Сүзілген санат - Filtered category

Жылы категория теориясы, сүзгіленген санаттар туралы түсініктерін жалпылау бағытталған жиынтық категория ретінде түсініледі (демек, бағытталған категория деп аталады; ал кейбіреулер бағытталған категорияны сүзгіленген категорияның синонимі ретінде қолданады). Деген екі ұғым бар фильтрленген төменде еске түсірілетін категория.

Сүзілген санаттар

A санат ${displaystyle J}$ болып табылады сүзілген қашан

• ол бос емес,
• әрбір екі объект үшін ${displaystyle j}$ және ${displaystyle j '}$ жылы ${displaystyle J}$ объект бар ${displaystyle k}$ және екі көрсеткі ${displaystyle f: j o k}$ және ${displaystyle f ': j' o k}$ жылы ${displaystyle J}$,
• әрбір екі параллель көрсеткі үшін ${displaystyle u, v: i o j}$ жылы ${displaystyle J}$, объект бар ${displaystyle k}$ және көрсеткі ${displaystyle w: j o k}$ осындай ${displaystyle wu = wv}$.

A сүзілген колимит Бұл колимит а функция ${displaystyle F: J o C}$ қайда ${displaystyle J}$ - сүзгіден өткен санат.

Біріктірілген санаттар

Санат ${displaystyle J}$ егер фильтрленген болса қарама-қарсы категория ${displaystyle J ^ {mathrm {op}}}$ сүзілген. Толығырақ, санат қашан фильтрленеді

• ол бос емес
• әрбір екі объект үшін ${displaystyle j}$ және ${displaystyle j '}$ жылы ${displaystyle J}$ объект бар ${displaystyle k}$ және екі көрсеткі ${displaystyle f: k o j}$ және ${displaystyle f ': k o j'}$ жылы ${displaystyle J}$,
• параллель екі көрсеткі үшін ${displaystyle u, v: j o i}$ жылы ${displaystyle J}$, объект бар ${displaystyle k}$ және көрсеткі ${displaystyle w: k o j}$ осындай ${displaystyle uw = vw}$.

A шектелген шегі Бұл шектеу а функция ${displaystyle F: J o C}$ қайда ${displaystyle J}$ бұл фильтрленген категория.

Инд-нысандар және нысандар

Шағын санат берілген ${displaystyle C}$, а алдын-ала жиынтықтар ${displaystyle C ^ {op} o Set}$ бұл ұсынылатын алдын ала қыздырылған кішкене колимит, деп аталады инд-объект санаттағы ${displaystyle C}$. Санаттың объектілері ${displaystyle C}$ толық ішкі санатты құрайды ${displaystyle Ind (C)}$ функционерлер санатында (алдын-ала шаштар) ${displaystyle C ^ {op} o Set}$. Санат ${displaystyle Pro (C) = Ind (C ^ {op}) ^ {op}}$ про-объектілерінің ${displaystyle C}$ инд-объектілер санатына қарама-қарсы категорияға қарама-қарсы болып табылады ${displaystyle C ^ {op}}$.

κ сүзгіленген санаттар

«Фильтрленген санаттың» «фильтрленген санат» деп аталатын келесідей анықталған нұсқасы бар. Бұл келесі бақылаудан басталады: жоғарыдағы сүзілген санатты анықтаудағы үш шарт сәйкесінше бар деп айтады кокон кез келген диаграммадан артық ${displaystyle J}$ форманың ${displaystyle {} ightarrow J}$, ${displaystyle {j j '} ightarrow J}$, немесе ${displaystyle {iightrightarrows j} ightarrow J}$. Диаграммалардың осы үш формасы үшін кокондардың болуы кокондар үшін бар екенін білдіреді кез келген ақырғы диаграмма; басқаша айтқанда, категория ${displaystyle J}$ сүзгіден өткізіледі (жоғарыда көрсетілген анықтама бойынша), егер кез-келгенінде кокон болса ғана ақырлы диаграмма ${displaystyle d: D o J}$.

Қарапайым кардинал given ескеріле отырып, мұны кеңейту ${displaystyle J}$ әрбір диаграммада кокон болса, κ-сүзгіден өткізілетіні анықталды ${displaystyle d}$ жылы ${displaystyle J}$ маңыздылығы card-ден кіші. (Кішкентай диаграмма егер оның доменінің морфизм жиынтығы түпнұсқалық болса card болып табылады.)

Κ-сүзілген (ко) шегі - а-ның (ко) шегі функция ${displaystyle F: J o C}$ қайда ${displaystyle J}$ бұл κ-сүзгіден өткен санат.

Әдебиеттер тізімі

• Артин, М., Гротендик, А. және Вердиер, Дж. Л. Séminaire de Géémetrie Algébrique du Bois Marie (SGA 4). Математикадағы дәрістер 269, Springer Verlag, 1972. Exposé I, 2.7.
• Мак-Лейн, Сондерс (1998), Жұмысшы математикке арналған санаттар (2-ші басылым), Берлин, Нью-Йорк: Шпрингер-Верлаг, ISBN  978-0-387-98403-2, IX.1 бөлім.