A∞-операд - A∞-operad

Теориясында опералар жылы алгебра және алгебралық топология, an A_∞-операд көбейту картасына арналған параметр кеңістігі болып табылады гомотопия ассоциативті. (Гомотопиялық когерентті ассоциативті және гомотопиялық когерентті коммутативті көбейтуді сипаттайтын опера - деп аталады E_∞-операд.)

Анықтама

Топологиялық кеңістіктерге симметриялы топтың әрекеті бар операдалардың (әдеттегі) жағдайда, операда A деп аталады A_∞-операд, егер оның барлық кеңістігі болса A(n) Σ_n-теңбе-тең гомотопиялық эквивалент дискретті кеңістіктерге Σ_n ( симметриялық топ ) көбейту әрекетімен (қайда n ∈ N). Non емес операдалар (сонымен қатар, симметриялы емес операдалар, ауыстырылмайтын операдалар деп аталады) A болып табылады A_∞егер оның барлық кеңістігі болса A(n) келісімшарт болып табылады. Басқасында санаттар топологиялық кеңістіктерге қарағанда гомотопия және келісімшарт сияқты тиісті аналогтармен ауыстырылуы керек гомологиялық эквиваленттер санатында тізбекті кешендер.

A_n-операдтар

Хат A терминологияда «ассоциативті» деген мағынаны білдіреді, ал шексіздік белгілері ассоциативтіліктің «барлық» жоғары гомотоптарға дейін қажет екенін айтады. Жалпы, әлсіз деген түсінік бар A_n-операд (n ∈ N), тек белгілі бір деңгейдегі гомотоптардың деңгейіне дейін ассоциативті көбейтуді параметрлеу. Соның ішінде,

A₁-кеңістіктер - бұл сүйір кеңістіктер;
A₂- кеңістіктер H бос орындары ассоциативтілік шарттары жоқ; және
A₃-кеңістіктер - бұл гомотоптық ассоциативті Н-кеңістіктер.

A_∞-операдтар және бір циклді кеңістіктер

Бос орын X болып табылады цикл кеңістігі деп белгіленетін басқа кеңістіктің BX, егер және егер болса X - алгебра ${ displaystyle A _ { infty}}$ -операд және моноид π₀(X) оның байланысқан компоненттерінің тобы болып табылады. Анге алгебра ${ displaystyle A _ { infty}}$ -операдты ан деп атайды ${ displaystyle mathbf {A} _ { infty}}$ -ғарыш. Цикл кеңістігін сипаттаудың үш салдары бар. Біріншіден, цикл кеңістігі ${ displaystyle A _ { infty}}$ -ғарыш. Екіншіден, байланысты ${ displaystyle A _ { infty}}$ -ғарыш X бұл цикл кеңістігі. Үшіншіден топтық аяқтау мүмкін ажыратылған ${ displaystyle A _ { infty}}$ -кеңістік - бұл цикл кеңістігі.

Маңыздылығы ${ displaystyle A _ { infty}}$ - операдтар гомотопия теориясы алгебралар арасындағы осы қатынастан туындайды ${ displaystyle A _ { infty}}$ -operad және цикл кеңістіктері.

A_∞-алгебралар

Алгебра ${ displaystyle A _ { infty}}$ -операд ан деп аталады ${ displaystyle A _ { infty}}$ -алгебра. Мысалдар Фукая санаты оны анықтауға болатын симплектикалық коллектордың (сонымен қатар қараңыз) псевдоголоморфты қисық ).

Мысалдар

Ең айқын, әсіресе пайдалы болмаса, мысалы ${ displaystyle A _ { infty}}$ -операд - бұл ассоциативті операд а берілген ${ displaystyle a (n) = Sigma _ {n}}$ . Бұл операда қатаң ассоциативті көбейту сипатталған. Анықтама бойынша кез-келген басқа ${ displaystyle A _ { infty}}$ -operad-да карта бар а бұл гомотопиялық эквиваленттілік болып табылады.

А геометриялық мысалы_∞-операдты Stasheff политоптары немесе береді ассоциаедра.

Аз комбинаторлық мысал - бұл аз ғана аралықтағы опера: Кеңістік ${ displaystyle A (n)}$ барлық ендірулерінен тұрады n бөлу аралықтар бірлік аралыққа

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

Сташеф, Джим (Маусым-шілде 2004). «Операд дегеніміз не?» (PDF ). Американдық математикалық қоғамның хабарламалары. 51 (6): 630–631. Алынған 2008-01-17.
Дж. Питер Мэй (1972). Қайталама цикл кеңістігінің геометриясы. Шпрингер-Верлаг. Архивтелген түпнұсқа 2015-07-07. Алынған 2008-02-19.
Мартин Маркл; Стив Шнайдер; Джим Сташеф (2002). Алгебра, топология және физика бойынша операдалар. Американдық математикалық қоғам.
Сташеф, Джеймс (1963). «Гомотопиялық ассоциативтілік H- кеңістіктер. I, II ». Американдық математикалық қоғамның операциялары. 108 (2): 275–292, 293–312. дои:10.2307/1993608. JSTOR 1993608.