Эллиптикалық цилиндрлік координаттар - Википедия - Elliptic cylindrical coordinates

Координаталық беттер цилиндрлік эллиптикалық координаталар. Сары парақ - ν = -45 ° сәйкес жарты гиперболаның призмасы, ал қызыл түтік μ = 1 сәйкес эллиптикалық призма. Көк парақ сәйкес келеді з= 1. Үш бет нүктеде қиылысады P (қара шар түрінде көрсетілген) бірге Декарттық координаттар шамамен (2.182, -1.661, 1.0). Эллипс пен гиперболаның ошақтары орналасқан х = ±2.0.

Эллиптикалық цилиндрлік координаттар үш өлшемді болып табылады ортогоналды координаттар жүйесі бұл екі өлшемді проекциялау нәтижесінде пайда болады эллиптикалық координаттар жүйесі перпендикуляр - бағыт. Демек, координаталық беттер болып табылады призмалар конфокалды эллипс және гиперболалар. Екі ошақтар және әдетте белгіленуі керек жәнесәйкесінше -аксис Декарттық координаттар жүйесі.

Негізгі анықтама

Эллиптикалық цилиндрлік координаталардың кең таралған анықтамасы болып табылады

қайда теріс емес нақты сан болып табылады және .

Бұл анықтамалар эллипс пен гиперболаға сәйкес келеді. Тригонометриялық сәйкестілік

тұрақты қисықтар екенін көрсетеді форма эллипс, ал гиперболалық тригонометриялық сәйкестілік

тұрақты қисықтар екенін көрсетеді форма гиперболалар.

Масштаб факторлары

Эллиптикалық цилиндрлік координаталардың масштабты факторлары және тең

ал қалған масштабты фактор . Демек, көлемнің шексіз элементі тең болады

және лаплаций тең

Сияқты басқа дифференциалдық операторлар және координаталар арқылы көрсетілуі мүмкін масштабты факторларды табылған жалпы формулаларға ауыстыру арқылы ортогоналды координаталар.

Альтернативті анықтама

Эллиптикалық координаталардың балама және геометриялық интуитивті жиыны кейде қолданылады, қайда және . Демек, тұрақты қисықтар эллипс болып табылады, ал тұрақты қисықтар гиперболалар. Координат [-1, 1] аралығында болуы керек, ал координатасы біреуінен үлкен немесе тең болуы керек.

Координаттар фокусқа дейінгі арақашықтыққа қарапайым қатынасы болуы керек және . (Х, у) жазықтығының кез-келген нүктесі үшін сома оның фокусқа дейінгі арақашықтықтары тең , ал олардың айырмашылық тең .Осылайша, дейінгі қашықтық болып табылады , ал қашықтық болып табылады . (Естеріңізге сала кетейік және орналасқан және сәйкесінше.)

Бұл координаттардың кемшілігі олардың 1-ден 1-ге түрленуінің болмауында Декарттық координаттар

Баламалы факторлар

Балама эллиптикалық координаталардың масштабты факторлары болып табылады

және, әрине, . Демек, шексіз көлемдік элемент айналады

және лаплаций тең

Сияқты басқа дифференциалдық операторлар және координаталар арқылы көрсетілуі мүмкін масштабты факторларды табылған жалпы формулаларға ауыстыру арқылы ортогоналды координаталар.

Қолданбалар

Эллиптикалық цилиндрлік координаталардың классикалық қосымшалары шешуде дербес дифференциалдық теңдеулер мысалы, Лаплас теңдеуі немесе Гельмгольц теңдеуі, ол үшін эллиптикалық цилиндрлік координаттар а мүмкіндік береді айнымалыларды бөлу. Типтік мысал болады электр өрісі ені жалпақ өткізгіш тақтаны қоршап .

Үшөлшемді толқындық теңдеу, эллиптикалық цилиндрлік координаталармен өрнектелгенде, айнымалыларды бөлу арқылы шешілуі мүмкін Матье дифференциалдық теңдеулер.

Эллиптикалық координаталардың геометриялық қасиеттері де пайдалы болуы мүмкін. Әдеттегі мысал векторлардың барлық жұптарын біріктіруді қамтуы мүмкін және бұл қосынды бекітілген векторға , мұндағы интеграл вектор ұзындықтарының функциясы болды және . (Мұндай жағдайда біреудің позициясы болуы керек екі фокустың арасында және -аксис, яғни .) Нақтылық үшін, , және ұсынуы мүмкін момент бөлшектердің және оның ыдырау өнімдерінің сәйкесінше, ал интегралда өнімнің кинетикалық энергиялары болуы мүмкін (олар импульстің квадрат ұзындығына пропорционалды).

Библиография

  • Морзе премьер-министрі, Фешбах Х (1953). Теориялық физика әдістері, І бөлім. Нью-Йорк: МакГрав-Хилл. б. 657. ISBN  0-07-043316-X. LCCN  52011515.
  • Маргенау Х, Мерфи Г.М. (1956). Физика және химия математикасы. Нью-Йорк: Д. ван Ностран. бет.182 –183. LCCN  55010911.
  • Korn GA, Korn TM (1961). Ғалымдар мен инженерлерге арналған математикалық анықтамалық. Нью-Йорк: МакГрав-Хилл. б. 179. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
  • Зауэр R, Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. Нью-Йорк: Springer Verlag. б. 97. LCCN  67025285.
  • Zwillinger D (1992). Интеграция туралы анықтамалық. Бостон, MA: Джонс және Бартлетт. б. 114. ISBN  0-86720-293-9. Morse & Feshbach (1953) сияқты, ауыстыру сенк for үшінк.
  • Мун П, Спенсер DE (1988). «Эллиптикалық-цилиндрлік координаттар (η, ψ, z)». Координаталық жүйелерді, дифференциалдық теңдеулерді және олардың шешімдерін қосқандағы өріс теориясының анықтамалығы (түзетілген 2-ші басылым, 3-ші басылым). Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. 17–20 беттер (кесте 1.03). ISBN  978-0-387-18430-2.

Сыртқы сілтемелер