Эпиморфизм - Википедия - Epimorphism

Эпиморфизм сценарийлері

Жылы категория теориясы, an эпиморфизм (деп аталады эпикалық морфизм немесе, ауызекі тілде, ан epi) Бұл морфизм f : XY Бұл оң күшін жою барлық нысандар үшін деген мағынада З және барлық морфизмдер ж1, ж2: YЗ,

Эпиморфизм - категориясының аналогы немесе сурьективті функциялар (және жиынтықтар санаты тұжырымдама сурьективті функцияларға толық сәйкес келеді), бірақ ол барлық контексттерде дәл сәйкес келмеуі мүмкін; мысалы, қосу сақиналы эпиморфизм болып табылады. The қосарланған Эпиморфизмнің а мономорфизм (яғни а. эпиморфизм) санат C мономорфизм болып табылады қос категория Cоп).

Көптеген авторлар абстрактілі алгебра және әмбебап алгебра анықтаңыз эпиморфизм жай үстінде немесе сурьективті гомоморфизм. Осы алгебралық мағынадағы кез-келген эпиморфизм категория теориясы тұрғысынан эпиморфизм болып табылады, бірақ керісінше барлық категорияларда дұрыс емес. Бұл мақалада «эпиморфизм» термині жоғарыда келтірілген категория теориясының мағынасында қолданылатын болады. Бұл туралы көбірек білу үшін қараңыз § Терминология төменде.

Мысалдар

А. Кез-келген морфизм бетон категориясы оның негізінде жатыр функциясы болып табылады сурьективті эпиморфизм болып табылады. Көптеген нақты қызығушылық категориялары бойынша әңгіме де дұрыс. Мысалы, келесі санаттарда эпиморфизмдер - бұл негізгі жиынтықтарда сюръективті болатын морфизмдер.

Сонымен қатар, эпиморфизмдер сурьективті бола алмайтын қызығушылықтың көптеген нақты категориялары бар. Бірнеше мысал:

  • Ішінде моноидтар категориясы, Дс, қосу картасы NЗ сурьективті емес эпиморфизм болып табылады. Мұны көру үшін, солай делік ж1 және ж2 - екі бөлек карта З кейбір моноидты М. Содан кейін кейбіреулер үшін n жылы З, ж1(n) ≠ ж2(n), сондықтан ж1() ≠ ж2(−n). Не n немесе -n ішінде N, сондықтан шектеулер ж1 және ж2 дейін N тең емес.
  • Коммутативті сақина үстіндегі алгебралар санатында R, алыңыз R[N] → R[З], қайда R[G] болып табылады топтық сақина топтың G және морфизм қосу арқылы туындайды NЗ алдыңғы мысалдағыдай. Бұл бақылаудан туындайды 1 алгебра түзеді R[З] (құрылғы in екенін ескеріңіз R[З] арқылы беріледі 0 туралы З), және элементтің кері мәні n жылы З тек ұсынылған элемент болып табылады -n. Осылайша кез келген гомоморфизм R[З] ұсынылған элементтегі мәнімен ерекше анықталады 1 туралы З.
  • Ішінде сақиналар санаты, Сақина, қосу картасы ЗQ бұл сурьективті емес эпиморфизм болып табылады; мұны көру үшін кез келген екенін ескеріңіз сақиналы гомоморфизм қосулы Q толығымен оның әрекетімен анықталады З, алдыңғы мысалға ұқсас. Осыған ұқсас аргумент табиғи сақинаның гомоморфизмнің кез-келгенінен болатындығын көрсетеді ауыстырғыш сақина R оның кез-келгеніне оқшаулау эпиморфизм болып табылады.
  • Ішінде ауыстырғыш сақиналардың санаты, а түпкілікті құрылды сақиналардың гомоморфизмі f : RS барлығына арналған болса ғана эпиморфизм болып табылады басты идеалдар P туралы R, идеал Q жасаған f(P) немесе S немесе жай, егер болса Q емес S, келтірілген карта Фрак (R/P) → Фрак (S/Q) болып табылады изоморфизм (EGA IV 17.2.6).
  • Хаусдорф кеңістігі санатында, Хаус, эпиморфизмдер - бұл үздіксіз функциялар тығыз кескіндер. Мысалы, қосу картасы QR, сурьективті емес эпиморфизм болып табылады.

Жоғарыда айтылғандардың мономорфизмдерден ерекшелігі, мұнда көбінесе мономорфизмдер негізгі функциялары инъекциялық.

Бетонды емес категориялардағы эпиморфизм мысалдарына келетін болсақ:

  • Егер а моноидты немесе сақина бір объектісі бар санат ретінде қарастырылады (көбейту жолымен берілген морфизмдердің құрамы), содан кейін эпиморфизмдер дәл жойылатын элементтер болып табылады.
  • Егер а бағытталған граф санат ретінде қарастырылады (объектілер - бұл шыңдар, морфизмдер - жолдар, морфизмдердің құрамы - жолдардың тізбегі) әрқайсысы морфизм - бұл эпиморфизм.

Қасиеттері

Әрқайсысы изоморфизм бұл эпиморфизм; шынымен тек оң жақты кері қажет: егер морфизм болса j : YX осындай fj = идентификаторY, содан кейін f: XY эпиморфизм деп оңай көрінеді. Осындай оң жағына қарама-қарсы карта а деп аталады бөлінген эпия. Ішінде топос, екеуі де болатын карта моникалық морфизм ал эпиморфизм - изоморфизм.

Екі эпиморфизмнің құрамы қайтадан эпиморфизм болып табылады. Егер композиция fg екі морфизмнің эпиморфизм болып табылады f эпиморфизм болуы керек.

Жоғарыда келтірілген мысалдардың кейбіреулері көрсеткендей, эпиморфизм болу қасиетін тек морфизм анықтамайды, сонымен қатар контекст категориясымен анықталады. Егер Д. Бұл ішкі санат туралы C, содан кейін әрбір морфизм Д. бұл морфизм ретінде қарастырылған кезде эпиморфизм C сонымен қатар эпиморфизм болып табылады Д.. Алайда керісінше қажет емес; кіші санатта көп эпиморфизм болуы мүмкін (және көбінесе).

Санат теориясындағы көптеген түсініктерге келетін болсақ, эпиморфизмдер сақталған категориялардың баламалары: эквиваленттік берілген F : CД., морфизм f санаттағы эпиморфизм болып табылады C егер және егер болса F(f) - бұл эпиморфизм Д.. A екі жақтылық екі категория арасында эпиморфизмдерді мономорфизмге айналдырады, және керісінше.

Эпиморфизмнің анықтамасын қайта тұжырымдау мүмкін f : XY эпиморфизм, егер индукцияланған карталар болса ғана

болып табылады инъекциялық кез келген таңдау үшін З. Бұл өз кезегінде индукцияланғанға тең табиғи трансформация

мономорфизм болып табылады функциялар санаты ОрнатыңызC.

Әрқайсысы эквалайзер бұл экиморфизм, коэквалайзерлерді анықтаудағы бірегейліктің талабы. Демек, әрқайсысы кокернель эпиморфизм болып табылады. Керісінше, яғни әрбір эпиморфизм экввализатор бола алады, бұл барлық категорияларда дұрыс емес.

Көптеген санаттарда әр морфизмді эпиморфизмнің құрамы, одан кейін мономорфизм ретінде жазуға болады. Мысалы, топтық гомоморфизм берілген f : GH, біз топты анықтай аламыз Қ = im (f) содан кейін жазыңыз f сурьективті гомоморфизмнің құрамы ретінде GҚ сияқты анықталады f, содан кейін инъекциялық гомоморфизм ҚH әрбір элементті өзіне жібереді. Мұндай ерікті морфизмнің эпиморфизмге ұласуы, содан кейін мономорфизм барлық абелиялық категорияларда және жоғарыда аталған барлық нақты категорияларда жүзеге асырылуы мүмкін. § мысалдар (барлық нақты категорияларда болмаса да).

Байланысты ұғымдар

Басқа пайдалы ұғымдар қатарына жатады тұрақты эпиморфизм, экстремалды эпиморфизм, жедел эпиморфизм, күшті эпиморфизм, және бөлінген эпиморфизм.

  • Эпиморфизм дейді тұрақты егер бұл а эквалайзер параллель морфизмдердің жұптарының.
  • Эпиморфизм деп айтылады экстремалды[1] егер әр ұсыныста болса , қайда Бұл мономорфизм, морфизм автоматты түрде изоморфизм.
  • Эпиморфизм деп айтылады дереу егер әр ұсыныста болса , қайда Бұл мономорфизм және бұл эпиморфизм, морфизм автоматты түрде изоморфизм.
  • Диаграмма-ортогоналдылық-2.jpg
    Эпиморфизм деп айтылады күшті[1][2] егер бар болса мономорфизм және кез-келген морфизм және осындай , морфизм бар осындай және .
  • Эпиморфизм деп айтылады Сызат егер морфизм болса осындай (Бұл жағдайда үшін оң жақ кері деп аталады ).

Деген ұғым да бар гомологиялық эпиморфизм сақина теориясында. Морфизм f: AB сақиналар гомологиялық эпиморфизм болып табылады, егер ол эпиморфизм болса және ол а тудырады толық және сенімді функция қосулы алынған категориялар: D (f): D (B) → D (A).

Мономорфизм де, эпиморфизм де болатын морфизм а деп аталады биморфизм. Кез-келген изоморфизм - бұл биморфизм, бірақ керісінше жалпы алғанда дұрыс емес. Мысалы, жартылай ашық аралық [0,1) дейін бірлік шеңбер S1 (а деп ойладым ішкі кеңістік туралы күрделі жазықтық ) жібереді х exp (2πi.)х) (қараңыз Эйлер формуласы ) үздіксіз және биективті, бірақ а емес гомеоморфизм кері карта 1-де үзіліссіз болғандықтан, бұл санаттағы изоморфизм болып табылмайтын биморфизм данасы Жоғары. Тағы бір мысал - ендіру Q → R санатта Хаус; жоғарыда айтылғандай, бұл биморфизм, бірақ ол биективті емес, сондықтан изоморфизм емес. Сол сияқты, санатында сақиналар, карта З → Q биморфизм, бірақ изоморфизм емес.

Эпиморфизмдер абстракцияны анықтау үшін қолданылады объектілер жалпы категорияларда: екі эпиморфизм f1 : XY1 және f2 : XY2 деп айтылады балама егер изоморфизм болса j : Y1Y2 бірге j f1 = f2. Бұл эквиваленттік қатынас, және эквиваленттік кластар квоталық объектілер ретінде анықталған X.

Терминология

Серіктестің шарттары эпиморфизм және мономорфизм алғаш енгізілген Бурбаки. Бурбаки пайдаланады эпиморфизм а стенография ретінде сурьективті функция. Ертедегі санаттағы теоретиктер эпиморфизмдер ерікті категориядағы секрециялардың дұрыс аналогы, мономорфизмдердің инъекциялардың дәл аналогы болатынына ұқсас деп санады. Өкінішке орай, бұл дұрыс емес; күшті немесе тұрақты эпиморфизмдер кәдімгі эпиморфизмге қарағанда сурьграфияға әлдеқайда жақын әрекет етеді. Сондерс Мак-Лейн арасындағы айырмашылықты жасауға тырысты эпиморфизмдер, олар нақты санаттағы карталар болды, оның негізінде карталар сурьютивті болды және эпикалық морфизмдер, олар қазіргі мағынада эпиморфизм болып табылады. Алайда, бұл ерекшелік ешқашан қолға алынбаған.

Эпиморфизмдер сурьектілермен бірдей немесе олар жақсы ұғым деп сену әдеттегі қателік. Өкінішке орай, бұл сирек кездеседі; эпиморфизмдер өте жұмбақ және күтпеген мінез-құлыққа ие болуы мүмкін. Мысалы, сақиналардың барлық эпиморфизмдерін жіктеу өте қиын. Тұтастай алғанда, эпиморфизм - бұл сурьектілерге қатысты, бірақ түбегейлі ерекшеленетін өзіндік ерекше түсінік.

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

  • Адамек, Джизи; Геррлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (1990). Реферат және бетон категориялары (PDF). Джон Вили және ұлдары. ISBN  0-471-60922-6.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
  • Бергман, Джордж (2015). Жалпы алгебра мен әмбебап құрылыстарға шақыру. Спрингер. ISBN  978-3-319-11478-1.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
  • Борсо, Фрэнсис (1994). Категориялық алгебра туралы анықтама. 1 том: Негізгі категория теориясы. Кембридж университетінің баспасы. ISBN  978-0521061193.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
  • Цаленко, М.С .; Shulgeifer, E.G. (1974). Санаттар теориясының негіздері. Наука. ISBN  5-02-014427-4.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
  • «Эпиморфизм», Математика энциклопедиясы, EMS Press, 2001 [1994]
  • Ловере, Ф. Уильям; Розбруг, Роберт (2015). Математикаға арналған жиынтықтар. Кембридж университетінің баспасөз қызметі. ISBN  0-521-80444-2.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
  • Линдергольм, Карл (1970). «Топтық эпиморфизм - бұл сурьективті». Американдық математикалық айлық. 77: 176–177. дои:10.1080/00029890.1970.11992448.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)

Сыртқы сілтемелер