Квадрат нөмірі - Square number

Бұл мақалада жалпы тізімі бар сілтемелер, бірақ бұл негізінен тексерілмеген болып қалады, өйткені ол сәйкесінше жетіспейді кірістірілген дәйексөздер. Көмектесіңізші жақсарту осы мақала таныстыру дәлірек дәйексөздер. (Ақпан 2012) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз)

Жылы математика, а шаршы саны немесе тамаша квадрат болып табылады бүтін бұл шаршы бүтін сан;^[1] басқаша айтқанда, бұл өнім өзімен бірге бүтін санды. Мысалы, 9 - квадрат сан, өйткені оны былай жазуға болады 3 × 3.

Сандардың квадратына арналған әдеттегі жазба n өнім емес n × n, бірақ баламасы дәрежелеу n², әдетте «n квадрат «. Атауы шаршы сан пішіннің атауынан шыққан. Бірлігі аудан а-ның ауданы ретінде анықталады шаршы бірлік (1 × 1). Демек, бүйірлік ұзындығы бар квадрат n ауданы бар n². Басқаша айтқанда, егер квадрат нөмірі арқылы ұсынылса n нүктелер, нүктелерді әр қатарының квадрат түбірімен бірдей нүктелер болатын квадрат түрінде орналастыруға болады. n; Осылайша, квадрат сандар - бұл бейнелі сандардың бір түрі (басқа мысалдар да бар) текше нөмірлері және үшбұрышты сандар ).

Квадрат сандары теріс емес. (Теріс емес) бүтін санды квадрат сан деп айтудың тағы бір тәсілі бұл оның шаршы түбір қайтадан бүтін сан. Мысалға, √9 = 3, демек, 9 - квадрат сан.

Керемет квадраты жоқ натурал сан бөлгіштер 1-ден басқасы аталады шаршы жоқ.

Теріс емес бүтін сан үшін n, nтөртінші сан n², бірге 0² = 0 болу нөл бір. Квадрат ұғымын кейбір басқа санау жүйелеріне дейін кеңейтуге болады. Егер рационалды сандар енгізілген, содан кейін квадрат - бұл екі квадрат бүтін сандардың қатынасы, және керісінше, екі квадрат бүтін сандардың қатынасы квадрат, мысалы, ${ displaystyle textstyle { frac {4} {9}} = солға ({ frac {2} {3}} оңға) ^ {2}}$.

1-ден бастап бар ⌊√м⌋ дейін және оған дейінгі квадрат сандар м, өрнек қайда ⌊х⌋ білдіреді еден санныңх.

Мысалдар

Квадраттар (реттілік) A000290 ішінде OEIS ) 60-тан кіші² = 3600 мыналар:

Кез-келген мінсіз квадрат пен оның алдыңғысының айырмашылығы сәйкестілікпен беріледі n² − (n − 1)² = 2n − 1. Эквивалентті түрде квадрат сандарын соңғы квадрат, соңғы квадрат түбірі мен ағымдағы түбірді қосу арқылы санауға болады, яғни n² = (n − 1)² + (n − 1) + n.

Қасиеттері

Нөмір м шаршы сан, егер ол реттеуге болатын болса ғана м квадраттағы нүктелер:

м = 12 = 1
м = 22 = 4
м = 32 = 9
м = 42 = 16
м = 52 = 25

Үшін өрнек nтөртінші сан n². Бұл сондай-ақ біріншінің қосындысына тең n тақ сандар жоғарыдағы суреттерден көрініп тұрғандай, квадрат алдыңғы нүктеден тақ нүктелер қосу арқылы пайда болады (қызыл күреңмен көрсетілген). Формула келесідей:

${ displaystyle n ^ {2} = sum _ {k = 1} ^ {n} (2k-1).}$

Мысалға, 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Біріншісінің қосындысы n тақ бүтін сандар n². 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n². Тетраэдрдегі анимациялық 3D визуализация.

Бірнеше рекурсивті квадрат сандарды есептеу әдістері. Мысалы, nалдыңғы квадраттан бастап квадрат санын есептеуге болады n² = (n − 1)² + (n - 1) + n = (n − 1)² + (2n − 1). Сонымен қатар nквадрат санын алдыңғы екіден екі есеге көбейту арқылы есептеуге болады (n − 1)-ды алып тастағандағы төртінші квадрат (n − 2)шаршы саны, және 2-ді қосу, өйткені n² = 2(n − 1)² − (n − 2)² + 2. Мысалға,

2 × 5² − 4² + 2 = 2 × 25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6².

Квадраттан бір сан кем (м - 1) әрқашан көбейтіндісі болып табылады √м - 1 және √м + 1 (мысалы, 8 × 6 48-ге тең, ал 7-ге тең² 49) Сонымен, 3 - квадраттан кіші жалғыз жай сан.

Квадрат сан - бұл екі қатардың қосындысы үшбұрышты сандар. Екі қатарлы квадрат сандардың қосындысы а орталықтандырылған квадрат нөмірі. Әр тақ квадрат сонымен қатар а сегіз бұрышты центр.

Квадрат санның тағы бір қасиеті (0-ден басқа) оның оң бөлгіштің тақ санына ие, ал басқа натурал сандарда жұп сан оң бөлгіштер. Бүтін түбір - квадрат санды шығару үшін өзімен жұптасатын жалғыз бөлгіш, ал басқа бөлгіштер екі-екіден келеді.

Лагранждың төрт квадрат теоремасы кез келген оң бүтін санды төрт немесе одан кем кемел квадраттардың қосындысы түрінде жазуға болатындығын айтады. Үш квадрат форманың сандары үшін жеткіліксіз 4^к(8м + 7). Натурал санды екі квадраттың қосындысы ретінде дәл көрсетуге болады, егер ол болса қарапайым факторизация формадағы жай бөлшектердің тақ дәрежелерін қамтымайды 4к + 3. Бұл жалпыланған Waring проблемасы.

Жылы 10-негіз, квадрат сан тек 0, 1, 4, 5, 6 немесе 9 сандарымен аяқталуы мүмкін, келесідей:

• егер санның соңғы цифры 0-ге тең болса, оның квадраты 0-ге аяқталады (іс жүзінде соңғы екі цифр 00-ға тең болуы керек);
• егер санның соңғы цифры 1 немесе 9 болса, оның квадраты 1-ге аяқталады;
• егер санның соңғы цифры 2 немесе 8 болса, оның квадраты 4-ке аяқталады;
• егер санның соңғы цифры 3 немесе 7 болса, оның квадраты 9-ға аяқталады;
• егер санның соңғы цифры 4 немесе 6 болса, оның квадраты 6-ға аяқталады; және
• егер санның соңғы цифры 5 болса, оның квадраты 5-ке аяқталады (іс жүзінде соңғы екі цифр 25-ке тең болуы керек).

Жылы 12. негіз, квадрат сан тек квадрат цифрлармен аяқталуы мүмкін (12, а негізіндегі сияқты) жай сан тек бірінші сандармен немесе 1) аяқталуы мүмкін, яғни 0, 1, 4 немесе 9, келесідей:

• егер сан 2-ге де, 3-ке де бөлінетін болса (яғни 6-ға бөлінеді), оның квадраты 0-ге аяқталады;
• егер сан 2-ге де, 3-ке де бөлінбесе, оның квадраты 1-ге аяқталады;
• егер сан 3-ке емес, 2-ге бөлінсе, оның квадраты 4-ке аяқталады; және
• егер сан 2-ге емес, 3-ке бөлінбесе, оның квадраты 9-ға аяқталады.

Ұқсас ережелер басқа негіздер үшін де, алдыңғы цифрлар үшін де берілуі мүмкін (мысалы, бірліктің орнына ондық, мысалы).^{[дәйексөз қажет ]} Мұндай ережелердің барлығын белгіленген санды тексеру және қолдану арқылы дәлелдеуге болады модульдік арифметика.

Жалпы, егер а қарапайым  б квадрат санды бөледім онда квадрат б бөлу керек м; егер б бөле алмайды м/б, содан кейін м шаршы емес. Алдыңғы сөйлемнің бөлімдерін қайталай отырып, кез-келген праймерлер берілген квадратты жұп рет (соның ішінде 0 рет) бөлуі керек деген қорытындыға келеді. Осылайша, сан м квадрат сан, егер ондай болса, онда канондық ұсыну, барлық көрсеткіштер біркелкі.

Сквериттік тестілеуді балама әдіс ретінде пайдалануға болады факторизация үлкен сандар. Бөлінгіштікке тестілеудің орнына, скверділікке тексер: берілгені үшін м және бірнеше санк, егер к² − м бүтін санның квадратыn содан кейін к − n бөледі м. (Бұл а факторизациясының қосымшасы екі квадраттың айырымы.) Мысалға, 100² − 9991 3-тің квадраты, демек 100 − 3 бөледі 9991. Бұл сынақ диапазонындағы тақ бөлгіштер үшін детерминирленген к − n дейін к + n қайда к натурал сандардың кейбір диапазонын қамтиды к ≥ √м.

Квадрат сан а болуы мүмкін емес мінсіз сан.

Қосындысы n бірінші квадрат сандары

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ {N} n ^ {2} = 0 ^ {2} + 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + cdots + N ^ {2} = { frac {N (N + 1) (2N + 1)} {6}}.}$

Осы қосындылардың алғашқы мәндері, шаршы пирамидалық сандар, олар: (реттілік A000330 ішінде OEIS )

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...

Бірінен басталатын алғашқы тақ сандардың қосындысы керемет квадрат болады: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7 және т.б.

Қосындысы n бірінші текшелер қосындысының квадраты n бірінші натурал сандар; бұл Никомасус теоремасы.

Төртінші дәрежедегі күштер, алтыншы күштер, сегізінші күштер және басқалары - бұл керемет квадраттар.

Тақ және жұп сандар

Жұп сандардың квадраттары жұп (және іс жүзінде 4-ке бөлінеді), өйткені (2n)² = 4n².

Тақ сандардың квадраттары тақ, өйткені (2n + 1)² = 4(n² + n) + 1.

Бұдан шығатыны, жұп квадрат сандардың квадрат түбірлері жұп, ал тақ квадрат сандардың квадрат түбірлері тақ болады.

Барлық жұп сандар 4-ке бөлінетін болғандықтан, форманың жұп сандары 4n + 2 квадрат сандар емес.

Барлық тақ квадраттар формада болғандықтан 4n + 1, форманың тақ сандары 4n + 3 квадрат сандар емес.

Тақ сандардың квадраттары формада болады 8n + 1, бері (2n + 1)² = 4n(n + 1) + 1 және n(n + 1) жұп сан.

Әрбір тақ мінсіз квадрат - бұл а сегіз бұрышты центр. Кез келген екі тақ идеал квадраттың арасындағы айырмашылық 8-ге еселік болады. 1 мен кез-келген жоғары тақ идеалдың төртбұрышының айырмасы әрқашанда үшбұрыштың сегіз есе, ал 9 мен кез-келген тақ тақтан жоғары квадраттың айырмасы сегіз есе үшбұрыш санына тең. сегіз. Барлық үшбұрышты сандардың тақ коэффициенті болғандықтан, бірақ екі мәні болмайды 2ⁿ форманың жалғыз тамаша квадраты, тақ коэффициенті бар мөлшермен ерекшеленеді 2ⁿ − 1 1, ал форманың жалғыз тамаша квадраты 2ⁿ + 1 9.

Ерекше жағдайлар

• Егер нөмір формада болса м5 қайда м алдыңғы цифрларды білдіреді, оның квадраты - n25 қайда n = м(м + 1) және цифрларды 25-ке дейін білдіреді. Мысалы, 65 квадратын мына арқылы есептеуге болады n = 6 × (6 + 1) = 42 бұл квадратты 4225-ке тең етеді.
• Егер нөмір формада болса м0 қайда м алдыңғы цифрларды білдіреді, оның квадраты - n00 қайда n = м². Мысалы, 70-тің квадраты 4900-ге тең.
• Егер санның екі цифры болса және формада болса 5м қайда м бірліктердің цифрын білдіреді, оның квадраты - ааб қайда аа = 25 + м және bb = м². Мысалы: 57, 25 + 7 = 32 және 7 квадратын есептеу үшін² = 49, бұл 57 дегенді білдіреді² = 3249.
• Егер сан 5-ке аяқталса, оның квадраты 5-ке аяқталады; сол сияқты 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625 және т.б.мен аяқталса, егер сан 6-ға аяқталса, оның квадраты 6-ға аяқталады, сол сияқты 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376. Мысалы, 55376 квадраты 3066501376, екеуі де аяқталады 376. (5, 6, 25, 76 және т.б. сандар деп аталады автоморфтық сандар. Олар A003226 реттілігі OEIS.^[2])

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

Әрі қарай оқу

• Конвей, Дж. Х. және Жігіт, Р. Сандар кітабы. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг, 30-32 бет, 1996 ж. ISBN  0-387-97993-X
• Киран Парулекар. Шаршылардың таңғажайып қасиеттері және оларды есептеу. Киран Анил Парулекар, 2012 https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC&source=gbs_navlinks_s