелдер х ось) және, демек, жоқ күрделі тамырлар. Кейбір басқа квадраттық көпмүшеліктерге ие минимум жоғарыдан х ось, бұл жағдайда нақты тамырлар және екі күрделі тамырлар болмайды.

Мысалы, а бірмәнді (бір айнымалы) квадраттық функцияның формасы бар^[1]

{ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c, quad a neq 0}

жалғыз айнымалыда х. The график бір айнымалы квадраттық функцияның а парабола оның симметрия осі параллельге тең $ж$ -аксис, оң жақта көрсетілгендей.

Егер квадраттық функция нөлге тең болса, онда нәтиже а болады квадрат теңдеу. Бір айнымалы теңдеудің шешімдері деп аталады тамырлар бірмәнді функцияның.

Айнымалылар тұрғысынан екіжақты жағдай х және ж формасы бар

{ displaystyle f (x, y) = ax ^ {2} + by ^ {2} + cxy + dx + ey + f , !}

кем дегенде біреуімен а, б, в нөлге тең емес және бұл функцияны нөлге теңдеу теңдеуі а-ны тудырады конустық бөлім (а шеңбер немесе басқа эллипс, а парабола немесе а гипербола ).

Үш айнымалыдағы квадраттық функция х, у, және з тек қана терминдерді қамтиды х², ж², з², xy, xz, yz, х, ж, зжәне тұрақты:

{ displaystyle f (x, y, z) = ax ^ {2} + by ^ {2} + cz ^ {2} + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j,}

кем дегенде біреуімен коэффициенттер a, b, c, d, e, немесе f нөлдік емес екінші дәрежелі мүшелердің.

Жалпы, ерікті түрде көп мөлшерде айнымалылар болуы мүмкін, бұл жағдайда нәтиже шығады беті квадраттық функцияны нөлге теңестіру а деп аталады төртбұрышты, бірақ ең жоғары дәреже мерзімі 2 дәрежесі болуы керек, мысалы х², xy, yzжәне т.б.

Этимология

Сын есім квадраттық шыққан Латын сөз квадратум ("шаршы Ұқсас термин $х 2$ а деп аталады шаршы алгебрада, өйткені ол а шаршы жағымен $х$ .

Терминология

Коэффициенттер

The коэффициенттер көпмүше көбіне нақты немесе қабылданады күрделі сандар, бірақ шын мәнінде көпмүшелік кез келгенге анықталуы мүмкін сақина.

Дәрежесі

«Квадраттық көпмүше» терминін қолданғанда авторлар кейде «дәл 2 дәрежеге ие», ал кейде «ең көбі 2 дәрежеге ие» дегенді білдіреді. Егер дәреже 2-ден аз болса, мұны «» деп атауға боладыдегенеративті жағдай «. Әдетте, контекст екінің қайсысы қолданылатынын анықтайды.

Кейде «бұйрық» сөзі «дәреже» мағынасымен қолданылады, мысалы. екінші ретті көпмүшелік.

Айнымалылар

Квадраттық көпмүшеге бір мән берілуі мүмкін айнымалы х (айнымалы жағдай) немесе сияқты бірнеше айнымалылар х, ж, және з (көп айнымалы жағдай).

Бір айнымалы жағдай

Кез келген бір айнымалы квадраттық көпмүшені былай жазуға болады

{ displaystyle ax ^ {2} + bx + c, , !}

қайда х және айнымалы болып табылады а, б, және c ұсыну коэффициенттер. Жылы қарапайым алгебра, мұндай көпмүшелер көбінесе а түрінде туындайды квадрат теңдеу ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ . Бұл теңдеудің шешімдері деп аталады тамырлар квадраттық көпмүшенің, және арқылы табылуы мүмкін факторизация, шаршыны аяқтау, графика, Ньютон әдісі, немесе пайдалану арқылы квадрат формула. Әрбір квадрат көпмүшенің байланысты квадраттық функциясы бар, оның график Бұл парабола.

Екіжақты жағдай

Екі айнымалысы бар кез-келген квадрат көпмүшені былай жазуға болады

{ displaystyle f (x, y) = ax ^ {2} + by ^ {2} + cxy + dx + ey + f, , !}

қайда х және ж және айнымалылар болып табылады а, б, c, г., e, және f коэффициенттер болып табылады. Мұндай полиномдар зерттеу үшін негіз болып табылады конустық бөлімдер, үшін өрнекті теңестірумен сипатталады f (х, ж) нөлге дейін. Сол сияқты үш немесе одан да көп айнымалысы бар квадрат көпмүшеліктер сәйкес келеді төртбұрышты беттері және гипер беткейлер. Жылы сызықтық алгебра, квадраттық көпмүшелерді а ұғымына жалпылауға болады квадраттық форма үстінде векторлық кеңістік.

Бір өлшемді квадраттық функцияның формалары

Бір өлшемді квадраттық функцияны үш форматта көрсетуге болады:^[2]

${ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c , !}$ деп аталады стандартты форма,
${ displaystyle f (x) = a (x-r_ {1}) (x-r_ {2}) , !}$ деп аталады есепке алынған форма, қайда $р 1$ және $р 2$ квадраттық функцияның түбірлері және сәйкес квадрат теңдеудің шешімдері болып табылады.
${ displaystyle f (x) = a (x-h) ^ {2} + k , !}$ деп аталады шың нысаны, қайда $сағ$ және $к$ болып табылады $х$ және $ж$ сәйкесінше шыңның координаттары.

Коэффициент $а$ барлық үш формада бірдей мән болып табылады. Түрлендіру үшін стандартты форма дейін есепке алынған форма, біреуіне тек қажет квадрат формула екі тамырды анықтау $р 1$ және $р 2$ . Түрлендіру үшін стандартты форма дейін шың нысаны, деп аталатын процесс қажет шаршыны аяқтау. Факторланған форманы (немесе шың формасын) стандартты түрге ауыстыру үшін факторларды көбейту, кеңейту және / немесе тарату қажет.

Бір айнымалы функцияның графигі

{ displaystyle f (x) = ax ^ {2} | _ {a = {0.1,0.3,1,3 }} !}

{ displaystyle f (x) = x ^ {2} + bx | _ {b = {1,2,3,4 }} !}

{ displaystyle f (x) = x ^ {2} + bx | _ {b = {- 1, -2, -3, -4 }} !}

Пішіміне қарамастан, бірмүшелі квадраттық функцияның графигі ${ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}$ Бұл парабола (оң жақта көрсетілгендей). Эквивалентті түрде, бұл екі квадраттық теңдеудің графигі ${ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c}$ .

Егер $а > 0$ , парабола жоғары қарай ашылады.
Егер $а < 0$ , парабола төмен қарай ашылады.

Коэффициент $а$ графиктің қисықтық дәрежесін басқарады; үлкенірек шамасы $а$ графикке неғұрлым жабық (күрт қисық) көрініс береді.

Коэффициенттер $б$ және $а$ бірге параболаның симметрия осінің орналасуын басқарады (сонымен қатар $х$ -шың мен. координатасы сағ параметрі шың түрінде), онда орналасқан

{ displaystyle x = - { frac {b} {2a}}.}

Коэффициент $c$ параболаның биіктігін басқарады; нақтырақ айтсақ, бұл параболаның биіктігі, ол оны ұстап алады $ж$ -аксис.

Шың

The шың парабола - бұрылатын жер; демек, оны деп те атайды бұрылыс. Егер квадраттық функция шың түрінде болса, онда шың болады $(сағ, к)$ . Квадратты толтыру әдісін қолдана отырып, стандартты форманы бұруға болады

{ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c , !}

ішіне

{ displaystyle { begin {aligned} f (x) & = ax ^ {2} + bx + c & = a (xh) ^ {2} + k & = a left (x - { frac {-b} {2a}} right) ^ {2} + left (c - { frac {b ^ {2}} {4a}} right), end {aligned}}}

сондықтан шың, $(сағ, к)$ , стандартты формадағы параболаның болып табылады

{ displaystyle left (- { frac {b} {2a}}, c - { frac {b ^ {2}} {4a}} right).}

Егер квадраттық функция фактураланған түрде болса

{ displaystyle f (x) = a (x-r_ {1}) (x-r_ {2}) , !}

екі тамырдың орташа мәні, яғни

{ displaystyle { frac {r_ {1} + r_ {2}} {2}} , !}

болып табылады $х$ -шыңның, демек, шыңның координатасы $(сағ, к)$ болып табылады

{ displaystyle сол жақ ({ frac {r_ {1} + r_ {2}} {2}}, f сол ({ frac {r_ {1} + r_ {2}} {2}} оң) дұрыс). !}

Төбесі сонымен қатар, егер максималды нүкте болса $а < 0$ , немесе егер минималды балл болса $а > 0$ .

Тік сызық

{ displaystyle x = h = - { frac {b} {2a}}}

шыңы арқылы өтетін бұл да симметрия осі параболаның.

Максималды және минималды ұпайлар

Қолдану есептеу, шың нүктесі, а максимум немесе минимум функциясының, түбірлерін табу арқылы алуға болады туынды:

{ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c quad Rightarrow quad f '(x) = 2ax + b , !}

$х$ түбірі $f'(х)$ егер $f'(х) = 0$ нәтижесінде

{ displaystyle x = - { frac {b} {2a}}}

сәйкес функция мәнімен

{ displaystyle f (x) = a left (- { frac {b} {2a}} right) ^ {2} + b left (- { frac {b} {2a}} right) + c = c - { frac {b ^ {2}} {4a}} , !,}

сондықтан қайтадан шың нүктесінің координаттары, $(сағ, к)$ , ретінде көрсетілуі мүмкін

{ displaystyle left (- { frac {b} {2a}}, c - { frac {b ^ {2}} {4a}} right).}

Бір айнымалы функцияның тамырлары

Графигі

ж = балта 2 + bx + c

, қайда

а

және дискриминант

б 2 - 4 ак

оң болып табылады

Тамырлар және $ж$ кіру қызыл
Симметрия шыңы және осі көк
Фокус және директория қызғылт

-Ның күрделі тамырларының көрнекілігі

ж = балта 2 + bx + c

: парабола өз шыңына қарай 180 ° айналдырылған (апельсин). Оның

х

-ешіктер ортаңғы нүктесінің айналасында 90 ° айналады, ал декарттық жазықтық күрделі жазықтық ретінде түсіндіріледі (жасыл).^[3]

Дәл тамырлар

The тамырлар (немесе нөлдер), $р 1$ және $р 2$ , бір өлшемді квадраттық функцияның

{ displaystyle { begin {aligned} f (x) & = ax ^ {2} + bx + c & = a (x-r_ {1}) (x-r_ {2}), end {тураланған}}}

мәні болып табылады $х$ ол үшін $f (х) = 0$ .

Қашан коэффициенттер $а$ , $б$ , және $c$ , болып табылады нақты немесе күрделі, тамыры

{ displaystyle r_ {1} = { frac {-b - { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}},}

{ displaystyle r_ {2} = { frac {-b + { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}.}

Тамырдың шамасына байланысты жоғарғы

The модуль квадраттық түбірлердің ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c ,}$ артық болуы мүмкін емес ${ displaystyle { frac { max (| a |, | b |, | c |)} {| a |}} times phi, ,}$ қайда ${ displaystyle phi}$ болып табылады алтын коэффициент ${ displaystyle { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}}.}$ ^[4]^{[маңыздылығы? ]}

Бір өлшемді квадраттық функцияның квадрат түбірі

The шаршы түбір бір айнымалы квадраттық функцияның нәтижесінде төрт конустық қиманың бірі пайда болады, әрдайым дерлік не an эллипс немесе а гипербола.

Егер ${ displaystyle a> 0 , !}$ содан кейін теңдеу ${ displaystyle y = pm { sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}}$ гиперболаны сипаттайды, бұл екі жағын да квадраттау арқылы көрінеді. Гипербола осьтерінің бағыттары ординат туралы минимум сәйкес параболаның нүктесі ${ displaystyle y_ {p} = ax ^ {2} + bx + c , !}$ . Егер ордината теріс болса, онда гиперболаның үлкен осі (оның төбелері арқылы) көлденең, ал егер ординат оң болса, онда гиперболаның үлкен осі тік болады.

Егер ${ displaystyle a <0 , !}$ содан кейін теңдеу ${ displaystyle y = pm { sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}}$ немесе шеңберді немесе басқа эллипсті немесе мүлдем ештеңені сипаттамайды. Егер ординатасы максимум сәйкес параболаның нүктесі ${ displaystyle y_ {p} = ax ^ {2} + bx + c , !}$ оң болса, оның квадрат түбірі эллипсті сипаттайды, ал егер ординат теріс болса, онда ан сипаттайды бос нүктелер локусы.

Қайталау

Кімге функцияны қайталау ${ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}$ , біреу функцияны қайталап қолданады, бір итерациядан шығуды келесіге енгізу ретінде қолданады.

Әрқашан аналитикалық формасын шығаруға болмайды ${ displaystyle f ^ {(n)} (x)}$ деген мағынаны білдіреді n^мың қайталау ${ displaystyle f (x)}$ . (Жоғарғы сценарий кері санның итерациясына сілтеме жасай отырып, теріс сандарға дейін кеңейтілуі мүмкін ${ displaystyle f (x)}$ егер кері болса.) Бірақ аналитикалық түрде де бар тартылатын істер.

Мысалы, қайталанатын теңдеу үшін

{ displaystyle f (x) = a (x-c) ^ {2} + c}

біреуінде бар

{ displaystyle f (x) = a (x-c) ^ {2} + c = h ^ {(- 1)} (g (h (x))), , !}

қайда

{ displaystyle g (x) = ax ^ {2} , !}

және

{ displaystyle h (x) = x-c. , !}

Сонымен, индукция бойынша,

{ displaystyle f ^ {(n)} (x) = h ^ {(- 1)} (g ^ {(n)} (h (x))) , !}

алуға болады, қайдан ${ displaystyle g ^ {(n)} (x)}$ ретінде оңай есептелуі мүмкін

{ displaystyle g ^ {(n)} (x) = a ^ {2 ^ {n} -1} x ^ {2 ^ {n}}. , !}

Соңында, бізде

{ displaystyle f ^ {(n)} (x) = a ^ {2 ^ {n} -1} (x-c) ^ {2 ^ {n}} + c , !}

шешім ретінде.

Қараңыз Топологиялық конъюгация арасындағы байланыс туралы толығырақ f және ж. Қараңыз Кешенді квадрат көпмүшелік жалпы итерациядағы хаотикалық мінез-құлық үшін.

The логистикалық карта

{ displaystyle x_ {n + 1} = rx_ {n} (1-x_ {n}), quad 0 leq x_ {0} <1}

2 <параметріменр<4 белгілі бір жағдайларда шешілуі мүмкін, оның бірі ретсіз және олардың бірі емес. Хаостық жағдайда р= 4 шешім

{ displaystyle x_ {n} = sin ^ {2} (2 ^ {n} theta pi)}

мұнда бастапқы шарт параметрі ${ displaystyle theta}$ арқылы беріледі ${ displaystyle theta = { tfrac {1} { pi}} sin ^ {- 1} (x_ {0} ^ {1/2})}$ . Рационалды үшін ${ displaystyle theta}$ , қайталанудың шектеулі санынан кейін ${ displaystyle x_ {n}}$ периодтық реттілікке түсіреді. Бірақ барлығы дерлік ${ displaystyle theta}$ иррационалды болып табылады, ал иррационалды үшін ${ displaystyle theta}$ , ${ displaystyle x_ {n}}$ ешқашан қайталанбайды - бұл мерзімді емес және экспонаттар бастапқы жағдайларға сезімтал тәуелділік, сондықтан ол хаотикалық деп айтылады.

Логистикалық картаның шешімі қашан р= 2 болып табылады

${ displaystyle x_ {n} = { frac {1} {2}} - { frac {1} {2}} (1-2x_ {0}) ^ {2 ^ {n}}}$

үшін ${ displaystyle x_ {0} in [0,1)}$ . Бастап ${ displaystyle (1-2x_ {0}) in (-1,1)}$ кез келген мәні үшін ${ displaystyle x_ {0}}$ тұрақсыз 0 нүктесінен басқа, термин ${ displaystyle (1-2x_ {0}) ^ {2 ^ {n}}}$ 0 ретінде барады n шексіздікке жетеді, сондықтан ${ displaystyle x_ {n}}$ тұрақты бекітілген нүктеге өтеді ${ displaystyle { tfrac {1} {2}}.}$

Екі өлшемді (екі айнымалы) квадраттық функция

A квадраттық функция - форманың екінші дәрежелі көпмүшесі

{ displaystyle f (x, y) = Ax ^ {2} + By ^ {2} + Cx + Dy + Exy + F , !}

қайда А Б С Д, және E бекітілген коэффициенттер және F Мұндай функция квадратты сипаттайды беті. Параметр ${ displaystyle f (x, y) , !}$ нөлге тең беттің жазықтықпен қиылысуын сипаттайды ${ displaystyle z = 0 , !}$ , бұл а локус а-ға балама нүктелер конустық бөлім.

Минимум / максимум

Егер ${ displaystyle 4AB-E ^ {2} <0 ,}$ функцияда максимум немесе минимум жоқ; оның графигі гиперболаны құрайды параболоид.

Егер ${ displaystyle 4AB-E ^ {2}> 0 ,}$ егер функция минимумға ие болса A> 0, ал егер максимум болса A<0; оның графигі эллиптикалық параболоидты құрайды. Бұл жағдайда минимум немесе максимум орын алады ${ displaystyle (x_ {m}, y_ {m}) ,}$ қайда:

{ displaystyle x_ {m} = - { frac {2BC-DE} {4AB-E ^ {2}}},}

{ displaystyle y_ {m} = - { frac {2AD-CE} {4AB-E ^ {2}}}.}

Егер ${ displaystyle 4AB-E ^ {2} = 0 ,}$ және ${ displaystyle DE-2CB = 2AD-CE neq 0 ,}$ функцияда максимум немесе минимум жоқ; оның графигі параболикті құрайды цилиндр.

Егер ${ displaystyle 4AB-E ^ {2} = 0 ,}$ және ${ displaystyle DE-2CB = 2AD-CE = 0 ,}$ функция жолда максимумға / минимумға жетеді - минимум, егер A> 0 және максимум, егер A<0; оның графигі параболалық цилиндрді құрайды.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

^ «Квадрат теңдеу - Wolfram MathWorld-тен». Алынған 6 қаңтар, 2013.
^ Хьюз-Халлетт, Дебора; Коналал, Эрик; МакКаллум, Уильям Г. (2007), Алгебра колледжі, John Wiley & Sons Inc., б. 205, ISBN 9780471271758, Іздеу нәтижесі
^ «Көрінетін күрделі тамырлар - математикалық қызықты фактілер». Алынған 1 қазан 2016.
^ Лорд, Ник, «Квадрат теңдеу түбірлерінің алтын шектері», Математикалық газет 91, 2007 ж. Қараша, 549.

Алгебра 1, Гленко, ISBN 0-07-825083-8
Алгебра 2, Саксон, ISBN 0-939798-62-X

Сыртқы сілтемелер

Вайсштейн, Эрик В. «Квадрат». MathWorld.

[wolfram-1] «Квадрат теңдеу - Wolfram MathWorld-тен». Алынған 6 қаңтар, 2013.

[2] Хьюз-Халлетт, Дебора; Коналал, Эрик; МакКаллум, Уильям Г. (2007), Алгебра колледжі, John Wiley & Sons Inc., б. 205, ISBN 9780471271758, Іздеу нәтижесі

[3] «Көрінетін күрделі тамырлар - математикалық қызықты фактілер». Алынған 1 қазан 2016.

[4] Лорд, Ник, «Квадрат теңдеу түбірлерінің алтын шектері», Математикалық газет 91, 2007 ж. Қараша, 549.

[1]

[2]

[3]

[4]

Көпмүшелер және көпмүшелік функциялар
Авторы дәрежесі	Нөлдік полином (дәрежесі анықталмаған немесе −1 немесе −∞) Тұрақты функция (0) Сызықтық функция (1) Сызықтық теңдеу Квадраттық функция (2) Квадрат теңдеу Кубтық функция (3) Кубтық теңдеу Квартикалық функция (4) Квартикалық теңдеу Квинтикалық функция (5) Секстикалық теңдеу (6) Септикалық теңдеу (7)
Қасиеттері бойынша	Бір мәнді Екі жақты Көп айнымалы Мономиялық Биномдық Үштік Төмендетілмейтін Квадратсыз Біртекті Квазимогенді
Құралдар мен алгоритмдер	Факторизация Ең үлкен ортақ бөлгіш Бөлім Хорнердің бағалау әдісі Нәтиже Дискриминантты Gröbner негізі