Эквихордалдық мәселе - Википедия - Equichordal point problem

Жылы Евклидтік жазықтық геометриясы, эквихордалдық нүкте есебі деген сұрақ а жабық жазықтық дөңес дене екі болуы мүмкін экикордалдық нүктелер.^[1] Мәселе бастапқыда 1916 жылы Фудзивара және 1917 жылы туындаған Вильгельм Блашке, Герман Роте, және Ролан Вайценбок.^[2] Бұл мәселені жалпылауға 1997 жылы Марек Р.Рычлик теріс жауап берді.^[3]

Проблеманы шешу

Эквихордалды қисық дегеніміз - жазықтықтағы нүкте барлығында болатын тұйық жазықтық қисық аккордтар осы нүктеден өту ұзындығы бойынша тең.^[4] Мұндай нүкте an деп аталады экикордалды нүкте. Экикордаль қисықтарын жалғыз экикордалды нүктемен тұрғызу оңай,^[4] әсіресе қисықтар болған кезде симметриялы;^[5] ең қарапайым құрылыс шеңбер.

Екі экикордалды нүктесі бар дөңес экикордалды қисық болмайды деп көптен бері болжаған. Жалпы, а бар ма деген сұрақ қойылды Иордания қисығы ${ displaystyle C}$ екеуімен экикордалдық нүктелер ${ displaystyle O_ {1}}$ және ${ displaystyle O_ {2}}$, қисық сияқты ${ displaystyle C}$ болар еді жұлдыз тәрізді екі нүктенің әрқайсысына қатысты.^[1][3]

Экцентриситет (немесе эксцентриситет)

Экихордал қисықтарындағы көптеген нәтижелер олардың экцентрисенттілігіне сілтеме жасайды. Экцентриситтілік неғұрлым аз болса, екі экихордалды нүктесі бар қисықтардың болуын жоққа шығару соғұрлым қиын болады. Кішкентай экцентриситет қисықтың шеңберге жақын болуын білдіретінін қатаң түрде көрсетуге болады.^[6]

Келіңіздер ${ displaystyle C}$ гипотетикалық болыңыз дөңес қисық екеуімен экикордалдық нүктелер ${ displaystyle O_ {1}}$ және ${ displaystyle O_ {2}}$. Келіңіздер ${ displaystyle L}$ қисықтың барлық аккордтарының ортақ ұзындығы ${ displaystyle C}$ арқылы өту ${ displaystyle O_ {1}}$ немесе ${ displaystyle O_ {2}}$. Сонда экцентриситет - бұл қатынас

${ displaystyle a = { frac { | O_ {1} -O_ {2} |} {L}}}$

қайда ${ displaystyle | O_ {1} -O_ {2} |}$ - нүктелер арасындағы қашықтық ${ displaystyle O_ {1}}$ және ${ displaystyle O_ {2}}$.

Мәселенің тарихы

Мәселе жан-жақты зерттелді, оның шешілуіне дейін сексен онжылдықта жарияланған маңызды мақалалар:

1. 1916 жылы Фудзивара^[7] үш экикордалды нүктесі бар дөңес қисықтар жоқ екенін дәлелдеді.
2. 1917 жылы Блашке, Роте және Вайценбок^[2] мәселені қайтадан тұжырымдады.
3. 1923 жылы Süss қисықтың белгілі бір симметриялары мен бірегейлігін көрсетті, егер ол бар болса.
4. 1953 жылы Г.А.Дирак қисық сызықта, егер ол бар болса, оны көрсетті.
5. 1958 жылы Вирсинг^[8] қисық, егер ол бар болса, болуы керек екенін көрсетті аналитикалық қисық. Бұл терең мақалада ол мәселені дұрыс анықтады барлық тәртіптен тыс мазасыздық проблемасы.
6. 1966 жылы Эрхарт^[9] экцентриситтері> 0,5 болатын экикордаль қисықтары жоқ екенін дәлелдеді.
7. 1988 жылы Мичелаччи экцентрисенттілігі> 0,33 болатын экикордальды қисықтар жоқ екенін дәлелдеді. Дәлел компьютердің көмегімен жеңілдетілген.
8. 1992 жылы Шафке мен Фолькмер^[6] қисық болуы мүмкін экцентриситет мәндерінің ең көп саны бар екенін көрсетті. Олар компьютер көмегімен дәлелдеуге болатын стратегияны атап өтті. Олардың әдісі гипотетикалық қисыққа өте дәл жуықтаулардан тұрады.
9. 1996 жылы Рычлик^[3] мәселені толығымен шешті.

Рычликтің дәлелі

Марек Рычликтің дәлелі қиын оқылатын мақалада жарияланды.^[3]Онлайн режимінде оқуға жеңіл, қол жетімді, ғылыми хабарлама мақаласы бар,^[10] бірақ бұл тек дәлелдеуде қолданылатын идеяларды меңзейді.

Дәлел компьютерді қолданбайды. Оның орнына а кешендеу теориясының жалпылауын дамытады әдетте гиперболалық инвариантты қисықтар және тұрақты коллекторлар көп мәнді карталарға ${ displaystyle F: mathbb {C} ^ {2} to mathbb {C} ^ {2}}$. Бұл әдіс жаһандық әдістерді қолдануға мүмкіндік береді кешенді талдау. Прототиптік жаһандық теорема болып табылады Лиувилл теоремасы. Тағы бір жаһандық теорема Чоу теоремасы. Дәлелдеуде ғаламдық әдіс қолданылды Ушики теоремасы.^[11]

Сондай-ақ қараңыз

Ұқсас проблемалар және олардың жалпыламалары да зерттелген.

1. The нүктелік есеп
2. Генерал аккорд проблемасы Гарднер
3. Жабдықтың нүктелік проблемасы

Әдебиеттер тізімі