Жартылай майор және жартылай минор осьтері - Semi-major and semi-minor axes

Бұл мақала үшін қосымша дәйексөздер қажет тексеру. Өтінемін көмектесіңіз осы мақаланы жақсарту арқылы дәйексөздерді сенімді дерек көздеріне қосу. Ресурссыз материалға шағым жасалуы және алынып тасталуы мүмкін. Дереккөздерді табу: «Жартылай майор және жартылай минор осьтері»  – жаңалықтар  · газеттер  · кітаптар  · ғалым  · JSTOR (Наурыз 2017) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз)

Жартылай майор (а) және жартылай минор осі (б) эллипс

Серияның бір бөлігі
Астродинамика
Орбиталық механика
Орбиталық параметрлер Апсис Периапсис аргументі Азимут Эксцентриситет Бейімділік Орташа аномалия Орбиталық түйіндер Жартылай негізгі ось Шынайы аномалия
Түрлері екі денелі орбиталар, арқылы эксцентриситет Дөңгелек орбита Эллиптикалық орбита Трансферлік орбита (Hohmann трансфер орбитасы Екі эллиптикалық орбита ) Параболалық орбита Гиперболалық орбита Радиалды орбита Шіріген орбита
Теңдеулер Динамикалық үйкеліс Қашу жылдамдығы Кеплер теңдеуі Кеплердің планеталар қозғалысының заңдары Орбиталық кезең Орбиталық жылдамдық Беткі ауырлық күші Меншікті орбиталық энергия Vis-viva теңдеуі
Аспан механикасы
Гравитациялық әсер Бариентр Тау сферасы Ұйқылар Әсер ету саласы
N-дене орбиталары Лагранждық нүктелер (Гало орбиталары ) Лиссажды орбиталар Ляпунов айналады
Инженерлік және тиімділік
Ұшу алдындағы инженерия Масса коэффициенті Пайдалану жүктемесі Жанармай массасының үлесі Циолковский зымыран теңдеуі
Тиімділік шаралары Тартылыс күші Оберт әсері

Жылы геометрия, анның үлкен осі эллипс бұл ең ұзын диаметрі: а сызық сегменті ол орталықтан өтеді және екеуі де ошақтар, ұштарының ең кең нүктелерінде периметрі.

The жартылай негізгі ось үлкен осінің жартысын құрайды, осылайша ортасынан а арқылы өтеді назар аудару және периметрі бойынша. The жартылай минорлы ось эллипс немесе гипербола дегеніміз - орналасқан кесінді тік бұрыштар жартылай үлкен осьпен және конус қимасының ортасында бір ұшы бар. Шеңбердің ерекше жағдайы үшін жартылай осьтердің ұзындықтары екеуіне тең радиусы шеңбердің.

Жартылай негізгі осьтің ұзындығы а эллипстің жартылай минор осінің ұзындығымен байланысты б арқылы эксцентриситет e және жартылай латустық тік ішек ${ displaystyle ell}$, келесідей:

${ displaystyle { begin {aligned} b & = a { sqrt {1-e ^ {2}}}, ell & = a left (1-e ^ {2} right), , a ell & = b ^ {2}. end {aligned}}}$

А-ның жартылай негізгі осі гипербола бұл шартты түрде, екі тармақ арасындағы қашықтықтың жартысынан кемиді немесе кемиді. Осылайша, бұл орталықтан екеуіне дейінгі қашықтық шың гиперболаның.

A парабола бір фокус тұрақты болатын эллипс тізбегінің шегі ретінде алуға болады, өйткені екіншісі бір бағытта ерікті түрде бір бағытта қозғалуға мүмкіндік береді. ${ displaystyle ell}$ тұрақты. Осылайша а және б шексіздікке бейім, а қарағанда жылдамырақ б.

Үлкен және кіші осьтер болып табылады симметрия осьтері қисық үшін: эллипсте кіші ось қысқа болады; гиперболада бұл гиперболамен қиылыспайтын нәрсе.

Эллипс

Эллипстің теңдеуі:

${ displaystyle { frac { left (xh right) ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac { left (yk right) ^ {2}} {b ^ {2} }} = 1.}$

Мұндағы (h, k) - эллипстің центрі Декарттық координаттар, онда ерікті нүкте (х, у) арқылы беріледі.

Жартылай негізгі ось - бұл максималды және минималды арақашықтықтардың орташа мәні ${ displaystyle r _ { max}}$ және ${ displaystyle r _ { min}}$ фокустағы эллипстің - яғни фокустың негізгі өсінің соңғы нүктелеріне дейінгі арақашықтықтарының.^{[дәйексөз қажет ]} Астрономияда бұл экстремалды нүктелер деп аталады апсидтер.^[1]

${ displaystyle a = { frac {r _ { max} + r _ { min}} {2}}.}$

Эллипстің жартылай минор осі болып табылады орташа геометриялық осы қашықтықтардың:

${ displaystyle b = { sqrt {r _ { max} r _ { min}}}.}$

The эксцентриситет эллипс ретінде анықталады

${ displaystyle e = { sqrt {1 - { frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}$ сондықтан ${ displaystyle r _ { min} = a (1-e), r _ { max} = a (1 + e)}$.

Енді in теңдеуін қарастырайық полярлық координаттар, бір фокустың шығу тегіне, ал екіншісіне ${ displaystyle ( theta = pi) -}$бағыт,

${ displaystyle r (1 + e cos theta) = ell. ,}$

Орташа мәні ${ displaystyle r = ell / (1-e)}$ және ${ displaystyle r = ell / (1 + e)}$, үшін ${ displaystyle theta = pi}$ және ${ displaystyle theta = 0}$ болып табылады

${ displaystyle a = { ell over 1-e ^ {2}}. ,}$

Эллипсте жартылай ірі ось болып табылады орташа геометриялық центрден фокусқа дейінгі қашықтықты және центрден директриске дейінгі арақашықтықты.

Эллипстің жартылай минорлы осі эллипстің центрінен өтеді (нүктенің жартысынан және оның арасындағы түзудің нүктесі ошақтар ) эллипстің шетіне дейін. Жартылай минор осі кіші осьтің жартысын құрайды. Кіші ось - эллипстің шетіндегі екі нүктені біріктіретін үлкен оске перпендикуляр ең ұзын сызық сегменті.

Жартылай минорлы ось б жартылай негізгі осьпен байланысты а эксцентриситет арқылы e және жартылай латустық тік ішек ${ displaystyle ell}$, келесідей:

${ displaystyle { begin {aligned} b & = a { sqrt {1-e ^ {2}}} , ! a ell & = b ^ {2}. , ! end {aligned }}}$

A парабола бір фокус тұрақты болатын эллипс тізбегінің шегі ретінде алуға болады, өйткені екіншісі бір бағытта ерікті түрде бір бағытта қозғалуға мүмкіндік береді. ${ displaystyle ell}$ тұрақты. Осылайша а және б шексіздікке бейім, а қарағанда жылдамырақ б.

Жартылай мина осінің ұзындығын келесі формула арқылы да табуға болады,^[2]

${ displaystyle 2b = { sqrt {(p + q) ^ {2} -f ^ {2}}}}$

қайда f - бұл ошақтар арасындағы қашықтық, б және q әр фокустың эллипстің кез келген нүктесіне дейінгі арақашықтықтары.

Гипербола

А-ның жартылай негізгі осі гипербола шартты түрде, екі тармақ арасындағы қашықтықтың жартысынан кемиді немесе кемиді; егер бұл болса а х-бағытта теңдеу:^{[дәйексөз қажет ]}

${ displaystyle { frac { left (xh right) ^ {2}} {a ^ {2}}} - { frac { left (yk right) ^ {2}} {b ^ {2} }} = 1.}$

Бізде жартылай латустық тік ішек пен эксцентриситет

${ displaystyle a = { ell over e ^ {2} -1}.}$

Гиперболаның көлденең осі үлкен осімен сәйкес келеді.^[3]

Гиперболада конъюгаталық ось немесе ұзындықтың кіші осі ${ displaystyle 2b}$, эллипстің кіші осіне сәйкес келетін көлденең оське немесе үлкен оске перпендикуляр жүргізілуі мүмкін, соңғысы екеуін байланыстырады төбелер (айналу нүктелері) гиперболаның центрінде екі ось қиылысқан кезде. Соңғы нүктелер ${ displaystyle (0, pm b)}$ кіші ось асимптоталардың биіктігінде гипербола шыңдарының үстінде / астында жатыр. Кіші осьтің кез-келген жартысы ұзындықтағы жартылай минор осі деп аталады б. Жартылай үлкен осьтің ұзындығын (центрден төбеге дейінгі арақашықтықты) былайша белгілейді а, жартылай минор және жартылай үлкен осьтердің ұзындықтары осы осьтерге қатысты гиперболаның теңдеуінде келесідей көрінеді:

${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1.}$

Жартылай минорлы ось - бұл гиперболаның фокустың бірінен асимптотаға дейінгі арақашықтық. Көбінесе әсер ету параметрі, бұл физика мен астрономияда маңызды және бөлшектің фокустағы жүрісі алаңдатпаса, оның фокусты жіберіп алмайтын қашықтығын өлшейді.^{[дәйексөз қажет ]}

Жартылай минор осі мен жартылай негізгі ось эксцентриситет арқылы өзара байланысты:

${ displaystyle b = a { sqrt {e ^ {2} -1}}.}$^[4]

Гиперболада екенін ескеріңіз б қарағанда үлкен болуы мүмкін а.^[5]

Астрономия

Орбиталық кезең

Жылы астродинамика The орбиталық кезең Т Орталық дененің айналма немесе эллипс тәрізді орбита бойымен айналатын кішкентай дененің:^[1]

${ displaystyle T = 2 pi { sqrt {a ^ {3} over mu}}}$

қайда:

${ displaystyle mu}$ болып табылады гравитациялық стандартты параметр орталық органның

Берілген жартылай үлкен осі бар барлық эллипстер үшін олардың эксцентриситеттілігін ескермей, орбиталық кезең бірдей болатындығын ескеріңіз.

The нақты бұрыштық импульс сағ Орталық дененің айналма немесе эллипс тәрізді орбита бойымен айналатын кішкентай дененің:^[1]

${ displaystyle h = { sqrt {a mu left (1-e ^ {2} right)}}}$

қайда:

а және ${ displaystyle mu}$ жоғарыда көрсетілгендей

Жылы астрономия, жартылай негізгі ось маңыздылардың бірі болып табылады орбиталық элементтер туралы орбита, онымен бірге орбиталық кезең. Үшін Күн жүйесі жартылай негізгі ось орбита кезеңімен байланысты Кеплердің үшінші заңы (бастапқыда эмпирикалық түрде алынған),^[1]

${ displaystyle T ^ {2} propto a ^ {3} ,}$

қайда Т кезеңі және а жартылай негізгі ось болып табылады. Бұл форма үшін жалпы форманы жеңілдету болып шығады екі дене проблемасы, анықталғандай Ньютон:^[1]

${ displaystyle T ^ {2} = { frac {4 pi ^ {2}} {G (M + m)}} a ^ {3} ,}$

қайда G болып табылады гравитациялық тұрақты, М болып табылады масса орталық органның, және м - бұл айналмалы дененің массасы. Әдетте, орталық дененің массасы орбитадағы денеге қарағанда анағұрлым көп, яғни м ескерілмеуі мүмкін. Осындай болжам жасау және типтік астрономия бірліктерін қолдану Кеплер ашқан қарапайым түрге әкеледі.

Орбитадағы дененің айналасындағы жолы бариентр және оның бастапқыға қатысты жолы - бұл эллипс.^[1] Жартылай ірі осьті астрономияда біріншіліктің екіншісіне массаның арақатынасы едәуір үлкен болған кезде біріншіліктен екіншілікке дейінгі арақашықтық ретінде пайдаланады (${ displaystyle M gg m}$); осылайша, планеталардың орбиталық параметрлері гелиоцентрлік жағдайда берілген. Примоцентристік және «абсолютті» орбита арасындағы айырмашылықты Жер-Ай жүйесіне қарап жақсы көрсету мүмкін. Бұл жағдайда массаның арақатынасы мынада 81.30059. Жер-Айға тән арақашықтық, жартылай негізгі ось геоцентрлік Ай орбитасы, 384,400 км құрайды. (Ай орбитасының эксцентриситілігін ескере отырып, e = 0,0549, оның жартылай минорлы осі 383,800 км құрайды. Осылайша Айдың орбитасы дөңгелек болады.) бариентрлік керісінше, Ай орбитасы 379730 км жартылай ірі оське ие, ал Жердің қарсы орбитасы айырмашылықты қабылдайды, 4670 км. Айдың орташа центрлік орбиталық жылдамдығы 1,010 км / с құрайды, ал Жердікі 0,012 км / с құрайды. Осы жылдамдықтардың жиынтығы айдың орташа центрлік жылдамдығын 1,022 км / с құрайды; бірдей мәнді тек геоцентрлік жартылай ірі осьтің мәнін ескере отырып алуға болады.^{[дәйексөз қажет ]}

Орташа қашықтық

Жартылай үлкен ось - эллипстің бастапқы фокусы мен айналмалы дене арасындағы «орташа» қашықтық деп жиі айтады. Бұл өте дәл емес, себебі бұл орташа мәннің қабылдануына байланысты.

• аралықты орташа есептеу эксцентрлік аномалия шынымен де жартылай негізгі оське әкеледі.
• орта есеппен шынайы аномалия (фокуста өлшенген шын орбиталық бұрыш) жартылай минор осіне әкеледі ${ displaystyle b = a { sqrt {1-e ^ {2}}}}$.
• орта есеппен аномалияны білдіреді (орбиталық кезеңнің перицентрден бері өткен бөлігі, бұрыш түрінде көрсетілген) орташа уақытты береді ${ displaystyle a left (1 + { frac {e ^ {2}} {2}} right) ,}$.

Радиустың өзара уақытының орташа мәні, ${ displaystyle r ^ {- 1}}$, болып табылады ${ displaystyle a ^ {- 1}}$.

Энергия; жай векторлардан жартылай ірі осьті есептеу

Жылы астродинамика, жартылай негізгі ось а бастап есептеуге болады орбиталық күй векторлары:

${ displaystyle a = - { mu over {2 varepsilon}} ,}$

үшін эллиптикалық орбита және конвенцияға байланысты бірдей немесе

${ displaystyle a = { mu over {2 varepsilon}} ,}$

үшін гиперболалық траектория, және

${ displaystyle varepsilon = {v ^ {2} over {2}} - { mu over left | mathbf {r} right |}}$

(меншікті орбиталық энергия ) және

${ displaystyle mu = GM ,}$

(гравитациялық стандартты параметр ), мұнда:

• v орбиталық жылдамдық жылдамдық векторы орбитадағы объектінің,
• р Бұл картезиан позиция векторы а координаталарында айналатын объектінің анықтама жүйесі орбитаның элементтері есептелуі тиіс (мысалы, Жер айналасындағы орбита үшін геоцентрлік экваторлық немесе Күн айналасындағы орбита үшін гелиоцентрлік эклиптика),
• G болып табылады гравитациялық тұрақты,
• М - бұл гравитациялық дененің және
• ${ displaystyle varepsilon}$ - бұл айналмалы дененің меншікті энергиясы.

Жалпы массаның берілген мөлшері үшін меншікті энергия мен жартылай үлкен ось эксцентриситетке немесе массаның арақатынасына қарамастан әрқашан бірдей болатындығын ескеріңіз. Керісінше, берілген жалпы масса мен жартылай негізгі ось үшін жалпы меншікті орбиталық энергия әрқашан бірдей. Бұл мәлімдеме кез-келген жағдайда әрқашан дұрыс болады.^{[дәйексөз қажет ]}

Планеталардың жартылай және кіші осьтері

Планета орбиталары әрдайым эллипстің негізгі мысалдары ретінде келтіріледі (Кеплердің бірінші заңы ). Дегенмен, жартылай және кіші осьтердің минималды айырмашылығы олардың сыртқы түрінен іс жүзінде дөңгелек болатындығын көрсетеді. Бұл айырмашылық (немесе қатынас) эксцентриситетке негізделген және келесідей есептеледі ${ displaystyle {{a} over {b}} = {1 over { sqrt {1-e ^ {2}}}}}$ бұл әдеттегі экцентриситет үшін өте аз нәтиже береді.

Көрнекті эллиптикалық орбитаға болжам жасаудың себебі афелион мен перигелион арасындағы үлкен айырмашылықта жатыр. Бұл айырмашылық (немесе коэффициент) эксцентриситетке негізделеді және есептеледі ${ displaystyle {{r _ { text {a}}} over {r _ { text {p}}}} = {{1 + e} over {1-e}}}$ . Афелион мен перигелион арасындағы үлкен айырмашылыққа байланысты, Кеплердің екінші заңы оңай елестетіледі.

Сондай-ақ қараңыз

• Жартылай диаметр

Әдебиеттер тізімі

Сыртқы сілтемелер

• Эллипстің жартылай майор және жартылай минор осьтері Интерактивті анимациямен