Цилиндрлік координаттар жүйесі - Cylindrical coordinate system

Шығарылған цилиндрлік координаттар жүйесі O, полярлық ось Aжәне бойлық ось L. Нүкте - радиалды қашықтықтағы нүкте ρ = 4, бұрыштық координат φ = 130°және биіктігі з = 4.

A цилиндрлік координаттар жүйесі үш өлшемді болып табылады координаттар жүйесі нүктелік позицияларды таңдалған анықтамалық осьтен қашықтыққа, осьтен таңдалған сілтеме бағытқа қатысты бағытқа және оське перпендикуляр таңдалған анықтамалық жазықтықтан қашықтыққа анықтайды. Соңғы қашықтық эталон жазықтығының қай жағына нүктеге қарағанына байланысты оң немесе теріс сан түрінде беріледі.

The шығу тегі жүйенің барлық үш координаттарын нөлге теңестіруге болатын нүкте. Бұл тірек жазықтық пен осьтің қиылысы, ось әртүрлі деп аталады цилиндрлік немесе бойлық оны осінен ажыратуға арналған полярлық ось, бұл сәуле Бастапқыдан бастап сілтеме бағытына қарай бағытталатын жазықтықта жатыр.Бойлық осіне перпендикуляр басқа бағыттар деп аталады радиалды сызықтар.

Осьтен қашықтық деп аталуы мүмкін радиалды қашықтық немесе радиусы, ал бұрыштық координатаны кейде деп атайды бұрыштық позиция немесе ретінде азимут. Радиус пен азимут бірге деп аталады полярлық координаттар, өйткені олар екі өлшемдіге сәйкес келеді полярлық координат нүкте арқылы жазықтықтағы жүйе, тірек жазықтыққа параллель. Үшінші координатаны деп атауға болады биіктігі немесе биіктік (егер тірек жазықтық көлденең деп саналса), бойлық орналасу,[1] немесе осьтік позиция.[2]

Цилиндрлік координаттар кейбір айналмалы болатын заттар мен құбылыстарға байланысты пайдалы симметрия бойлық ось туралы, мысалы көлденең қимасы бар түзу құбырдағы су ағыны, металда жылу таралуы цилиндр, электромагниттік өрістер өндірген электр тоғы ұзын, түзу сымда, жинақтау дискілері астрономияда және т.б.

Оларды кейде «цилиндрлік полярлық координаттар» деп атайды[3] және «полярлық цилиндрлік координаттар»,[4] және кейде жұлдыздардың галактикадағы орнын анықтау үшін қолданылады («галактосентрлік цилиндрлік полярлық координаталар»).[5]

Анықтама

Үш координат (ρ, φ, з) нүктенің P ретінде анықталады:

  • The осьтік арақашықтық немесе радиалды қашықтық ρ болып табылады Евклидтік қашықтық бастап з- нүктеге дейін P.
  • The азимут φ - бұл таңдалған жазықтықтағы сілтеме бағыты мен басынан проекциясына дейінгі түзу арасындағы бұрыш P ұшақта.
  • The осьтік координат немесе биіктігі з таңдалған жазықтықтан нүктеге дейінгі қол қойылған қашықтық P.

Бірегей цилиндрлік координаттар

Полярлық координаттардағыдай, цилиндрлік координаталармен бірдей нүкте (ρ, φ, з) шексіз көп эквивалентті координаттары бар, атап айтқанда (ρ, φ ± n×360°, з) және (−ρ, φ ± (2n + 1)×180°, з), қайда n кез келген бүтін сан. Сонымен қатар, егер радиус ρ нөлге тең, азимут ерікті.

Біреу әр нүкте үшін ерекше координаттар жиынтығын қалайтын жағдайларда, болуы мүмкін радиусты шектеуі мүмкін теріс емес (ρ ≥ 0) және азимут φ нақты нәрсеге жату аралық сияқты 360 ° созылады [−180°,+180°] немесе [0,360°].

Конвенциялар

Цилиндрлік координаталардың жазбасы біркелкі емес. The ISO стандартты 31-11 ұсынады (ρ, φ, з), қайда ρ - радиалды координат, φ азимут және з биіктігі. Алайда, радиусы да жиі белгіленеді р немесе с, азимут θ немесе т, ал үшінші координата бойынша сағ немесе (егер цилиндрлік ось көлденең деп саналса) хнемесе кез-келген мәтінге байланысты хат.

The координаталық беттер цилиндрлік координаттар (ρ, φ, з). Қызыл цилиндр тармақтарын көрсетеді ρ = 2, көк ұшақ тармақтарын көрсетеді з = 1, ал сары жарты жазықтық нүктелерді көрсетеді φ = −60°. The з-аксис тік және х-аксис жасыл түспен ерекшеленеді. Үш бет нүктеде қиылысады P сол координаттармен (қара шар түрінде көрсетілген); The Декарттық координаттар туралы P шамамен (1,0, −1,732, 1,0).
Цилиндрлік координаталық беттер. Үш ортогоналды компоненттер, ρ (жасыл), φ (қызыл) және з (көк), әрқайсысы тұрақты жылдамдықпен өседі. Нүкте үш түсті беттің қиылысында.

Нақты жағдайларда және көптеген математикалық иллюстрацияларда оң бұрыштық координаталар өлшенеді сағат тіліне қарсы кез-келген нүктеден оң биіктікте көрінеді.

Жүйелік конверсияларды үйлестіру

Цилиндрлік координаталар жүйесі - бұл көптеген үш өлшемді координаттар жүйелерінің бірі. Олардың арасында түрлендіру үшін келесі формулаларды қолдануға болады.

Декарттық координаттар

Цилиндрлік және декарттық координаталар арасындағы түрлендіру үшін біріншісінің эталондық жазықтығы декарттық деп санаған ыңғайлы xy-планет (теңдеуімен) з = 0), ал цилиндрлік ось - декарт з-аксис. Содан кейін з-координата екі жүйеде де бірдей, ал цилиндрлік арасындағы сәйкестік (ρ,φ,з) және декарттық (х,ж,з) полярлық координаттармен бірдей, атап айтқанда

бір бағытта, және

екіншісінде. Arcsin функциясы -қа кері мән синус функциясы, және диапазондағы бұрышты қайтарады деп қабылданады [−π/2,+π/2] = [−90°,+90°]. Бұл формулалар азимут береді φ диапазонда [−90°,+270°]. Басқа формулалар үшін қараңыз полярлық координаталық мақала.

Көптеген қазіргі заманғы бағдарламалау тілдері дұрыс азимутты есептейтін функцияны ұсынады φ, диапазонда (−π, π), берілген х және ж, жоғарыдағыдай жағдайды талдаудың қажеті жоқ. Мысалы, бұл функция шақырылады atan2 (ж,х) ішінде C бағдарламалау тілі, және атан (ж,х) жылы Жалпы Лисп.

Сфералық координаттар

Сфералық координаттар (радиус р, биіктік немесе бейімділік θ, азимут φ) цилиндрлік координаталарға айналуы мүмкін:

θ биіктік:θ бейімділік:

Цилиндрлік координаталарды сфералық координаталарға келесі жолмен түрлендіруге болады:

θ биіктік:θ бейімділік:

Сызықтық және көлемдік элементтер

Қараңыз бірнеше интеграл цилиндрлік координаттардағы көлем интеграциясының бөлшектері үшін және Цилиндрлік және сфералық координаттардағы Del үшін векторлық есептеу формулалар.

Цилиндрлік полярлық координаталармен байланысты көптеген мәселелерде сызық пен көлем элементтерін білу пайдалы; бұлар интеграцияда жолдар мен көлемдерге қатысты мәселелерді шешу үшін қолданылады.

The жол элементі болып табылады

The көлем элементі болып табылады

The беткі элемент тұрақты радиусты бетте ρ (тік цилиндр) болып табылады

Тұрақты азимут бетіндегі беттік элемент φ (тік жарты жазықтық) болып табылады

Тұрақты биіктіктегі беттік элемент з (көлденең жазықтық) болып табылады

The дел операторы осы жүйеде келесі өрнектерге әкеледі градиент, алшақтық, бұйралау және Лаплациан:

Цилиндрлік гармоника

Шешімдері Лаплас теңдеуі цилиндрлік симметриялы жүйеде деп аталады цилиндрлік гармоника.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Краффт, С .; Волокитин, A. S. (1 қаңтар 2002). «Бірнеше төменгі гибридті толқындармен резонанстық электронды сәуленің өзара әрекеттесуі». Плазма физикасы. 9 (6): 2786–2797. Бибкод:2002PhPl .... 9.2786K. дои:10.1063/1.1465420. ISSN  1089-7674. Архивтелген түпнұсқа 14 сәуірде 2013 ж. Алынған 9 ақпан 2013. ... цилиндрлік координаттарда (р,θ,з) ... және З = vbzт бойлық орналасу ...
  2. ^ Гройсман, Александр; Стейнберг, Виктор (1997). «Вискоэластикалық куэт ағынындағы жалғыз құйынды жұптар». Физикалық шолу хаттары. 78 (8): 1460–1463. arXiv:patt-sol / 9610008. Бибкод:1997PhRvL..78.1460G. дои:10.1103 / PhysRevLett.78.1460. S2CID  54814721. ... қайда р, θ, және з цилиндрлік координаталар ... осьтік позиция функциясы ретінде ...
  3. ^ Шимански, Дж. Е. (1989). Электрондық инженерлерге арналған негізгі математика: модельдер мен қосымшалар. Электрондық инженерия бойынша нұсқаулық (№ 16). Тейлор және Фрэнсис. б. 170. ISBN  978-0-278-00068-1.
  4. ^ Нанн, Роберт Х. (1989). Сұйықтықтың аралық механикасы. Тейлор және Фрэнсис. б. 3. ISBN  978-0-89116-647-4.
  5. ^ Спарке, Линда Сиобхан; Галлахер, Джон Силл (2007). Әлемдегі галактикалар: кіріспе (2-ші басылым). Кембридж университетінің баспасы. б. 37. ISBN  978-0-521-85593-8.

Әрі қарай оқу

Сыртқы сілтемелер