Гротендиек санаты - Grothendieck category

Жылы математика, а Гротендиек санаты болып табылады абель санаты, енгізілген Александр Гротендик Келіңіздер Tôhoku қағазы 1957 ж[1] машиналарын дамыту мақсатында гомологиялық алгебра үшін модульдер және үшін шоқтар бірыңғай тәртіпте. Осы категориялардың теориясы одан әрі дамыды Пьер Габриэль 1962 ж. қорытынды дипломдық жұмыс.[2]

Барлығына алгебралық әртүрлілік Гротендик категориясын біріктіруге болады , тұратын квазиогерентті шоқтар қосулы . Бұл категория барлық қатысты геометриялық ақпаратты кодтайды , және қалпына келтіруге болады ( Габриэль - Розенберг теоремасы ). Бұл мысалда бір көзқарас пайда болады алгебралық емес геометрия: «коммутативті емес сорттарды» зерттеу Гротендиек категорияларын зерттеуден басқа ештеңе емес.[3]

Анықтама

Анықтама бойынша, Гротендик категориясы болып табылады AB5 санаты а генератор. Жазылып алынған, бұл дегеніміз

  • болып табылады абель санаты;
  • объектілердің әрбір (мүмкін шексіз) отбасы бар қосымша өнім (тікелей қосынды деп те аталады) жылы ;
  • тікелей шектер туралы қысқа дәл тізбектер дәл; бұл дегеніміз, егер тікелей жүйесі қысқа дәл тізбектер жылы берілген, содан кейін индукцияланған тікелей шектер тізбегі де қысқа дәл дәйектілік болып табылады. (Тікелей шектеулер әрқашан дұрыс-дәл; Мұндағы маңызды мәселе - біз олардың болуын талап етеміз солға дәл сонымен қатар.)
  • генераторға ие, яғни объект бар жылы осындай Бұл адал функция бастап дейін жиынтықтар санаты. (Біздің жағдайымызда бұл әрбір объект деп айтуға тең туралы мойындайды эпиморфизм , қайда даналарының тікелей қосындысын білдіреді , жиынның (мүмкін шексіз) әр элементіне бір .)

«Гротендиек санаты» атауы Гротендиектің Tôhoku қағазында да кездеспеді[1] Жәбірейілдің тезисінде де;[2] ол 1960 жылдардың екінші жартысында бірнеше авторлардың, соның ішінде Ян-Эрик Роос, Бо Стенстрем, Ульрих Оберст және Бодо Парейгис еңбектерінде қолданысқа енді. (Кейбір авторлар генератордың болуын қажет етпейтіндіктен басқа анықтаманы қолданады).

Мысалдар

  • Гротендик категориясының прототиптік мысалы болып табылады абель топтарының категориясы; абель тобы бүтін сандар генератор ретінде қызмет ете алады.
  • Жалпы, кез-келгенін ескере отырып сақина (ассоциативті, бірге , бірақ міндетті түрде ауыстырылмайды), санат оң жақтан (немесе балама: сол жақтан) модульдер аяқталды Гротендик категориясы; өзі генератор ретінде қызмет ете алады.
  • Берілген топологиялық кеңістік , барлығының санаты шоқтар абель топтарының Гротендиек санаты.[1] (Жалпы алғанда: барлық құқықтар санаты -модульдер қосулы кез-келген сақинаға арналған гротендик категориясы .)
  • Берілген шыңдалған кеңістік , санаты қабығы OX-модульдер Гротендиек санаты.[1]
  • Берілген (аффинді немесе проективті) алгебралық әртүрлілік (немесе жалпы түрде: кез келген схема ), санат туралы квазиогерентті шоқтар қосулы Гротендиек санаты.
  • Шағын сайт берілген (C, Дж) (яғни кіші санат C бірге Гротендик топологиясы Дж), сайттағы абель топтарының барлық шоғырларының санаты - Гротендик категориясы.

Гротендиек санаттарын құру

  • Бұл кез-келген категория балама Grothendieck санатына Grothendieck категориясының өзі жатады.
  • Гротендиек санаттары берілген , өнім санаты Гротендиек санаты.
  • Берілген кіші санат және Гротендик категориясы , функциялар санаты , бәрінен тұрады ковариантты функционалдар бастап дейін , бұл Гротендиек санаты.[1]
  • Кішкентай алдын ала санат және Гротендик категориясы , функциялар санаты барлық қоспалы ковариантты функционалдардан дейін Гротендиек санаты.[4]
  • Егер Гротендиек санаты болып табылады және Бұл ішкі категорияны оқшаулау туралы , содан кейін екеуі де және Серре санаты Гротендиек санаттары.[2]

Қасиеттері мен теоремалары

Grothendieck категориясының әрқайсысында инъекциялық когенератор. Мысалы, абель топтары категориясының инъекциялық когенераторы болып табылады квоталық топ .

Grothendieck санатындағы барлық объектілер бар инъекциялық корпус жылы .[1][2] Бұл салуға мүмкіндік береді инъекциялық қарарлар құралдарын қолдану гомологиялық алгебра жылы , анықтау үшін алынған функционалдар. (Grothendieck категорияларының барлығы бірдей рұқсат етілмейтінін ескеріңіз жобалық шешімдер барлық нысандар үшін; мысалдар - көптеген топологиялық кеңістіктердегі абель топтарының қабаттарының санаттары, мысалы, нақты сандар кеңістігінде.)

Гротендиек санатында кез келген отбасы кіші нысандар берілген объектінің бар супремум (немесе «қосынды») сияқты шексіз (немесе «қиылысу») , екеуі де қайтадан суббъект болып табылады . Әрі қарай, егер отбасы бағытталған (яғни отбасындағы кез-келген екі объект үшін отбасында екеуін қамтитын үшінші объект бар) және тағы бір кіші нысан болып табылады , Бізде бар[5]

Гротендиек категориялары болып табылады қуатты (кейде аталады жергілікті шағындегенмен, бұл термин басқа ұғым үшін де қолданылады), яғни кез-келген берілген объектінің субобъектілер жиынтығы жиынтықты құрайды (орнына тиісті сынып ).[4]

Бұл әрбір гротендик категориясының терең нәтижесі болып табылады толық,[6] яғни ерікті шектеулер (және атап айтқанда өнімдер ) бар . Керісінше, бұл анықтамадан тікелей шығады толық аяқталған, яғни ерікті колимиттер және қосымшалар (тікелей қосындылар) бар . Grothendieck категориясындағы қосалқы өнімдер дәл (яғни қысқа дәл дәйектіліктер тобының бірлескен өнімі қайтадан қысқа дәл дәйектілік болып табылады), бірақ өнімдер дәл болмауы керек.

Функция Гротендик санатынан ерікті санатқа бар сол жақта егер ол барлық шектеулермен жүретін болса және ол барлық колимиттермен жүретін болса ғана. Бұл келесіден Питер Дж. Фрейд Келіңіздер функционалды арнайы теорема және оның қосарланғандығы.[7]

The Габриэль - Попеску теоремасы кез-келген гротендиек санаты туралы айтады а-ға тең толық ішкі санат санаттағы бірыңғай сақинаның үстінен дұрыс модульдер (деп қабылдауға болады эндоморфизм сақинасы генераторының ), және ретінде алуға болады Габриэль туралы кейбіреулерімен ішкі категорияны оқшаулау.[8]

Габриэль-Попескудің нәтижесі ретінде әр гротендиек санаты екенін көрсетуге болады жергілікті жерде.[9] Сонымен қатар, Габриэль-Попеску арқылы әрбір Grothendieck категориясының аяқталғанын көруге болады шағылысатын ішкі санат толық санаттағы кейбіреулер үшін .

Әрбір кіші абель санаты Grothendieck санатына келесі түрде енгізілуі мүмкін. Санат туралы солға дәл аддитивті (ковариантты) функционалдар (қайда дегенді білдіреді абель топтарының категориясы ) - бұл Grothendieck категориясы және функциясы , бірге , толық, сенімді және дәл. Генераторы бәрінің қосымша өнімі арқылы беріледі , бірге .[2] Санат санатына тең туралы нысандар туралы және ендіру табиғи ендіруге сәйкес келеді . Сондықтан біз көре аламыз бірлесіп аяқтау ретінде .

Заттардың ерекше түрлері және Гротендик категориялары

Нысан Grothendieck санатында деп аталады түпкілікті құрылды егер, қашан болса да суббъектілер тобының қосындысы ретінде жазылады , онда бұл қазірдің өзінде ақырғы субфамилияның қосындысы. (Жағдайда модуль санаттарының бұл ұғымы таныс ұғымға баламалы түпкілікті құрылған модульдер.) Шекті түрде жасалған объектілердің эпиморфтық кескіндері қайтадан ақырлы түрде жасалады. Егер және екеуі де және түпкілікті түрде жасалады, солай болады . Нысан егер кез-келген бағытталған жүйеге қатысты болса ғана шектелген түрде жасалады жылы онда әрбір морфизм мономорфизм, табиғи морфизм изоморфизм болып табылады.[10] Grothendieck санатында нөлге тең емес объектілер болмауы керек.

Гротендиек категориясы деп аталады жергілікті түрде жасалған егер ол белгілі бір генераторлар жиынтығына ие болса (яғни, егер отбасы бар болса) әрбір объектіге сәйкес келетін шектеулі түрде жасалған объектілер бар және нөлдік емес морфизм ; баламалы: - бұл көшірмелердің тікелей қосындысының эпиморфтық бейнесі ). Мұндай санаттағы кез-келген объект оның соңғы құрылған суббъектілерінің жиынтығы болып табылады.[4] Әр санат жергілікті деңгейде жасалады.

Нысан Grothendieck санатында деп аталады түпкілікті ұсынылған егер ол түпкілікті түрде жасалса және әрбір эпиморфизм болса шектеулі құрылған доменмен түпкілікті құрылған ядросы бар. Тағы да, бұл деген ұғымды жалпылайды шектеулі ұсынылған модульдер. Егер және екеуі де және шектеулі түрде ұсынылған, солай болады . Жергілікті түрде құрылған Grothendieck санатында , шектеулі түрде берілген объектілерді келесідей сипаттауға болады:[11] жылы әр бағытталған жүйе үшін ғана ұсынылады жылы , табиғи морфизм изоморфизм болып табылады.

Нысан Гротендик санатында аталады келісімді егер ол шектеулі түрде ұсынылған болса және оның әрқайсысы түпнұсқалық түрде құрылған кіші нысандар да ақырлы түрде ұсынылған болса.[12] (Бұл ұғымды жалпылайды когерентті шоқтар сақиналы кеңістікте.) барлық когерентті объектілердің толық санаты - абелия және қосу функциясы - дәл.[12]

Нысан Grothendieck санатында деп аталады Ноетриялық егер оның ішкі объектілерінің жиынтығы өсетін тізбектің шарты, яғни егер әрбір реттілік болса тармақтарының ақыр соңында стационарлық болады. Бұл Х-тің әр субобъектісі ақырындап жасалған жағдайда ғана болады. (Жағдайда , бұл түсінік бізге таныс ұғыммен пара-пар Ноетриялық модульдер.) Grothendieck категориясы деп аталады жергілікті Нетрий егер онда ноетрия генераторларының жиынтығы болса; мысалы - сол жақтағы модульдер санатыНоетриялық сақина.

Ескертулер

  1. ^ а б c г. e f Гротендик, Александр (1957), «Sur quelques points d'algèbre homologique», Tôhoku Mathematical Journal, (2), 9 (2): 119–221, дои:10.2748 / tmj / 1178244839, МЫРЗА  0102537. Ағылшынша аударма.
  2. ^ а б c г. e Габриэль, Пьер (1962), «Des catégories abéliennes» (PDF), Өгіз. Soc. Математика. Фр., 90: 323–448, дои:10.24033 / bsmf.1583
  3. ^ Изуру Мори (2007). «Кванттық басқарылатын беттер» (PDF).
  4. ^ а б c Сенім, Карл (1973). Алгебра: сақиналар, модульдер және I категориялар. Спрингер. 486–498 беттер. ISBN  9783642806346.
  5. ^ Stenström, V.1.1
  6. ^ Стенстрем, Кор. X.4.4
  7. ^ Мак-Лейн, Сондерс (1978). Жұмысшы математикке арналған санаттар, 2-ші басылым. Спрингер. б. 130.
  8. ^ Попеско, Николае; Габриэль, Пьер (1964). «Caractérisation des catégories abéliennes avec générateurs et limites индуктивті дәлдігі». Computes rendus de l'Académie des Sciences. 258: 4188–4190.
  9. ^ Шовичек, қаңтар (2013-01-01). «Гротендиек санатындағы бөлшектеу қабілеті және Хилл Леммасы». Математика форумы. 25 (1). arXiv:1005.3251. Бибкод:2010arXiv1005.3251S. дои:10.1515 / ФОРМА.2011.113. S2CID  119129714.
  10. ^ Stenström, V.3.2
  11. ^ Stenström, V.3.4
  12. ^ а б Герцог, И. (1997). «Жергілікті когерентті гротендик категориясының Ziegler спектрі». Лондон математикалық қоғамының еңбектері. 74 (3): 503–558. дои:10.1112 / S002461159700018X.

Әдебиеттер тізімі

Сыртқы сілтемелер