Декагон - Decagon

Тұрақты декагон
Тұрақты көпбұрыш 10 annotated.svg
Кәдімгі декагон
ТүріТұрақты көпбұрыш
Шеттер және төбелер10
Schläfli таңбасы{10}, т {5}
Коксетер диаграммасыCDel түйіні 1.pngCDel 10.pngCDel node.png
CDel түйіні 1.pngCDel 5.pngCDel түйіні 1.png
Симметрия тобыЕкіжақты (Д.10), тапсырыс 2 × 10
Ішкі бұрыш (градус )144°
Қос көпбұрышӨзіндік
ҚасиеттеріДөңес, циклдік, тең жақты, изогональды, изотоксалды

Жылы геометрия, а декагон (грек тілінен δέκα дека және γωνία гония, «он бұрыш») - он жақты көпбұрыш немесе 10 гон.[1] Жалпы сомасы ішкі бұрыштар а қарапайым декагон - 1440 °.

A өзара қиылысатын тұрақты декагон а ретінде белгілі декрамма.

Тұрақты декагон

A тұрақты декагон барлық қабырғалары бірдей ұзындыққа ие және әрбір ішкі бұрыш әрқашан 144 ° -қа тең болады.[1] Оның Schläfli таңбасы {10} [2] және сонымен бірге а ретінде құрылуы мүмкін кесілген бесбұрыш, t {5}, жиектердің екі түрін ауыстыратын квазирегулярлы декагон.

Аудан

The аудан бүйір ұзындығының тұрақты онбұрышының а береді:[3]

Тұрғысынан апотема р (тағы қараңыз) жазылған фигура ), ауданы:

Тұрғысынан циррадиус R, ауданы:

Балама формула болып табылады қайда г. - параллель қабырғалар арасындағы қашықтық, немесе декагон бір жағында негіз ретінде тұрған биіктік немесе диаметрі декагонның жазылған шеңбер. Қарапайым тригонометрия,

және оны жазуға болады алгебралық сияқты

Тараптар

Кәдімгі онбұрыштың 10 жағы бар тең жақты. Онда 20 бар диагональдар

Құрылыс

10 = 2 × 5 ретінде, а екінің күші рет а Ферма прайм, демек, тұрақты онбұрыш конструктивті қолдану циркуль және түзу немесе шетіненқос бөлу тұрақты бесбұрыш.[4]

Декагонның құрылысы
Бесбұрыштың құрылысы

Балама (бірақ ұқсас) әдіс келесідей:

  1. Көрсетілген әдістердің бірі бойынша шеңберге бесбұрыш салыңыз бесбұрыш салу.
  2. Бесбұрыштың әр төбесінен центр арқылы сызықты созыңыз шеңбер сол шеңбердің қарсы жағына. Әр сызық шеңберді кесетін жерде - онбұрыштың шыңы.
  3. Бесбұрыштың бес бұрышы онбұрыштың балама бұрыштарын құрайды. Осы нүктелерді іргелес жатқан жаңа нүктелерге қосып, онбұрыш түзіңіз.

Дөңес емес тұрақты декагон

Бұл плитка төсеу арқылы алтын тұрақты үшбұрыштар бесбұрыш, а бар жұлдызша туралы тұрақты декагон, Шафли таңбасы оның {10/3}.

Ұзындығы арақатынас Алтын үшбұрыштың екі тең емес шеттерінің алтын коэффициент, деп белгіленді немесе оның мультипликативті кері:

Осылайша, біз үшбұрышты жұлдызшаның көмегімен үшбұрыш тәрізді қарапайым жұлдыздың қасиеттерін ала аламыз жұлдыз көпбұрышы.

Декагондағы алтын арақатынас

Берілген шеңбермен салынған құрылыста да[5] сонымен қатар берілген жағының ұзындығымен сызық кесіндісін сыртқы бөлуге бөлетін алтын қатынасы анықтайтын құрылыс элементі.

  • Берілген шеңбермен G шеңберіндегі радиусы бар дөңгелек доға GE3 сегментін шығарады AH, оның бөлінуі алтын коэффициентке сәйкес келеді.
  • Берілген бүйірлік ұзындықтағы құрылыста[6] радиусы бар D айналасындағы дөңгелек доға DA сегментін шығарады E10F, оның бөлінуі сәйкес келеді алтын коэффициент.
Дөңгелек берілген шеңбер,[5] анимация
Берілген қабырғасының ұзындығы бар декагон,[6] анимация

Симметрия

Тұрақты декагонның симметриялары. Тік сызықтар олардың симметрия позицияларымен боялған. Көк айналар шыңдар арқылы, ал күлгін айналар шеттер арқылы сызылады. Гирация туралы бұйрықтар орталықта беріледі.

The тұрақты декагон бар Дих10 симметрия, тапсырыс 20. 3 диодралды симметриялардың кіші тобы бар: Dih5, Дих2және Дих1және 4 циклдік топ симметриялар: Z10, З5, З2және З1.

Бұл 8 симметрияны декагондағы 10 ерекше симметриядан көруге болады, бұл үлкенірек сан, өйткені шағылысу сызықтары шыңдардан немесе шеттерден өте алады. Джон Конвей оларды әріппен және топтық тәртіппен белгілейді.[7] Тұрақты форманың толық симметриясы болып табылады r20 және ешқандай симметрия белгіленбейді a1. Диедралды симметриялар шыңдардан өтуіне байланысты бөлінеді (г. немесе диагональ үшін)б перпендикулярлар үшін), және мен шағылысу сызықтары шеттер мен шыңдар арқылы өтетін кезде. Ортаңғы бағандағы циклдік симметрия ретінде белгіленеді ж олардың орталық гиряциясы үшін.

Әрбір кіші топ симметриясы тұрақты емес формалар үшін бір немесе бірнеше еркіндік дәрежесін береді. Тек g10 кіші топта еркіндік дәрежесі жоқ, бірақ оларды келесідей көруге болады бағытталған жиектер.

Ең жоғары симметрия дұрыс емес декагондар болып табылады d10, an изогональды ұзын және қысқа шеттерін ауыстыра алатын бес айнадан тұратын декагон және p10, an изотоксалды декагон, тең ұзындықпен салынған, бірақ екі түрлі ішкі бұрыштарды алмастыратын шыңдар. Бұл екі форма қосарланған бір-бірінен және тұрақты декагонның жарты симметрия тәртібіне ие.

Диссекция

10 текше болжам40 ромбты бөлшектеу
10 текше t0 A9.svg10 гонды ромбты диссекция-size2.svg10 гонды ромбты диссекция2-size2.svg10 гонды ромбты диссекция3-size2.svg10 гонды ромбты диссекция4-size2.svg
10-гондық ромбты диссекция8-size2.svg10 гонды ромбты диссекция5-size2.svg10-гонды ромбты диссекция6-size2.svg10 гонды ромбты диссекция7-size2.svg10 гонды ромбты диссекция9-size2.svg

Коксетер деп айтады әрбір зоногон (a 2м- қарама-қарсы жақтары параллель және ұзындығы тең) м(м-1) / 2 параллелограмм.[8]Атап айтқанда, бұл біркелкі көп қабырғалары бар көпбұрыштарға қатысты, бұл жағдайда параллелограммдар ромб болып табылады. Үшін тұрақты декагон, м= 5, және оны төменде келтірілген мысалдармен 10 ромбқа бөлуге болады. Бұл ыдырауды а-дағы 80 беттің 10-ы ретінде қарастыруға болады Петри көпбұрышы проекция жазықтығы 5 текше. Диссекция 30-дан 10-ға негізделген ромбты триаконтаэдр. Тізім OEISA006245 шешімдердің санын 62 деп анықтайды, бірінші симметриялық форма үшін 2 бағдар, ал қалған 6-ға 10 бағдар.

Тұрақты декагон 10 ромбиге бөлінді
5 текше t0.svg
5 текше
Sun decagon.svgSun2 decagon.svgDart2 decagon.svg
Halfsun decagon.svgDart decagon.svgDart decagon ccw.svgCartwheel decagon.svg

Қиғаш декагон

3 тұрақты қисық зиг-заг декагоны
{5}#{ }{5/2}#{ }{5/3}#{ }
Бесбұрышты antiprism.png-де тұрақты қисайған көпбұрышPentagrammic antiprism.png сайтындағы тұрақты қисық полигонPentagrammic crossed-antiprism.png жүйесіндегі тұрақты қисық полигон
Кәдімгі қиғаш онбұрыш а-ның жиектері сияқты көрінеді бесбұрышты антипризм, а пентаграммалық антипризм және а пентаграммалық кросс-антипризм.

A қиғаш декагон Бұл қисайған көпбұрыш 10 төбесі мен шеті бар, бірақ бір жазықтықта жоқ. Мұндай декагонның ішкі көрінісі жалпы анықталмаған. A қисық зиг-заг декагон екі параллель жазықтықта ауысатын шыңдары бар.

A кәдімгі қиғаш декагон болып табылады шың-өтпелі ұзындықтары бірдей. 3-өлшемде ол зиг-заг қиғаш декагон болады және оны а шыңдары мен бүйір шеттерінен көруге болады бесбұрышты антипризм, пентаграммалық антипризм, және пентаграммалық кросс-антипризм сол Д., [2+, 10] симметрия, 20-реттік.

Бұларды 4 дөңес полиэдрадан да көруге болады икосаэдрлік симметрия. Осы проекциялардың периметрі бойынша көпбұрыштар - қисық декагондар.

5 есе осьтерге полиэдралардың ортогональды проекциялары
Dodecahedron petrie.png
Додекаэдр
Icosahedron petrie.png
Икозаэдр
Dodecahedron t1 H3.png
Икозидодекаэдр
Қос dodecahedron t1 H3.png
Ромбтық триаконтаэдр

Петри көпбұрыштары

The кәдімгі қиғаш декагон болып табылады Петри көпбұрышы жоғарыда көрсетілген көптеген политоптар үшін ортогональды проекциялар әртүрлі Coxeter ұшақтары:[9] Петри көпбұрышының қабырғаларының саны -ге тең Coxeter нөмірі, сағ, әр симметрия отбасы үшін.

A9Д.6B5
9-симплекс t0.svg
9-симплекс
6 текше t5 B5.svg
411
6-demicube t0 D6.svg
131
5 текше t4.svg
5-ортоплекс
5 текше t0.svg
5 текше

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ а б Sidebotham, Thomas H. (2003), Математиканың A-дан Z-ге дейін: негізгі нұсқаулық, Джон Вили және ұлдары, б. 146, ISBN  9780471461630.
  2. ^ Вениннер, Магнус Дж. (1974), Полиэдрлі модельдер, Кембридж университетінің баспасы, б. 9, ISBN  9780521098595.
  3. ^ Жазықтық және сфералық тригонометрия элементтері, Христиан білімін насихаттау қоғамы, 1850, б. 59. Бұл дереккөздің пайдаланатынын ескеріңіз а шеткі ұзындық ретінде және котангенс аргументін радианға емес, градусқа бұрыш ретінде береді.
  4. ^ Людлов, Генри Х. (1904), Шеңберге жазылған тұрақты декагон мен бесбұрыштың геометриялық құрылысы, Ашық сот баспасы Co..
  5. ^ а б Жасыл, Генри (1861), Евклидтің жазықтық геометриясы, іс жүзінде қолданылатын III-VI кітаптар немесе евклидтегі градациялар, II бөлім, Лондон: Симпкин, Маршалл, & CO., Б. 116. 10 ақпан 2016 шығарылды.
  6. ^ а б Кёллер, Юрген (2005), Regelmäßiges Zehneck, → 3. «Formeln, Ist die Seite gegeben ...» бөлімі. (неміс тілінде). 10 ақпан 2016 шығарылды.
  7. ^ Джон Х.Конвей, Хайди Бургиел, Хайм Гудман-Стросс, (2008) Заттардың симметриялары, ISBN  978-1-56881-220-5 (20 тарау, жалпыланған Шефли таңбалары, көпбұрыштың симметрия түрлері 275-278 б.)
  8. ^ Коксетер, Математикалық рекреациялар мен очерктер, Он үшінші басылым, 141 б
  9. ^ Коксетер, тұрақты политоптар, 12.4 Petrie полигоны, 223-226 бб.

Сыртқы сілтемелер