Сфералық 3-коллекторлы - Spherical 3-manifold

Жылы математика, а сфералық 3-коллекторлы М Бұл 3-коллекторлы форманың

${ displaystyle M = S ^ {3} / Gamma}$

қайда ${ displaystyle Gamma}$ Бұл ақырлы кіші топ туралы СО (4) еркін әрекет ету бойынша айналдыру арқылы 3-сфера ${ displaystyle S ^ {3}}$. Барлық осындай коллекторлар қарапайым, бағдарлы, және жабық. Кейде сфералық 3-коллекторлар деп аталады эллиптикалық 3-коллекторлар немесе Клиффорд-Клейн коллекторлары.

Қасиеттері

Сфералық 3-коллектор ${ displaystyle S ^ {3} / Gamma}$ шектеулі іргелі топ изоморфты Γ өзіне. The эллиптездеу гипотезасы, дәлелденген Григори Перелман, керісінше, барлық фундаменталды топтары бар 3-коллекторлар сфералық коллекторлар болып табылады.

Негізгі топ та циклдік, немесе а-ның орталық кеңейтімі болып табылады екіжақты, тетраэдрлік, сегіздік, немесе ikosahedral біркелкі ретті циклдік топ бойынша топтастыру. Бұл келесі коллекторларда сипатталған осындай коллекторлар жиынтығын 5 классқа бөледі.

Сфералық коллекторлар - бұл Турстонның 8 геометриясының бірі, сфералық геометриясы бар коллекторлар геометрия гипотезасы.

Циклдік корпус (линзалар кеңістігі)

Коллекторлар ${ displaystyle S ^ {3} / Gamma}$ Γ көмегімен циклдік дәл 3 өлшемді кеңістіктер. Линзаның кеңістігі оның негізгі тобымен анықталмайды (оныңгомеоморфты кеңістігі бар изоморфты іргелі топтар); бірақ кез-келген басқа сфералық коллектор.

Үш өлшемді линзалардың кеңістігі квоент ретінде пайда болады ${ displaystyle S ^ {3} subset mathbb {C} ^ {2}}$ форма элементтері құратын топтың әрекеті бойынша

${ displaystyle { begin {pmatrix} omega & 0 0 & omega ^ {q} end {pmatrix}}.}$

қайда ${ displaystyle omega = e ^ {2 pi i / p}}$. Мұндай линза кеңістігі ${ displaystyle L (p; q)}$ іргелі топқа ие ${ displaystyle mathbb {Z} / p mathbb {Z}}$ барлығына ${ displaystyle q}$, сондықтан әр түрлі кеңістіктер ${ displaystyle p}$ гомотопияға балама емес. Сонымен, гомеоморфизм мен гомотопиялық эквиваленттілікке дейінгі жіктемелер келесідей белгілі. Үшөлшемді кеңістіктер ${ displaystyle L (p; q_ {1})}$ және${ displaystyle L (p; q_ {2})}$ мыналар:

1. гомотопия эквиваленті және егер ол болса ${ displaystyle q_ {1} q_ {2} equiv pm n ^ {2} { pmod {p}}}$ кейбіреулер үшін ${ displaystyle n in mathbb {N};}$
2. егер және егер болса ғана гомеоморфты ${ displaystyle q_ {1} equiv pm q_ {2} ^ { pm 1} { pmod {p}}.}$

Атап айтқанда, линзалар кеңістігі L(7,1) және L(7,2) гомотопиялық эквивалентті, бірақ гомеоморфты емес екі 3-коллекторларға мысал келтіріңіз.

Линзаның кеңістігі L(1,0) - бұл 3-сфера, ал линза кеңістігі L(2,1) - бұл 3 өлшемді нақты проекциялық кеңістік.

Линза кеңістігін келесі түрінде ұсынуға болады Зейферт талшықты кеңістіктер көп жағдайда, әдетте, ең көп дегенде екі ерекше талшықтары бар 2-сфераның талшықты кеңістігі ретінде, алайда 4-ші ретті топтық линзалар кеңістігінде проективті жазықтықтың үстінде ерекше талшықтары жоқ Зейферт талшықты кеңістігі ретінде көрініс бар.

Дихедралды жағдай (призма коллекторлары)

A призма коллекторы жабық 3-өлшемді коллектор М оның іргелі тобы - бұл диедралды топтың орталық кеңеюі.

Негізгі топ π₁(М) of М реттіліктің циклдік тобының туындысы болып табылады м презентациясы бар топпен

${ displaystyle langle x, y mid xyx ^ {- 1} = y ^ {- 1}, x ^ {2 ^ {k}} = y ^ {n} rangle}$

бүтін сандар үшін к, м, n бірге к ≥ 1, м ≥ 1, n≥ 2 және м коприм 2-ге дейінn.

Сонымен қатар, іргелі топтың презентациясы бар

${ displaystyle langle x, y mid xyx ^ {- 1} = y ^ {- 1}, x ^ {2m} = y ^ {n} rangle}$

көшірме бүтін сандар үшін м, n бірге м ≥ 1, n ≥ 2. (The n мұнда алдыңғыға тең n, және м міне 2^к-1 алдыңғыға қарағанда есе көп м.)

Біз соңғы презентациямен жалғастырамыз. Бұл топ а метациклдік топ 4-бұйрықмн бірге абельдену 4-бұйрықм (сондықтан м және n екеуі де осы топпен анықталады) .Элемент ж а жасайды циклдік қалыпты топша 2 бұйрықnжәне элемент х 4 тапсырыс барм. The орталығы 2-ші реттік цикл болып табыладым арқылы жасалады х², ал орталықтың мәні - болып табылады екіжақты топ 2 бұйрықn.

Қашан м = 1 бұл топ екілік диедралды немесе дициклді топ. Ең қарапайым мысал м = 1, n = 2, π болғанда₁(М) болып табылады кватернион тобы 8. бұйрық.

Призма коллекторлары олардың іргелі топтарымен ерекше түрде анықталады: егер 3 тұйықталған коллектор призмалық коллектор сияқты бірдей іргелі топқа ие болса М, Бұл гомеоморфты дейін М.

Призмалық коллекторлар ретінде ұсынылуы мүмкін Зейферт талшықты кеңістіктер екі жолмен.

Тетраэдрлік жағдай

Іргелі топ - бұл циклдық тәртіптің туындысы м презентациясы бар топпен

${ displaystyle langle x, y, z mid (xy) ^ {2} = x ^ {2} = y ^ {2}, zxz ^ {- 1} = y, zyz ^ {- 1} = xy, z ^ {3 ^ {k}} = 1 rangle}$

бүтін сандар үшін к, м бірге к ≥ 1, м ≥ 1 және м 6-ға дейін.

Сонымен қатар, іргелі топтың презентациясы бар

${ displaystyle langle x, y, z mid (xy) ^ {2} = x ^ {2} = y ^ {2}, zxz ^ {- 1} = y, zyz ^ {- 1} = xy, z ^ {3m} = 1 rangle}$

тақ бүтін сан үшін м ≥ 1. (The м міне 3^к-1 алдыңғыға қарағанда есе көп м.)

Біз соңғы презентациямен жалғастырамыз. Бұл топта 24 тапсырыс барм. Элементтер х және ж үшін изоморфты қалыпты топшаны құру кватернион тобы 8. бұйрық орталығы 2-ші реттік цикл болып табыладым. Ол элементтер арқылы жасалады з³ және х² = ж², ал центрдің мәні тетраэдрлік топ, эквивалентті түрде ауыспалы топ A₄.

Қашан м = 1 бұл топ екілік тетраэдрлік топ.

Бұл коллекторлар олардың іргелі топтарымен ерекше түрде анықталады. Олардың барлығын мәні жағынан ерекше етіп ұсынуға болады Зейферт талшықты кеңістіктер: үлестік коллектор - бұл сфера, 2, 3 және 3 ретті 3 ерекше талшықтары бар.

Сегіз қырлы іс

Іргелі топ - бұл циклдық тәртіптің туындысы м 6-ға дейін коприм екілік октаэдрлік топ презентациясы бар (тапсырыс 48)

${ displaystyle langle x, y mid (xy) ^ {2} = x ^ {3} = y ^ {4} rangle.}$

Бұл коллекторлар олардың іргелі топтарымен ерекше түрде анықталады. Олардың барлығын мәні жағынан ерекше етіп ұсынуға болады Зейферт талшықты кеңістіктер: үлестік коллектор сфера болып табылады, 2, 3 және 4 ретті 3 ерекше талшықтары бар.

Икозаэдрлік іс

Іргелі топ - бұл циклдық тәртіптің туындысы м бірге 30-ға дейін бинарлы икосаэдрлік топ (тапсырыс 120), оның презентациясы бар

${ displaystyle langle x, y mid (xy) ^ {2} = x ^ {3} = y ^ {5} rangle.}$

Қашан м 1-ге тең, ал коллектор - Пуанкаре гомологиясы сферасы.

Бұл коллекторлар олардың іргелі топтарымен ерекше түрде анықталады. Олардың барлығын Seifert талшықты кеңістігі ретінде ерекше түрде ұсынуға болады: үлестік коллектор сфера, 2, 3 және 5 ретті 3 ерекше талшықтары бар.

Әдебиеттер тізімі

• Питер Орлик, Зейферт коллекторлары, Математикадан лекциялар, т. 291, Шпрингер-Верлаг (1972). ISBN  0-387-06014-6
• Уильям Джако, 3 көпжақты топология бойынша дәрістер ISBN  0-8218-1693-4
• Уильям Терстон, Үш өлшемді геометрия және топология. Том. 1. Силвио Леви өңдеген. Принстон математикалық сериясы, 35. Принстон университетінің баспасы, Принстон, Нью-Джерси, 1997. ISBN  0-691-08304-5