Гомотопиялық ассоциативті алгебра - Homotopy associative algebra

Математикада ан алгебра сияқты көбейтуге ие кімдікі ассоциативтілік мұрынға жақсы анықталған. Бұл кез-келген нақты сандарға арналған Бізде бар

Бірақ, алгебралар бар олар міндетті түрде ассоциативті болып табылмайды, егер содан кейін

жалпы алғанда. Деп аталатын алгебралар туралы түсінік бар -алгебралар, көбейтудің қасиеті бар, олар әлі де бірінші қатынас сияқты әрекет етеді, яғни ассоциативтілік сақталады, бірақ тек гомотопия, бұл операциядан кейін алгебрадағы ақпаратты «қысу» арқылы айту тәсілі, көбейту ассоциативті болып табылады. Бұл дегеніміз, біз екінші теңдеуге ұқсайтын нәрсе аламыз, дегенмен теңсіздік, біз шынымен теңдікті алгебрадағы ақпаратты «қысқаннан» кейін аламыз.

Зерттеу -алгебралар - бұл гомотопиялық алгебра туралы гомотопиялық түсінік бар жерде ассоциативті алгебралар көбейту операциясы бар дифференциалды дәрежеленген алгебра және көбейту ассоциативті бола алмайтын жоғары гомотоптар қатары арқылы. Еркін, ан -алгебра[1] Бұл -өріс үстіндегі векторлық кеңістік бірқатар операциялармен үстінде - тензор күштері . The сәйкес келеді тізбекті кешенді дифференциал, көбейту картасы, ал неғұрлым жоғары болса ассоциативтілігінің сәтсіздігінің өлшемі болып табылады . Негізгі алгебраны қарастырған кезде , карта ассоциативті карта болуы керек. Содан кейін, бұл жоғары карталар жоғары гомотопия ретінде түсіндіру керек, мұндағы сәтсіздік болып табылады ассоциативті болу, - бұл сәтсіздік жоғары ассоциативті болу және т.б. Олардың құрылымын бастапқыда ашқан Джим Сташеф[2][3] оқу кезінде Бос кеңістіктер, бірақ бұл кейінірек таза алгебралық құрылым ретінде түсіндірілді. Бұл тек гомотопияға дейінгі ассоциативті карталармен жабдықталған кеңістіктер, ал A∞ құрылымы осы гомотоптардың, гомотоптардың гомотоптарының және т.б.

Олар барлық жерде гомологиялық айна симметриясы құрылымын анықтау үшін олардың қажеттілігіне байланысты Фукая санаты туралы D-тармақтары үстінде Калаби – Яу көпжақты тек гомотопиялық ассоциативті құрылымға ие.

Анықтама

Анықтама

Бекітілген өріс үшін ан -алгебра[1] Бұл - векторлық кеңістік

сол үшін дәреже бар , - сызықтық карталар

келісімді шартты қанағаттандыратын:

қайда .

Келісімділік шарттарын түсіну

Когеренттік шарттарды төмен градусқа жазу оңай[1]pgs 583-584.

d = 1

Үшін бұл шарт

бері беру және . Осы екі теңсіздік күш береді когеренттілік жағдайында оның жалғыз кірісі . Сондықтан дифференциалды білдіреді.

d = 2

Үшін келісімділік шартын орауыштан шығару дәрежесін береді карта . Қосындыда теңсіздіктер бар

индекстерді беру тең . Когеренттік қосындысын орамнан шығару қатынасты береді

қайтадан жазылған кезде

және

дифференциал және көбейту ретінде, ол

бұл дифференциалды дәрежелі алгебраларға арналған Либниц заңы.

d = 3

Бұл дәрежеде ассоциативті құрылым жарыққа шығады. Ескерту, егер онда когеренттік шартын кеңейтіп, сәйкес коэффициентіне көбейткеннен кейін мөлдір болатын дифференциалды дәрежелі алгебра құрылымы бар , когеренттік шарт сияқты нәрсені оқиды

Теңдеудің сол жағындағы сәтсіздікке назар аударыңыз мұрынға ассоциативті алгебра болу. Алғашқы үшке арналған кірістердің бірі Карталар осы уақыттан бастап өзара байланысты дифференциалды болып табылады, сондықтан когомология алгебрасы бойынша бұл элементтер сол кезден бастап жоғалады . Оған соңғы тоқсан кіреді өйткені ол когомология алгебрасында нөлдік элемент беретін кобендария болып табылады. Осы қатынастардан біз түсіндіруге болады картасының ассоциативтіліктің сәтсіздігі ретінде , бұл тек гомотопияға дейін ассоциативті екенін білдіреді.

Жоғары ретті шарттар және d = 4

Сонымен қатар, жоғары тапсырыс шарттары , когерентті шарттар тізбектелген тізбекті біріктіретін әр түрлі терминдер береді кейбіріне және осы терминді қалғандарымен бірге элементтерінде . Біріктіру кезінде шарттарда, когеренттік шарттың оң жағына ұқсас оқылатын бөлігі бар , атап айтқанда, терминдер бар

Дәрежесінде басқа терминдерді келесідей етіп жазуға болады

қалай бейнеленген элементтерін көрсету және өзара әрекеттесу. Бұл элементтердің гомотопиясын, соның ішінде суреттегі элементтерді білдіреді Гомотопиялық кіріс болатын элементтерді көбейтуді алып тастағанда, шекара бойынша ерекшеленеді. Жоғары тапсырыс үшін , бұл ортаңғы терминдердің қалай ортаңғы карталар болатынын көруге болады басқа жоғары гомотопиялық картаның кескінінен шыққан терминдерге қатысты өзіңізді ұстаңыз.

Мысалдар

Ассоциативті алгебралар

Әрбір ассоциативті алгебра бар - анықтау арқылы шексіздік құрылымы және үшін . Демек -алгебралар ассоциативті алгебраларды жалпылайды.

Дифференциалды дәрежеленген алгебралар

Әрбір дифференциалды дәрежеленген алгебра ретінде канондық құрылымға ие -алгебра[1] қайда және көбейту картасы. Барлық басқа карталар тең . Минималды модельдер үшін құрылымдық теореманы қолдана отырып, канондық бар - деңгейлі когомология алгебрасының құрылымы ол бастапқы дифференциалды дәрежеленген алгебраның квази-изоморфизм құрылымын сақтайды. Мұндай дгалардың кең таралған мысалдарының бірі Қосзул алгебрасы а тұрақты реттілік.

Н-кеңістігінің алгебралары

-Ның уәжді мысалдарының бірі -алгебралар зерттеуге байланысты H бос орындары. Топологиялық кеңістік болған сайын бұл H-кеңістігі, оған байланысты сингулярлы тізбекті кешен канондыққа ие -алгебра құрылымы, оның құрылымынан H кеңістігі.[3]

Мөлшері жоқ шексіз көп мысалмен

Алгебраны қарастырайық өріс үстінде сипаттамалық қайда дәрежеге байланысты векторлар және дәрежесіне байланысты вектор .[4][5] Осы қарапайым мысалда да қарапайым емес нәрсе бар - барлық мүмкін дәрежелерде дифференциалдар беретін құрылым. Бұл ішінара дәреженің болуына байланысты дәреже беретін вектор дәреженің векторлық кеңістігі жылы . Дифференциалды анықтаңыз арқылы

және үшін

қайда жоғарыда көрсетілмеген кез-келген картада және . Дәрежесінде , сондықтан көбейту картасы үшін бізде бар

Және жоғарыдағы қатынастар береді

бұл теңдеулерді ассоциативтіліктің сәтсіздігімен байланыстырған кезде нөлге тең емес шарттар болады. Мысалы, үшін келісімділік шарттары ассоциативтілік мұрынға қонбайтын маңызды емес мысал келтіреді. Когомологиялық алгебрада ескеріңіз бізде тек дәреже бар шарттар бері дифференциалмен өлтіріледі .

Қасиеттері

А беру құрылым

Негізгі қасиеттерінің бірі -алгебра - бұл олардың құрылымын дұрыс гипотезалармен басқа алгебралық объектілерге беруге болады. Бұл қасиеттің ерте көрінісі келесідей болды: берілген -алгебра және комплекстердің гомотопиялық эквиваленттілігі

онда бар -алгебра құрылымы мұрагерлік және морфизміне дейін кеңейтілуі мүмкін -алгебралар. Бұл хош иістің әр түрлі гипотезалары бар бірнеше теоремалары бар және , олардың кейбіреулері құрылымның гомотопиясына дейінгі бірегейлік сияқты күшті нәтижелерге ие картадағы қатаңдық .[6]

Құрылым

Минималды модельдер және Кадейшвили теоремасы

Үшін маңызды құрылым теоремаларының бірі -алгебра - бұл тіршілік ету және қайталанбастық минималды модельдер - ретінде анықталады - дифференциалды карта орналасқан алгебралар нөлге тең. Когомологиялық алгебра алу туралы -алгебра дифференциалдан , сондықтан деңгейлі алгебра ретінде

көбейту картасымен . Бұл алгебраны канондық түрде ан-мен жабдықтауға болады екен -құрылым,

бұл квази-изоморфизмге дейін ерекше -алгебралар.[7] Шындығында, мәлімдеме одан да күшті: канондық бар -морфизм

жеке куәлікті көтеретін . Бұл жоғары өнімнің Массей өнімі.

Мотивация

Бұл теорема дифференциалды дәрежелі алгебраларды зерттеу үшін өте маңызды, себебі олар бастапқыда сақиналардың гомотопиялық теориясын зерттеу үшін енгізілген. Когомологиялық операция гомотопиялық ақпаратты өлтіретіндіктен, әр дифференциалды дәрежелі алгебра оның когомологиялық алгебрасына квази-изоморфты бола бермейтіндіктен, осы операцияны қолдану арқылы ақпарат жоғалады. Бірақ, минималды модельдер квази-изоморфизм класын қалпына келтіруге мүмкіндік береді, ал дифференциалды ұмытып кетеді. Үшін ұқсас нәтиже бар A∞-санаттары Концевич пен Сойбельманның ан A∞ санаты когомология категориясы бойынша құрылым а-дағы когерентті қабықшалардың кохейндік кешендерінен тұратын dg-категориясының сингулярлы емес әртүрлілік өріс үстінде сипаттамалық және дифференциалды дәрежелі шоқтың Чех би-кешенінің жалпы комплексімен берілген морфизмдер [1]586-593 бет. Бұл дәреже болды санаттағы морфизмдер арқылы беріледі .

Қолданбалар

Бұл теореманың бірнеше қосымшалары бар. Атап айтқанда, dg-алгебра берілген, мысалы де-Рам алгебрасы немесе Хохшиельд когомологиясы алгебра, олармен жабдықталуы мүмкін -құрылым.

DGA-дан алынған масси құрылымы

Дифференциалды дәрежеленген алгебра берілген оның минималды моделі -алгебра Massey өнімдерін қолдану арқылы салынған. Бұл,

Кез келген болып шығады -алгебра құрылымы осы құрылыспен тығыз байланысты. Басқасын берді -құрылым карталармен , қатынас бар[8]

қайда

осының бәрі - когомологиялық алгебра бойынша байыту бір-бірімен байланысты.

Оның алгебрасынан алынған алгебралар

Құрылымның тағы бір теоремасы - алгебраны оның алгебрасынан қалпына келтіру. Байланысты дәрежеленген алгебра берілген

бұл канондық ассоциативті алгебра. Ретінде анықталған оның алгебрасы деп аталатын байланысты алгебра бар

мұндағы көбейту Yoneda өнімі. Сонда, бар арасындағы квази-изоморфизм және . Бұл сәйкестендіру маңызды, өйткені ол бәрін көрсетуге мүмкіндік береді алынған категориялар болып табылады туынды аффин Демек, олар изоморфты, кейбір алгебраның туынды категориясы.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ а б c г. e Aspinwall, Paul, 1964- (2009). Дирихлет кебектері және айна симметриясы. Американдық математикалық қоғам. ISBN  978-0-8218-3848-8. OCLC  939927173.CS1 maint: бірнеше есімдер: авторлар тізімі (сілтеме)
  2. ^ Сташеф, Джим (2018-09-04). «Л. және А құрылымдар: содан кейін және қазір ». arXiv:1809.02526 [математика ].
  3. ^ а б Сташеф, Джеймс Диллон (1963). «H кеңістігінің гомотопиялық ассоциативтілігі. II». Американдық математикалық қоғамның операциялары. 108 (2): 293–312. дои:10.2307/1993609. ISSN  0002-9947. JSTOR  1993609.
  4. ^ Аллокка, М; Лада, Т. «Алгебраның ақырлы өлшемді мысалы» (PDF). Мұрағатталды (PDF) түпнұсқадан 2020 жылғы 28 қыркүйекте.
  5. ^ Күнделікті, Мэрилин; Лада, Том (2005). «Габариттік теориядағы ақырлы $ L_ infty $ алгебра мысалы». Гомология, гомотопия және қолдану. 7 (2): 87–93. дои:10.4310 / HHA.2005.v7.n2.a4. ISSN  1532-0073.
  6. ^ Берк, Джесси (2018-01-26). «А-шексіз құрылымдарды проективті қарарларға ауыстыру». arXiv:1801.08933 [математика.KT ].
  7. ^ Кадейшвили, Торнике (2005-04-21). «Талшық кеңістігінің гомологиялық теориясы туралы». arXiv:математика / 0504437.
  8. ^ Буйс, Урци; Морено-Фернандес, Хосе Мануэль; Мурильо, Анисето (2019-02-19). «A-шексіз құрылымдар және Massey өнімдері». arXiv:1801.03408 [math.AT ].