Гельмгольц теңдеуі - Википедия - Helmholtz equation

Математикалық функциямен берілген жазықтықтағы сәулеленудің екі көзі ƒ, бұл көк аймақта нөлге тең
The нақты бөлігі алынған өрістің A, A біртекті емес Гельмгольц теңдеуінің шешімі болып табылады (∇2к2) A = −f.

Математикада өзіндік құндылық үшін проблема Лаплас операторы ретінде белгілі Гельмгольц теңдеу. Бұл сызықтыққа сәйкес келеді дербес дифференциалдық теңдеу:

қайда 2 Laplace операторы (немесе «Laplacian»), к2 меншікті мән, және f бұл (өзіндік) функция. Теңдеу толқындарға қолданылғанда, к ретінде белгілі толқын нөмірі. Гельмгольц теңдеуі физикада әртүрлі қолданыстарға ие, соның ішінде толқындық теңдеу және диффузиялық теңдеу және оның басқа ғылымдарда қолданылуы бар.

Ынталандыру және қолдану

Гельмгольц теңдеуі көбінесе физикалық мәселелерді зерттеу кезінде туындайды дербес дифференциалдық теңдеулер (PDE) кеңістікте де, уақыт бойынша да. А-ны білдіретін Гельмгольц теңдеуі уақытқа тәуелді емес нысаны толқындық теңдеу, техникасын қолдану нәтижесінде пайда болады айнымалыларды бөлу талдаудың күрделілігін төмендету.

Мысалы, толқындық теңдеу

Айнымалыларды бөлу функциясы толқын функциясын жүзеге асырудан басталады сен(р, т) шын мәнінде бөлінетін:

Бұл форманы толқындық теңдеуге ауыстырып, содан кейін жеңілдетіп, келесі теңдеуді аламыз:

Назар аударыңыз, сол жақтағы өрнек тек тәуелді р, ал дұрыс өрнек тек тәуелді т. Нәтижесінде, бұл теңдеу жалпы жағдайда, егер теңдеудің екі жағы да тұрақты мәнге тең болса ғана жарамды болады. Бұл аргумент айнымалыларды бөлу арқылы сызықтық дербес дифференциалдық теңдеулерді шешу техникасында маңызды болып табылады. Осы бақылаудан біз екі теңдеу аламыз, бірі үшін A(р), екіншісі үшін Т(т):

қай жерде біз жалпылықты жоғалтпай, өрнекті таңдадық к2 тұрақты мәні үшін. (Кез-келген тұрақты мәнді қолдану бірдей жарамды к бөлу тұрақтысы ретінде; к2 алынған шешімдерге ыңғайлы болу үшін ғана таңдалады.)

Бірінші теңдеуді қайта құра отырып, біз Гельмгольц теңдеуін аламыз:

Сол сияқты, ауыстыруды жасағаннан кейін ω = kc, қайда к болып табылады толқын нөмірі, және ω болып табылады бұрыштық жиілік, екінші теңдеу болады

Енді бізде кеңістіктік айнымалының Гельмгольц теңдеуі бар р және екінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеу уақытында. Уақыт бойынша шешім а болады сызықтық комбинация туралы синус және косинус функциялары, олардың нақты формасы бастапқы шарттармен анықталады, ал кеңістіктегі шешімнің түрі тәуелді болады шекаралық шарттар. Сонымен қатар, интегралды түрлендірулер сияқты Лаплас немесе Фурье түрлендіруі, а-ны түрлендіру үшін жиі қолданылады гиперболалық PDE Гельмгольц теңдеуінің формасына айналады.

Толқындық теңдеуге байланысты болғандықтан, Гельмгольц теңдеуі осындай аудандардағы мәселелерде туындайды физика ретінде зерттеу электромагниттік сәулелену, сейсмология, және акустика.

Айнымалыларды бөлуді қолдану арқылы Гельмгольц теңдеуін шешу

Кеңістіктік Гельмгольц теңдеуінің шешімі:

пайдалану арқылы қарапайым геометрия үшін алуға болады айнымалыларды бөлу.

Діріл мембранасы

Тербелетін жіптің екі өлшемді аналогы - дірілдейтін мембрана, оның шеттері қимылсыз қысылған. Гельмгольц теңдеуі 19 ғасырда көптеген негізгі фигуралар үшін шешілді: тікбұрышты мембрана Симеон Денис Пуассон 1829 жылы тең бүйірлі үшбұрыш Габриэль Ламе 1852 ж., ал дөңгелек қабықша Альфред Клебш 1862 ж. Эллиптикалық барабан басын зерттеді Эмиль Матье, жетекші Матьенің дифференциалдық теңдеуі.

Егер фигураның шеттері түзу кесінділер болса, онда шешім шекара шарттарын қанағаттандыратын жазықтық толқындарының ақырлы сызықты тіркесімі ретінде көрінетін жағдайда ғана интегралданатын немесе тұйықталған түрде білінетін болады (шекарадағы нөл, яғни мембрана қысылған) ).

Егер домен радиустың шеңбері болса а, содан кейін полярлық координаттарды енгізу орынды р және θ. Гельмгольц теңдеуі форманы алады

Біз шекара шарттарын қоюымыз мүмкін A егер жоғалып кетсе р = а; осылайша

Айнымалыларды бөлу әдісі форманың сынақ шешімдеріне әкеледі

қайда Θ кезеңнің кезеңділігі болуы керек2π. Бұл әкеледі

Бұл мерзімділік шарттан шығады

және сол n бүтін сан болуы керек. Радиалды компонент R формасы бар

қайда Бессель функциясы Джn(ρ) Бессель теңдеуін қанағаттандырады

және ρ = кр. Радиалды функция Джn әрбір мәні үшін шексіз көп түбірге ие n, деп белгіленеді ρм,n. Шектік шарт A қайда жоғалады р = а сәйкес келетін венументтер берілсе, қанағаттанатын болады

Жалпы шешім A содан кейін а формасын алады жалпыланған Фурье сериясы өнімдеріне қатысты терминдер Джn(км, пр) және синустары (немесе косинусы) . Бұл шешімдер режимдері болып табылады дөңгелек барабанның дірілі.

Үшөлшемді шешімдер

Сфералық координаттарда шешім:

Бұл шешім кеңістіктік шешімінен туындайды толқындық теңдеу және диффузиялық теңдеу. Мұнда j(кр) және ж(кр) болып табылады сфералық Bessel функциялары, және Yм
(θ, φ)
болып табылады сфералық гармоника (Абрамовиц және Стегун, 1964). Бұл формалар жалпы шешімдер болып табылатынын және қажет болатындығын ескеріңіз шекаралық шарттар кез келген нақты жағдайда қолдану үшін көрсетілуі керек. Шексіз сыртқы домендер үшін а радиациялық жағдай қажет болуы мүмкін (Соммерфельд, 1949).

Жазу р0 = (х, ж, з) функциясы A(р0) асимптотикасы бар

функция қайда f шашырау амплитудасы және деп аталады сен0(р0) мәні болып табылады A әр шекара нүктесінде р0.

Параксиалды жуықтау

Ішінде параксиалды жуықтау Гельмгольц теңдеуінің,[1] The күрделі амплитуда A ретінде өрнектеледі

қайда сен экспоненциалды коэффициентпен ұсынылған синусоидалы жазықтық толқынының модуляциялайтын кешенді-амплитудасын білдіреді. Содан кейін қолайлы болжам бойынша, сен шамамен шешеді

қайда 2
2/х2 + 2/ж2
көлденең бөлігі болып табылады Лаплациан.

Бұл теңдеудің ғылымда маңызды қолданыстары бар оптика, мұнда таралуын сипаттайтын шешімдер беріледі электромагниттік толқындар (жеңіл) екеуінің түрінде параболоидты толқындар немесе Гаусс сәулелері. Көпшілігі лазерлер осы форманы алатын сәулелер шығарады.

Параксиалды жуықтау дұрыс болатын жорамал мынада з амплитуда функциясының туындысы сен болып баяу өзгеретін функция болып табылады з:

Бұл шарт бұрыш деп айтуға тең θ арасында толқындық вектор к және оптикалық ось з кішкентай: θ ≪ 1.

Гельмгольц теңдеуінің параксиалды формасы жоғарыда келтірілген күрделі амплитудасының өрнегін Гельмгольц теңдеуінің жалпы түріне келесі жолмен ауыстыру арқылы табылады:

Кеңейту және жою келесі нәтижелерді береді:

Жоғарыда көрсетілген параксиалды теңсіздікке байланысты 2сен/∂з2 терминімен салыстырғанда мән берілмейді к·∂сен/∂з мерзім. Бұл параксиалды Гельмгольц теңдеуін береді. Ауыстыру сен(р) = A(р) eikz содан кейін бастапқы күрделі амплитудасының параксиалды теңдеуін береді A:

The Френель дифракциясының интегралы параксиалды Гельмгольц теңдеуінің дәл шешімі болып табылады.[2]

Тіпті Гельмгольцтің құрметіне аталған теңдеуге негізделген «Гельмгольц оптика» деген тақырып бар.[3][4][5]

Біртекті емес Гельмгольц теңдеуі

The біртекті емес Гельмгольц теңдеуі теңдеу болып табылады

қайда ƒ : RnC функциясы болып табылады ықшам қолдау, және n = 1, 2, 3. Бұл теңдеу теңдеуіне өте ұқсас экрандалған Пуассон теңдеуі, егер қосу белгісі болса (алдында) к термин) минус белгісіне ауыстырылады.

Бұл теңдеуді бірегей шешу үшін а-ны көрсету керек шекаралық шарт шексіздікте, бұл әдетте Соммерфельдтің радиациялық жағдайы

біркелкі бірге , мұндағы тік жолақтар Евклидтік норма.

Осы шартпен біртекті емес Гельмгольц теңдеуінің шешімі болып табылады конволюция

(бұл интегралдың нақты аймақтың үстінде екенін ескеріңіз, өйткені f ықшам тірегі бар). Мұнда, G болып табылады Жасыл функция осы теңдеудің, яғни біртекті емес Гельмгольц теңдеуінің шешімі ƒ теңестіру Dirac delta функциясы, сондықтан G қанағаттандырады

Жасыл функцияның өрнегі өлшемге байланысты n кеңістіктің Біреуі бар

үшін n = 1,

үшін n = 2,[6] қайда H(1)
0
Бұл Hankel функциясы, және

үшін n = 3. Біз Green функциясы шығыс толқын болатын шекаралық шартты таңдағанымызды ескеріңіз |х| → ∞.

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ Дж. В.Гудман. Фурье оптикаға кіріспе (2-ші басылым). 61-62 бет.
  2. ^ Grella, R. (1982). «Френельдің таралуы және дифракциясы және параксиалды толқын теңдеуі». Оптика журналы. 13 (6): 367–374. дои:10.1088 / 0150-536X / 13/6/006.
  3. ^ Курт Бернардо Қасқыр және Евгений В. Курмышев, Гельмгольц оптикасындағы қысылған күйлер, Физикалық шолу A 47, 3365–3370 (1993).
  4. ^ Самеен Ахмед Хан,Гельмгольц Оптика толқын ұзындығына тәуелді модификация, Халықаралық теориялық физика журналы, 44 (1), 95 http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/can-one-hear-the-shape-of-a-drum125 (қаңтар 2005).
  5. ^ Самеен Ахмед Хан, Герман фон Гельмгольцтің профилі, Оптика және фотоника жаңалықтары, Т. 21, No7, 7-бет (шілде / тамыз 2010).
  6. ^ ftp://ftp.math.ucla.edu/pub/camreport/cam14-71.pdf

Әдебиеттер тізімі

  • Райли, К.Ф .; Хобсон, М. П .; Bence, S. J. (2002). «19 тарау». Физика мен техниканың математикалық әдістері. Нью-Йорк: Кембридж университетінің баспасы. ISBN  978-0-521-89067-0.
  • Райли, К.Ф. (2002). «16-тарау». Ғалымдар мен инженерлерге арналған математикалық әдістер. Саусалито, Калифорния: Университеттің ғылыми кітаптары. ISBN  978-1-891389-24-5.
  • Салех, Бахаа Е. А .; Тейх, Мальвин Карл (1991). «3-тарау». Фотоника негіздері. Wiley сериясы таза және қолданбалы оптика. Нью-Йорк: Джон Вили және ұлдары. 80-107 бет. ISBN  978-0-471-83965-1.
  • Соммерфельд, Арнольд (1949). «16-тарау». Физикадағы ішінара дифференциалдық теңдеулер. Нью-Йорк: Academic Press. ISBN  978-0126546569.
  • Хоу, M. S. (1998). Сұйық-құрылымның өзара әрекеттесуінің акустикасы. Нью-Йорк: Кембридж университетінің баспасы. ISBN  978-0-521-63320-8.

Сыртқы сілтемелер