Модульдер шоғыры - Википедия - Sheaf of modules

Математикада а шоқ O-модульдер немесе жай O-модуль астам шыңдалған кеңістік (X, O) Бұл шоқ F кез келген ашық жиын үшін U туралы X, F(U) болып табылады O(U) -модуль және шектеу карталары F(U) → F(V) шектеу карталарымен үйлесімді O(U) → O(V): шектеу fs шектеу болып табылады f рет с кез келген үшін f жылы O(U) және с жылы F(U).

Стандартты жағдай - бұл X Бұл схема және O оның құрылымы шоқ. Егер O болып табылады тұрақты шоқ , содан кейін шоқ O-модульдер абель топтарының шоғырымен бірдей (яғни, ан абелиялық шоқ).

Егер X болып табылады қарапайым спектр сақина R, содан кейін кез келген R-модуль анықтайды OX-модуль (деп аталады байланысты шоқ) табиғи жолмен. Сол сияқты, егер R Бұл дәрежелі сақина және X болып табылады Proj туралы R, содан кейін кез-келген бағаланған модуль an OX-модуль табиғи жолмен. O-модульдер осындай сәнде пайда болады квазиогерентті шоқтар, және шын мәнінде аффиндік немесе проективті схемаларда барлық квазиогентті қабықтар осылайша алынады.

Сақиналы кеңістіктің үстіндегі модульдер шоғыры абель санаты.[1] Сонымен қатар, бұл санатта бар инъекциялар жеткілікті,[2] демек, анықтауға болады және анықтайды шоқ когомологиясы ретінде мен-шы оң туынды функция туралы ғаламдық бөлім функциясы .[3]

Мысалдар

Операциялар

Келіңіздер (X, O) сақиналы кеңістік болуы керек. Егер F және G болып табылады O-модульдер, содан кейін олардың тензор көбейтіндісі, деп белгіленеді

немесе ,

болып табылады O-жалпыға байланысты модуль (Қырынудан аулақ болуға болмайтынын көру үшін, бөлімнің ғаламдық бөлімдерін есептеңіз қайда O(1) болып табылады Серраның бұралмалы шоқтары проективті кеңістікте.)

Сол сияқты, егер F және G болып табылады O-модульдер, содан кейін

дегенді білдіреді O- бұл шоқ болып табылатын модуль .[4] Атап айтқанда, O-модуль

деп аталады қос модуль туралы F және деп белгіленеді . Ескерту: кез-келгені үшін O-модульдер E, F, канондық гомоморфизм бар

,

егер бұл изоморфизм болса E Бұл жергілікті шоқ ақырғы дәрежелі. Атап айтқанда, егер L жергілікті деңгейде бірінші дәреже жоқ (мысалы L деп аталады төңкерілетін шоқ немесе а сызық байламы ),[5] онда мыналар оқылады:

изоморфизм кластарын білдіретін инверсиялы шоқтар топ құрайды. Бұл топ деп аталады Пикард тобы туралы X және бірінші когомологиялық топпен канондық сәйкестендірілген (стандартты аргумент бойынша Ехехогомология ).

Егер E - бұл ақырғы дәрежелі жергілікті шоқ, содан кейін бар O- сызықтық карта жұптасу арқылы берілген; ол деп аталады іздеу картасы туралы E.

Кез келген үшін O-модуль F, тензор алгебрасы, сыртқы алгебра және симметриялы алгебра туралы F дәл осылай анықталады. Мысалы, к-шы сыртқы қуат

- бұл алдыңғы аспен байланыстырылған шоқ . Егер F жергілікті дәреже жоқ n, содан кейін деп аталады детерминантты сызық шоғыры (техникалық жағынан болса да) төңкерілетін шоқ ) of F, деп белгіленеді det (F). Табиғи тамаша жұптасу бар:

Келіңіздер f: (X, O) →(X', O') сақиналы кеңістіктердің морфизмі болуы мүмкін. Егер F болып табылады O-модуль, содан кейін тікелей кескін болып табылады O'- табиғи карта арқылы модуль O'f*O (мұндай табиғи карта - сақиналы кеңістік морфизмінің бір бөлігі.)

Егер G болып табылады O'-модуль, содан кейін модульге кері кескін туралы G болып табылады O- модульдердің тензор көбейтіндісі ретінде берілген модуль:

қайда болып табылады кескіннің кері шоғыры туралы G және алынған арқылы адекция.

Арасында тәуелді байланыс бар және : кез келген үшін O-модуль F және O '-модуль G,

абель тобы ретінде Бар проекция формуласы: үшін O-модуль F және жергілікті ақысыз O '-модуль E ақырғы дәрежелі,

Қасиеттері

Келіңіздер (X, O) сақиналы кеңістік болуы керек. Ан O-модуль F деп айтылады жаһандық бөлімдермен жасалған егер қарсылық болса O-модульдер:

.

Бұл анық, бұл жаһандық бөлімдер бар дегенді білдіреді смен туралы F суреттері сияқты смен әр сабағында Fх генерациялайды Fх сияқты Oх-модуль.

Мұндай пучтың мысалы ретінде байланысты алгебралық геометрия дейін R-модуль М, R кез келген ауыстырғыш сақина, үстінде сақина спектрі Spec(RТағы бір мысал: сәйкес Картан теоремасы А, кез келген когерентті шоқ үстінде Штейн коллекторы жаһандық бөлімдерден тұрады. (төменде Серре теоремасы А.) теориясында схемалар, байланысты түсінік желінің байламы. (Мысалы, егер L - бұл желінің байламы, оның белгілі бір қуаты жаһандық бөлімдерде пайда болады.)

Инъекциялық O-модуль болып табылады колба (яғни, барлық шектеулер карталары) F(U) → F(V) сурьективті болып табылады.)[6] Фаболды шоқ абелия шоқтары санатында ациклді болғандықтан, бұл дегеніміз мен- жаһандық бөлімнің оң жақ алынған функциясы санатында O-модульдер әдеттегіге сәйкес келеді мен- абелия қабығы санатындағы палогты когомология.[7]

Модульге байланысты қабық

Келіңіздер М сақина үстіндегі модуль болыңыз A. Қойыңыз X = Spec A және жаз . Әр жұп үшін , локализацияның әмбебап қасиеті бойынша табиғи карта бар

сол қасиетке ие . Содан кейін

- бұл объектілері жиынтық болып табылатын категорияға қарсы функция Д.(f) және морфизмдерге жиындардың қосылуы абель топтарының категориясы. Біреуі көрсете алады[8] бұл шын мәнінде а B-шоқ (яғни, ол желімдеу аксиомасын қанағаттандырады) және осылайша шоқты анықтайды қосулы X байланысты шоқ деп аталады М.

Ең қарапайым мысал - бұл шоқтың құрылымы X; яғни, . Оның үстіне, құрылымына ие -модуль, осылайша біреуін алады нақты функция МодтанA, модульдер санаты аяқталды A модульдер санатына . Ол Mod эквиваленттілігін анықтайдыA санатына квазиогерентті шоқтар қосулы X, кері , ғаламдық бөлім функциясы. Қашан X болып табылады Ноетриялық, функционал - бұл ақырғы түрде құрылған категориядан алынған эквивалент A- когерентті шоқ категориясына модульдер X.

Құрылыс келесі қасиеттерге ие: кез келген үшін A-модульдер М, N,

  • .[9]
  • Кез-келген негізгі идеал үшін б туралы A, сияқты Oб = Aб-модуль.
  • .[10]
  • Егер М болып табылады түпкілікті ұсынылған, .[10]
  • , Mod арасындағы эквиваленттіліктен бастапA және квази-когерентті қабықтардың санаты X.
  • ;[11] атап айтқанда, тікелей соманы және ~ маршрутты қабылдау.

Бағаланған модульге байланысты қабық

Алдыңғы бөлімде конструкция мен эквиваленттіліктің деңгейлі аналогы бар. Келіңіздер R ретінде градустық элементтер тудыратын деңгейлі сақина болыңыз R0-алгебра (R0 нөлдік дана дегенді білдіреді) және М бағаланған R-модуль. Келіңіздер X болуы Proj туралы R (сондықтан X Бұл проективті схема егер R Ноетрия). Сонда бар O-модуль кез келген біртекті элемент үшін f оң дәрежесі R, табиғи изоморфизм бар

аффиндік схемадағы модульдер шоғыры ретінде ;[12] іс жүзінде бұл анықтайды желімдеу арқылы.

Мысал: Рұқсат етіңіз R(1) баға қою Rберілген модуль R(1)n = Rn+1. Содан кейін аталады Серраның бұралмалы шоқтары, бұл қосарланған тавтологиялық сызық байламы егер R бір дәрежеде ақырындап жасалады.

Егер F болып табылады O-модуль қосулы X, содан кейін, жазу , канондық гомоморфизм бар:

,

бұл тек егер болса ғана изоморфизм болып табылады F квазиогерентті.

Компьютерлік когомология

Қаптар когомологиясы қиын есептеулерге ие. Осыған байланысты кез-келген практикалық есептеу үшін келесі жалпы факт маңызды:

Теорема — Келіңіздер X топологиялық кеңістік болыңыз, F оған абелиялық шоқ және ашық қақпағы X осындай кез келген үшін мен, б және кірді . Содан кейін кез-келген үшін мен,

мұнда оң жағы мен-шы Ехехогомология.

Серрдің теоремасы А егер болса X бұл проективті әртүрлілік және F оған жеткілікті мөлшерде келісілген пучок n, F(n) көптеген ғаламдық бөлімдермен жасалады. Оның үстіне,

(а) әрқайсысы үшін мен, Hмен(X, F) түпкілікті құрылады R0, және
(b) (Серре теоремасы Б ) Бүтін сан бар n0, байланысты F, осылай
.

Қаптың кеңеюі

Келіңіздер (X, O) сақиналы кеңістік болып, рұқсат етіңіз F, H шоқ бол O-модульдер қосулы X. Ан кеңейту туралы H арқылы F Бұл қысқа нақты дәйектілік туралы O-модульдер

Топтық кеңейтулер сияқты, егер біз түзететін болсақ F және H, содан кейін барлық эквиваленттік кластары H арқылы F қалыптастыру абель тобы (сал.) Баер сомасы ) изоморфты болып табылады Қосымша топ , онда сәйкестендіру элементі тривиальды кеңейтуге сәйкес келеді.

Бұл жағдайда H болып табылады O, бізде: кез келген үшін мен ≥ 0,

өйткені екі жағы да бір функцияның дұрыс шығарылған функциялары

Ескерту: Кейбір авторлар, атап айтқанда Хартшорн, жазбаны тастайды O.

Болжам X бұл ноетрия сақинасының үстіндегі проективті схема. Келіңіздер F, G үйлесімді шептер болыңыз X және мен бүтін сан. Сонда бар n0 осындай

.[13]

Жергілікті ақысыз шешімдер

кез-келген когерентті шоқ үшін оңай есептелуі мүмкін жергілікті рұқсатты қолдану[14]: кешен берілген

содан кейін

демек

Мысалдар

Гиперсурет

Тегіс гипер бетті қарастырыңыз дәрежесі . Содан кейін, біз рұқсатты есептей аламыз

және оны табыңыз

Тегіс толық қиылыстар одағы

Схеманы қарастырайық

қайда тегіс толық қиылысу болып табылады және , . Бізде кешен бар

шешу біз оны есептеу үшін қолдана аламыз .

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ Вакил, Математика 216: Алгебралық геометрияның негіздері, 2.5.
  2. ^ Хартшорн, Ч. III, Ұсыныс 2.2.
  3. ^ Бұл когомологиялық функция абелиялық шоқтар санатындағы ғаламдық секцияның оң туынды функцияларымен сәйкес келеді; cf. Хартшорн, Ч. III, ұсыныс 2.6.
  4. ^ Канондық гомоморфизм бар:
    егер бұл изоморфизм болса F ақырғы презентация (EGA, Ch. 0, 5.2.6.)
  5. ^ Когерентті қабықшалар үшін тензорға кері шама жергілікті деңгейде бірінші деңгейден босатылғанмен бірдей; іс жүзінде келесі факт бар: егер және егер F келісімді, содан кейін F, G жергілікті деңгейде бірінші деңгейден босатылған. (EGA, Ch 0, 5.4.3).
  6. ^ Хартшорн, Ch III, Лемма 2.4.
  7. ^ қараңыз: https://math.stackexchange.com/q/447234
  8. ^ Хартшорн, Ч. II, ұсыныс 5.1.
  9. ^ EGA I, Ч. I, 1.3.6 ұсыныс.
  10. ^ а б EGA I, Ч. Мен, Короллер 1.3.12.
  11. ^ EGA I, Ч. Мен, Короллер 1.3.9.
  12. ^ Хартшорн, Ч. II, ұсыныс 5.11.
  13. ^ Хартшорн, Ч. III, ұсыныс 6.9.
  14. ^ Хартшорн, Робин. Алгебралық геометрия. 233–235 бб.

Әдебиеттер тізімі