Золотарев көпмүшелері - Zolotarev polynomials

Математикада, Золотарев көпмүшелері болып табылады көпмүшелер жылы қолданылған жуықтау теориясы. Олар кейде балама ретінде қолданылады Чебышев көпмүшелері мұнда шығу тегіне жуықтау дәлдігі онша маңызды емес. Золотарев көпмүшелерінің Чебышев көпмүшелерінен айырмашылығы - коэффициенттердің екеуі кез-келген мән қабылдауға емес, алдын ала бекітілген. Бірінші типтегі Чебышев көпмүшелері - Золотарев көпмүшелерінің ерекше жағдайы. Бұл көпмүшелерді орыс математигі енгізген Егор Иванович Золотарев 1868 ж.

Анықтамасы және қасиеттері

Золотарев дәрежесінің көпмүшелері ${ displaystyle n}$ жылы ${ displaystyle x}$ формада болады

${ displaystyle Z_ {n} (x, sigma) = x ^ {n} - sigma x ^ {n-1} + cdots + a_ {k} x ^ {k} + cdots + a_ {0} ,}$

қайда ${ displaystyle sigma}$ үшін белгіленген мән болып табылады ${ displaystyle a_ {n-1}}$ және ${ displaystyle a_ {k} in mathbb {R}}$ ауытқуы болатындай етіп таңдалады ${ displaystyle Z_ {n} (x)}$ нөлден бастап интервалдағы минимум ${ displaystyle [-1,1]}$.^[1]

Золотарев көпмүшелерінің ішкі жиынын мына түрде көрсетуге болады Чебышев көпмүшелері бірінші типтегі, ${ displaystyle T_ {n} (x)}$. Үшін

${ displaystyle 0 leq sigma leq { dfrac {1} {n}} tan ^ {2} { dfrac { pi} {2n}}}$

содан кейін

${ displaystyle Z_ {n} (x, sigma) = (1+ sigma) ^ {n} T_ {n} left ({ frac {x- sigma} {1+ sigma}} right) .}$

Мәндері үшін ${ displaystyle sigma}$ осы диапазонның максимумынан үлкен, Золотарев көпмүшелерін мына түрде өрнектеуге болады эллиптикалық функциялар. Үшін ${ displaystyle sigma = 0}$, Золотарев көпмүшесі Чебышев эквивалентті көпмүшеге ұқсас. Үшін теріс мәндер ${ displaystyle sigma}$, көпмүшені оң мәндегі көпмүшеден табуға болады,^[2]

${ displaystyle Z_ {n} (x, - sigma) = (- 1) ^ {n} Z_ {n} (- x, sigma) .}$

Золотарев көпмүшесін байланысты қолданып, Чебышев көпмүшелерінің қосындысына дейін кеңейтуге болады^[3]

${ displaystyle Z_ {n} (x) = sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} T_ {k} (x) .}$

8 дәрежелі Золотарев көпмүшесі (сол жақта) және 9 дәрежелі (оң жақта).^[4] The х масштаб ретінде белгіленеді прототип полиномды фильтр дизайнында қолданған кездегідей жиілік.

Якоби эллиптикалық функциялары тұрғысынан

Золотарев берген жуықтау есебінің бастапқы шешімі мынаған қатысты болды Якоби эллиптикалық функциялары. Золотарев шың мәнінің сол жағындағы нөлдер саны (${ displaystyle q}$) аралықта ${ displaystyle [-1,1]}$ осы шыңның оң жағындағы нөлдер санына тең емес (${ displaystyle p}$). Көпмүшенің дәрежесі мынада ${ displaystyle n = p + q}$. Көптеген қосымшалар үшін ${ displaystyle p = q}$ қолданылады, содан кейін ғана ${ displaystyle n}$ ескеру қажет. Жалпы Золотарев көпмүшелері ретінде анықталады^[5]

${ displaystyle Z_ {n} (x | kappa) = { frac {(-1) ^ {p}} {2}} left [ left ({ dfrac {H (uv)}) {H (u) + v)}} оң) ^ {n} + сол ({ dfrac {H (u + v)} {H (uv)}} оң) ^ {n} оң]}$

қайда

${ displaystyle u = F сол жаққа ( сол жақта. оператор атауы {sn} сол жақта ( сол жақта.v оң жақта | kappa оңда) { sqrt { dfrac {1 + x} {x + 2 операторда sn} ^ {2} солға ( солға.v оңға | каппа оңға) -1}}} оңға | каппа оңға)}$

${ displaystyle v = { dfrac {p} {n}} K ( kappa)}$

${ displaystyle H ( varphi)}$ болып табылады Jacobi eta функциясы

${ displaystyle F ( varphi | kappa)}$ болып табылады бірінші типтегі толық емес эллиптикалық интеграл

${ displaystyle K ( kappa)}$ төртінші толқын бірінші эллиптикалық толық интеграл. Бұл, ${ displaystyle K ( kappa) = F сол жақ ( сол. { frac { pi} {2}} оң | kappa оң)}$^[6]

${ displaystyle kappa}$ Якоби эллиптикалық модуль

${ displaystyle operatorname {sn} ( varphi | kappa)}$ болып табылады Якоби эллиптикалық синусы.

Функцияның [−1,1] аралықтағы өзгерісі, шыңнан басқа үлкен шыңды қоспағанда, тең мәнді. Бұл шыңның орны мен енін дербес орнатуға болады. Шыңның орналасуы^[7]

${ displaystyle x _ { text {max}} = 1-2 operatorname {sn} ^ {2} (v | kappa) +2 { dfrac { operatorname {sn} (v | kappa) operatorname { cn} (v | kappa)} { operatorname {dn} (v | kappa)}} Z (v | kappa)}$

қайда

${ displaystyle operatorname {cn} ( varphi | kappa)}$ болып табылады Якоби эллиптикалық косинусы

${ displaystyle operatorname {dn} ( varphi | kappa)}$ болып табылады Джакоби атырауының амплитудасы

${ displaystyle Z ( varphi | kappa)}$ болып табылады Якоби дзета функциясы

${ displaystyle v}$ жоғарыда анықталғандай.

Шыңның биіктігі^[8]

${ displaystyle Z_ {n} (x _ { text {max}} | kappa) = cosh 2n { bigl (} sigma _ { text {max}} Z (v | kappa) - varPi ( sigma _ { text {max}}, v | kappa) { bigr)}}$

қайда

${ displaystyle varPi ( phi _ {1}, phi _ {2} | kappa)}$ болып табылады үшінші типтегі толық емес эллиптикалық интеграл

${ displaystyle sigma _ { text {max}} = F left ( left. sin ^ {- 1} left ({ dfrac {1} { kappa operatorname {sn} (v | kappa) )}} { sqrt { dfrac {x _ { text {max}} - x _ { mathrm {L}}} {x _ { text {max}} + 1}}} right) right | kappa оң)}$

${ displaystyle x _ { mathrm {L}}}$ - бұл биіктік шыңдарының биіктігімен бірдей шыңның сол аяғындағы орналасу.

Jacobi eta функциясы

Jacobi eta функциясын a түрінде анықтауға болады Якобидің көмекші тета функциясы,^[9]

${ displaystyle H ( varphi | kappa) = theta _ {1} (a | b)}$

қайда,

${ displaystyle a = { frac { pi varphi} {2K '( kappa)}}}$

${ displaystyle b = exp left (- { frac { pi K '( kappa)} {K ( kappa)}} right)}$

${ displaystyle K '( kappa) = K ({ sqrt {1- kappa ^ {2}}}) .}$^[10]

Қолданбалар

Көпмүшеліктер енгізілді Егор Иванович Золотарев дәрежесі біркелкі жуықтайтын құрал ретінде 1868 ж ${ displaystyle x ^ {n + 1}}$ [−1,1] аралығында. Пафнутий Чебышев мұны 1858 жылы көрсеткен болатын ${ displaystyle x ^ {n + 1}}$ осы аралықта ең көбі дәреже полиномымен жуықтауға болатын еді ${ displaystyle n}$ қатемен ${ displaystyle 2 ^ {- n}}$. 1868 жылы Золотарев мұны көрсетті ${ displaystyle x ^ {n + 1} - sigma x ^ {n}}$ ең көбі дәрежелік полиноммен жуықтауға болатын еді ${ displaystyle n-1}$, екі градусқа төмен. Золотарев әдісіндегі қателік келесі түрде беріледі:^[11]

${ displaystyle 2 ^ {- n} солға ({ dfrac {1+ sigma} {1 + n}} оңға) ^ {n + 1} .}$

Процедура әрі қарай дамыды Naum Achieser 1956 жылы.^[12]

Жобалау кезінде Золотарев көпмүшелері қолданылады Achieser-Zolotarev сүзгілері. Оларды алғаш рет 1970 жылы Ральф Леви микротолқынды пеште жобалаған толқын өткізгіш сүзгілері.^[13] Achieser-Zolotarev сүзгілері ұқсас Чебышев сүзгілері оларда толқындардың әлсіреуі бірдей өткізу жолағы, тек әлсіреу бастапқы нүктеге жақын шың үшін алдын-ала орнатылған толқыннан асып кететін жағдайларды қоспағанда.^[14]

Синтездеу үшін Золотарев көпмүшелерін қолдануға болады радиациялық заңдылықтар сызықтық антенналық массивтер, алдымен Д.А. McNamara 1985 ж. Жұмыс жиіліктің орнына айнымалы ретінде қолданылатын сәулелік бұрышы бар сүзгі қосымшасына негізделген. Золотарев сәулесінің өрнегінде тең деңгейлі бүйірлік шеттері бар.^[15]

Әдебиеттер тізімі

Библиография

• Ахизер, Наум, Химнан, Дж. (Транс), Жақындау теориясы, Нью-Йорк: Фредерик Унгар баспасы, 1956. Доверді қайта басу 2013 ж ISBN  0486495434.
• Биби, Нельсон Х.Ф., ол математикалық-функционалды есептеу бойынша анықтамалық, Springer, 2017 ISBN  3319641107.
• Кэмерон, Ричард Дж.; Кудсия, Чандра М .; Мансур, Раафат Р., Байланыс жүйелеріне арналған микротолқынды сүзгілер, Джон Вили және ұлдары, 2018 ISBN  1118274342.
• Хансен, Роберт С., Кезеңдік антенналар, Вили, 2009 ISBN  0470529172.
• Макнамара, Д.А., «Золотарев көпмүшелерін қолданатын массивтің оңтайлы сызықтық массивтік қозулары», Электрон, т. 21, шығарылым 16, 681-682 бет, 1985 ж. Тамыз.
• Ньюман, Д.Ж., Редди, А.Р., «Рационалды жуықтаулар ${ displaystyle x ^ {n}}$ II «, Канадалық математика журналы, т. 32, жоқ. 2, 310-316 бб, сәуір 1980 ж.
• Пинкус, Аллан, «Золотарев көпмүшелері», Хазевинкель, Мичиел (ред), Математика энциклопедиясы, III қосымша, Springer Science & Business Media, 2001 ISBN  1402001983.
• Влчек, Мирослав, Унбехауен, Рольф, «Золотарев көпмүшелері және оңтайлы FIR сүзгілері», IEEE сигналдарды өңдеу бойынша транзакциялар, т. 47, шығарылым 3, 717-730 бб, наурыз 1999 (түзетулер Шілде 2000).
• Захрадник, Павел; Влчек, Мирослав, «2-D тар жолақтық FIR сүзгілерінің аналитикалық дизайны», 56-63 б., Есептеу ғылымы - ICCS 2004: 4-ші Халықаралық конференция материалдары, Бубак, Мариан; ван Альбада, Джерт Д .; Слоот, Питер М.А .; Донгарра, Джек (ред.), Springer Science & Business Media, 2004 ISBN  3540221298.