N-дене проблемасы - Википедия - n-body problem

Жылы физика, $n$ - адамның проблемасы тобының жеке қозғалыстарын болжау проблемасы болып табылады аспан объектілері бір-бірімен өзара әрекеттесу гравитациялық.^[1] Бұл мәселені шешудің себептерін түсінуге деген ұмтылыс түрткі болды Күн, Ай, планеталар және көрінетін жұлдыздар. 20 ғасырда, динамикасын түсіну глобулярлық кластер жұлдызды жүйелер маңызды болды $n$ - адамның проблемасы.^[2] The $n$ - адамның проблемасы жалпы салыстырмалылық шешімі едәуір қиын.

Классикалық физикалық мәселені бейресми түрде келесі түрде айтуға болады:

Квазиге тұрақты орбиталық қасиеттерді ескере отырып (лездік позиция, жылдамдық және уақыт)^[3] аспан денелері тобының, олардың интерактивті күштерін болжау; демек, олардың болашақтағы барлық орбиталық қозғалыстарын болжау.^[4]

The екі дене проблемасы толығымен шешілді және төменде, сондай-ақ әйгіліде талқыланады шектелген үш дене проблемасы.^[5]

Тарих

Планета орбитасының үш орбиталық позициясын білу - Сир алған позициялар Исаак Ньютон астрономнан Джон Фламстид^[6] - Ньютон тікелей аналитикалық геометрия арқылы теңдеу құра алды, планетаның қозғалысын болжады; яғни, оның орбиталық қасиеттерін беру: орны, орбиталық диаметрі, периоды және орбиталық жылдамдығы.^[7] Осыны жасай отырып, ол және басқалары көп ұзамай бірнеше жыл ішінде бұл қозғалыс теңдеулері кейбір орбиталарды дұрыс немесе тіпті жақсы болжай алмады.^[8] Ньютон бұған барлық планеталардағы гравитациялық интерактивті күштер олардың барлық орбиталарына әсер еткендіктен екенін түсінді.

Жоғарыда келтірілген ашылым мәселенің дәл өзегіне сәйкес келеді, дәл осы $n$ - дененің проблемасы физикалық тұрғыдан: Ньютон түсінгендей, планетаның шын орбитасын анықтау үшін бастапқы күй мен жылдамдықты немесе үш орбиталық позицияны көрсету жеткіліксіз: гравитациялық интерактивті күштер де белгілі болуы керек. Осылай деген сана мен өсу пайда болды $n$ - 17 ғасырдың басындағы «проблема». Бұл тартылыс күші Ньютонның күшіне сәйкес келеді қозғалыс заңдары және оған бүкіләлемдік тартылыс заңы, бірақ көптеген ( $n$ өзара қарым-қатынастар тарихи тұрғыдан нақты шешімді шешілмейтін етіп жасады. Бір қызығы, бұл сәйкестік дұрыс емес тәсілге әкелді.

Ньютонның уақытынан кейін $n$ -тарихи тұрғыдан ешкімнің проблемасы дұрыс айтылмаған өйткені оған гравитациялық интерактивті күштерге сілтеме кірмеген. Ньютон мұны тікелей айтпайды, бірақ оны білдіреді Принципия The $n$ - сол гравитациялық интерактивті күштердің арқасында бірде бір проблема шешілмейді.^[9] Ньютон айтты^[10] оның қағидасының 21-тармағында:

Демек, тартымды күш екі денеде де болады. Күн Юпитерді және басқа планеталарды тартады, Юпитер оның серіктерін тартады және сол сияқты жер серіктері бір-біріне әсер етеді. Планеталардың әрқайсысының екіншісіндегі әрекеттерін бір-бірінен ажыратуға болады және оларды әрқайсысы бірін-бірі өзіне тартатын екі әрекет деп санауға болады, бірақ олардың денелері бірдей болғандықтан, олар екі емес, бірақ екі терминал арасындағы қарапайым операция. Екі денені бір-біріне арқанның жиырылуы арқылы тартуға болады. Әрекеттің себебі екі жақты, яғни екі дененің әрқайсысының орналасуы; іс-әрекет екі денеде болатындай етіп екі жақты; бірақ екі дененің арасында қандай болса, ол жалғыз, ал бір денеде ...

Ньютон ол арқылы қорытындылады үшінші қозғалыс заңы «осы Заңға сәйкес барлық органдар бір-бірін тартуға тиіс». Гравитациялық интерактивті күштердің болуын білдіретін бұл соңғы мәлімдеме маңызды болып табылады.

Төменде көрсетілгендей, мәселе де сәйкес келеді Жан Ле Ронд Д'Алемберт Ньютондық емес бірінші және екінші қағидалар және бейсызықтық $n$ - дененің проблемалық алгоритмі, соңғысы осы интерактивті күштерді есептеуге арналған жабық түрдегі шешімге мүмкіндік береді.

-Ның жалпы шешімін табу мәселесі $n$ - адамның проблемасы өте маңызды және күрделі деп саналды. Шынында да, 19 ғасырдың соңында Король Оскар II Швеция, кеңес берді Gösta Mittag-Leffler, проблеманың шешімін таба алатын кез-келген адамға сыйлық тағайындады. Хабарландыру өте нақты болды:

Ньютон заңы бойынша әрқайсысын тартатын ерікті көптеген масса нүктелерінің жүйесін ескере отырып, екі нүкте ешқашан соқтығыспайды деген болжам бойынша, уақыттың белгілі функциясы болып табылатын айнымалының қатарлары ретінде әр нүктенің координаталарының көрінісін табуға тырысыңыз және олардың барлық мәндері үшін серия біркелкі жинақталады.

Егер мәселе шешілмесе, классикалық механикаға қосқан кез-келген басқа маңызды үлес өте маңызды деп саналады. Сыйлық берілді Пуанкаре, ол бастапқы мәселені шешпесе де. (Оның үлесінің алғашқы нұсқасында тіпті үлкен қателік болған^[11]). Ақырында басылған нұсқа көптеген маңызды идеяларды қамтыды, олар дамуға әкелді хаос теориясы. Бастапқыда айтылған проблема ақыр соңында шешілді Карл Фритиоф Сундман үшін $n = 3$ .

Жалпы тұжырымдау

The $n$ - адам мәселесі қарастырады $n$ нүктелік массалар $м мен, мен = 1, 2, \dots, n$ ан инерциялық санақ жүйесі үш өлшемді кеңістікте $ℝ 3$ өзара тартылыс күшінің әсерінен қозғалатын. Әрбір масса $м мен$ позициялық векторы бар $q мен$ . Ньютонның екінші заңы массалық уақыт үдеуі дейді $м мен .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} г. 2 q мен / дт 2$ массадағы күштердің қосындысына тең. Ньютонның ауырлық күші заңы ауырлық күші массаға әсер етті дейді $м мен$ бір масса бойынша $м j$ арқылы беріледі^[12]

{ displaystyle mathbf {F} _ {ij} = { frac {Gm_ {i} m_ {j}} { left | mathbf {q} _ {j} - mathbf {q} _ {i} right | ^ {2}}} cdot { frac { left ( mathbf {q} _ {j} - mathbf {q} _ {i} right)} { left | mathbf { q} _ {j} - mathbf {q} _ {i} right |}} = { frac {Gm_ {i} m_ {j} left ( mathbf {q} _ {j} - mathbf {q} _ {i} right)} { left | mathbf {q} _ {j} - mathbf {q} _ {i} right | ^ {3}}},}

қайда $G$ болып табылады гравитациялық тұрақты және $|| q j - q мен ||$ - арасындағы қашықтықтың шамасы $q мен$ және $q j$ (индукцияланған метрика The $л 2$ норма ).

Барлық массаның қорытындысынан нәтиже шығады $n$ -біреу қозғалыс теңдеулері:

{ displaystyle m_ {i} { frac {d ^ {2} mathbf {q} _ {i}} {dt ^ {2}}} = sum _ {j = 1 j neq i} ^ {n} { frac {Gm_ {i} m_ {j} left ( mathbf {q} _ {j} - mathbf {q} _ {i} right)} {{left | mathbf {q } _ {j} - mathbf {q} _ {i} right | ^ {3}}} = - { frac { ішінара U} { жарым-жартылай mathbf {q} _ {i}}}}

қайда $U$ болып табылады өзіндік әлеует энергия

{ displaystyle U = - sum _ {1 leq i

Импульсті анықтау $б мен = м мен г. q мен / дт$ , Гамильтонның қозғалыс теңдеулері үшін $n$ - адамның проблемасы болады^[13]

{ displaystyle { frac {d mathbf {q} _ {i}} {dt}} = { frac { ішінара H} { жартылай mathbf {p} _ {i}}} qquad { frac {d mathbf {p} _ {i}} {dt}} = - { frac { ішінара H} { жартылай mathbf {q} _ {i}}},}

қайда Гамильтондық функция болып табылады

{ displaystyle H = T + U}

және $Т$ болып табылады кинетикалық энергия

{ displaystyle T = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac { left | mathbf {p} _ {i} right | ^ {2}} {2m_ {i}}} .}

Гамильтон теңдеулері $n$ - адамның проблемасы $6 n$ бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер, бірге $6 n$ бастапқы шарттар сияқты $3 n$ бастапқы позиция координаттары және $3 n$ импульстің бастапқы мәндері.

Симметриялар $n$ - жалпыға ортақ проблема қозғалыс интегралдары мәселені жеңілдететін.^[14] Трансляциялық симметрия Мәселенің нәтижесі масса орталығы

{ displaystyle mathbf {C} = { frac { displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} mathbf {q} _ {i}} { displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i}}}}

тұрақты жылдамдықпен қозғалу, осылайша $C = L 0 т + C 0$ , қайда $L 0$ - бұл сызықтық жылдамдық және $C 0$ бастапқы позиция болып табылады. Қозғалыс тұрақтылығы $L 0$ және $C 0$ қозғалыстың алты интегралын білдіреді. Айналмалы симметрия жалпы нәтижелер бұрыштық импульс тұрақты

{ displaystyle mathbf {A} = sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {q} _ {i} times mathbf {p} _ {i},}

Мұндағы × кросс өнім. Толық бұрыштық импульс үш компоненті $A$ қозғалыстың тағы үш константын шығарыңыз. Қозғалыстың соңғы жалпы константасын энергияны сақтау $H$ . Демек, әрқайсысы $n$ - бірде-бір проблемада қозғалыс он интегралды болады.

Себебі $Т$ және $U$ болып табылады біртектес функциялар сәйкесінше 2 және −1 дәрежедегі қозғалыс теңдеулерінде а болады инвариантты масштабтау: егер $q мен (т)$ шешім болып табылады, солай болады $λ - 2 ⁄ 3 q мен (λt)$ кез келген үшін $λ > 0$ .^[15]

The инерция моменті туралы $n$ - дене жүйесі арқылы беріледі

{ displaystyle I = sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} mathbf {q} _ {i} cdot mathbf {q} _ {i} = sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} left | mathbf {q} _ {i} right | ^ {2}}

және вирустық арқылы беріледі $Q = 1 / 2 dI / дт$ . Содан кейін Лагранж-Якоби формуласы дейді^[16]

{ displaystyle { frac {d ^ {2} I} {dt ^ {2}}} = 2T-U.}

Жүйелер үшін динамикалық тепе-теңдік, ұзақ мерзімді уақыт $⟨ г. 2 Мен / дт 2 ⟩$ нөлге тең. Сонда орташа кинетикалық энергия жалпы потенциалдың жартысына тең болады, $⟨ Т ⟩ = 1 / 2 ⟨ U ⟩$ , мысалы вирустық теорема гравитациялық жүйелер үшін.^[17] Егер $М$ жалпы масса және $R$ жүйенің сипаттамалық мөлшері (мысалы, жүйенің массасының жартысын қамтитын радиус), онда жүйенің динамикалық тепе-теңдікке орналасуының критикалық уақыты^[18]

{ displaystyle t _ { mathrm {cr}} = { sqrt { frac {GM} {R ^ {3}}}}.}

Ерекше жағдайлар

Екі дене проблемасы

Планетарлық интерактивті күштердің кез-келген талқылауы әрқашан тарихи түрде басталды екі дене проблемасы. Бұл бөлімнің мақсаты - кез-келген планеталық күштерді есептеудегі нақты күрделілікке қатысты. Осы бөлімдегі ескертулер, мысалы, бірнеше тақырыптар ауырлық, бариентр, Кеплер заңдары және т.б.; және келесі бөлімде де (Үш дене проблемасы ) Википедияның басқа беттерінде талқыланады. Бірақ бұл тақырыптар тұрғысынан қарастырылады $n$ - адамның проблемасы.

Екі дене проблемасы ( $n = 2$ ) толығымен шешілді Иоганн Бернулли (1667–1748) авторы классикалық теориясы (және Ньютон емес) негізгі нүкте-масса болған деп санау арқылы тұрақты, мұнда көрсетілген.^[19] Екі дененің, мысалы, Күн мен Жердің Күнмен қозғалысын қарастырайық тұрақты, содан кейін:

{ displaystyle { begin {aligned} m_ {1} mathbf {a} _ {1} & = { frac {Gm_ {1} m_ {2}} {r_ {12} ^ {3}}} ( mathbf {r} _ {2} - mathbf {r} _ {1}) && quad { text {Sun-Earth}} m_ {2} mathbf {a} _ {2} & = { frac {Gm_ {1} m_ {2}} {r_ {21} ^ {3}}} ( mathbf {r} _ {1} - mathbf {r} _ {2}) && quad { text { Жер-Күн}} соңы {тураланған}}}

Масса қозғалысын сипаттайтын теңдеу $м 2$ массаға қатысты $м 1$ осы екі теңдеудің айырмашылықтарынан оңай алынады және ортақ терминдер жойылғаннан кейін:

{ displaystyle mathbf {a} + { frac { eta} {r ^ {3}}} mathbf {r} = mathbf {0}}

Қайда

$р = р 2 - р 1$ - векторының орны $м 2$ қатысты $м 1$ ;
$α$ болып табылады Эйлериан үдеу $г. 2 р / дт 2$ ;
$η = G (м 1 + м 2)$ .

Теңдеу $α + η / р 3 р = 0$ 1734 жылы шешілген екі денелі есеп Бернулли үшін дифференциалды теңдеу болып табылады. Бұл тәсілге ескерту алдымен күштерді анықтап, содан кейін қозғалыс теңдеуін шешу керек. Бұл дифференциалдық теңдеу эллиптикалық немесе параболалық немесе гиперболалық шешімдерге ие.^[20]^[21]^[22]

Бұл туралы ойлау дұрыс емес $м 1$ (Күн) Ньютонның бүкіләлемдік тартылыс заңын қолдану кезінде кеңістікте бекітілген және бұл қате нәтижелерге әкеледі. Екі оқшауланған гравитациялық өзара әрекеттесетін денелер үшін бекітілген нүкте - олардың өзара байланысы бариентр, және осы екі дене проблемасы қолдану сияқты дәл шешуге болады Якоби координаттары барицентрге қатысты.

Доктор Кларенс Клеминшоу Күн жүйесінің бариентрінің шамамен орналасуын есептеді, бұл нәтиже тек Юпитер мен Күннің массаларын біріктіру арқылы жүзеге асты. Ғылыми бағдарлама оның жұмысына сілтеме жасай отырып:

Күнде Күн жүйесіндегі массаның 98 пайызы бар, ал Марстан тысқары планеталар қалғандарының көп бөлігін құрайды. Орташа алғанда, Күн-Юпитер жүйесінің массаның орталығы, ең үлкен екі объектіні жалғыз қарастырған кезде, Күн центрінен 462000 миль қашықтықта немесе Күн бетінен 30 000 миль жоғары орналасқан! Алайда, басқа үлкен планеталар Күн жүйесінің масса орталығына әсер етеді. Мысалы, 1951 жылы жүйелердің масса орталығы Күн центрінен алыс емес еді, өйткені Юпитер Сатурн, Уран және Нептунға қарама-қарсы тұрған. 1950 жылдардың соңында, осы төрт планета да Күннің бір жағында болған кезде, жүйенің масса орталығы Күн бетінен 330 000 мильден астам қашықтықта болды, деп есептеді Лос-Анджелестегі Гриффит обсерваториясының докторы К.Х.Клеминшоу.^[23]

Кеплердің айқын қозғалысына қарсы нақты қозғалыс

Күн галактикалық орталықтың айналасында айналып, Күн жүйесін және Жерді өзімен бірге сүйрейді. Қандай математик Кеплер өзінің үш әйгілі теңдеуіне келген кезде планеталардың айқын қозғалыстарына сәйкес болды Tycho Brahe деректер, және емес олардың Күн туралы шынайы айналмалы қозғалыстарын қисық етіп орналастыру (суретті қараңыз). Екеуі де Роберт Гук және Ньютон Ньютонның екенін жақсы білді Бүкіләлемдік тартылыс заңы эллиптикалық орбиталармен байланысты күштер үшін ұстамады.^[10] Шындығында, Ньютонның әмбебап заңында Меркурий орбитасы, астероид белдеуінің гравитациялық әрекеті немесе Сатурнның сақиналары.^[24] Ньютон мәлімдеді (11 бөлімінде Принципия) эллиптикалық орбиталарға арналған күштерді болжай алмаудың басты себебі оның математикалық моделі нақты әлемде болмайтын жағдайға, яғни қозғалмайтын орталыққа тартылған денелердің қозғалыстарына шектелген дене үшін болды. Қазіргі кейбір физика және астрономия оқулықтарында Ньютонның болжамының жағымсыз мәні айтылмайды және оның математикалық моделі шындыққа негізделген деп үйретеді. Жоғарыда келтірілген екі денелі есептердің классикалық шешімі - бұл математикалық идеалдау деп түсіну керек. Сондай-ақ қараңыз Кеплердің планеталар қозғалысының бірінші заңы.

Үш дене проблемасы

Бұл бөлім тарихи маңыздыға қатысты $n$ - жеңілдетілген болжамдардан кейін адам проблемаларын шешу.

Бұрын бұл туралы көп білмейтін $n$ - адамның проблемасы $n \geq 3$ .^[25] Іс $n = 3$ ең көп зерттелген. Түсінуге көптеген алдыңғы әрекеттер Үш дене проблемасы ерекше жағдайлар үшін нақты шешімдер табуға бағытталған сандық болды.

1687 жылы, Исаак Ньютон жарияланған Принципия үш дененің өзара гравитациялық тартымдылығына тәуелді қозғалыстар мәселесін зерттеудегі алғашқы қадамдар, бірақ оның күш-жігері сөздік сипаттама мен геометриялық очерктерге әкелді; әсіресе 1-кітап, 66-ұсыныс және оның нәтижелерін қараңыз (Ньютон, 1687 және 1999 (аудар.), сонымен қатар Тиссеранд, 1894 қараңыз).
1767 жылы, Эйлер табылды коллинеарлы кез-келген массаның үш денесі тіркелген түзу бойымен пропорционалды қозғалатын қозғалыстар. The Эйлердің үш дене проблемасы денелердің екеуі кеңістікте бекітілген ерекше жағдай (мұны деп шатастыруға болмайды үш денелі дөңгелек шектелген проблема, онда екі массивті денелер дөңгелек орбита сипаттайды және тек синодтық санақ жүйесінде бекітілген).
1772 жылы, Лагранж кез-келген массаның үш денесі үшін әрқайсысы периодты шешімнің екі класын ашты. Бір сыныпта денелер айналатын түзудің бойында жатыр. Басқа сыныпта денелер айналатын тең бүйірлі үшбұрыштың төбелерінде жатыр. Екі жағдайда да денелердің жолдары конустық қималар болады. Бұл шешімдер зерттеуге әкелді орталық конфигурациялар, ол үшін $q̈ = кк$ тұрақты үшін $к > 0$ .
Жер-Ай-Күн жүйесін негізгі зерттеуді қолға алды Чарльз-Эжен Делона, 1860 және 1867 жылдары әрқайсысы 900 беттен тұратын тақырып бойынша екі том шығарды. Басқа көптеген жетістіктермен қатар, жұмыс хаосты меңзеп, проблема деп аталатын проблеманы айқын көрсетеді »кіші бөлгіштер«in мазасыздық теориясы.
1917 жылы, Орман Рэй Мултон өзінің қазіргі классикасын жариялады, Аспан механикасына кіріспе (сілтемелерді қараңыз) оның сюжетімен үш дененің проблемасы шешім (төмендегі суретті қараңыз).^[26] Мұнымен қатар, Мейировичтің кітабын, 413–414 беттерді, оның үш денеге қатысты шектеулі шешімдерін қараңыз.^[27]

Үш бөлшектің ауырлық күші әсерінен қозғалысы ретсіз мінез-құлық

Мултонның шешімін елестету оңайырақ болуы мүмкін (және оны шешу оңай), егер біреу үлкенірек денені қарастырса (мысалы, Күн ) кеңістіктегі қозғалмайтын және аз массивті дене болуы керек (мысалы Юпитер ) тепе-теңдік нүктелерімен оның айналасында айналу үшін (Лагранждық нүктелер ) аз массивті дененің өз орбитасында алдыңғы және артқы жағындағы 60 ° аралықты ұстап тұру (дегенмен, шындығында денелердің ешқайсысы да стационар емес, өйткені олардың екеуі де бүкіл жүйенің масса центрін айналады - бариентр туралы). Бастапқы массалардың жеткілікті аз масса қатынасы үшін бұл үшбұрышты тепе-теңдік нүктелері тұрақты (массаға жуық) бөлшектер үлкенірек (Күн) айналасында осы нүктелер бойынша айналады. Дөңгелек есептің тепе-теңдік бес нүктесі Лагранж нүктелері деп аталады. Төмендегі суретті қараңыз:

Үш денелі проблема

Ішінде үш дененің проблемасы жоғарыда келтірілген математикалық модель фигурасы (Мултоннан кейін), Лагранж нүктелері L₄ және Л.₅ қайда Троян планетоидтар мекендеген (қараңыз) Лагранж нүктесі ); $м 1$ Күн және $м 2$ Юпитер. L₂ - бұл астероид белдеуінің ішіндегі нүкте. Бұл модель үшін оны жүзеге асыру керек, бұл Күн-Юпитердің бүкіл диаграммасы өзінің бариентрінде айналады. Үш денеден тұратын шектеулі проблемалық шешім трояндық планетоидтарды олар пайда болғанға дейін алдын-ала болжады. The $сағ$ -шеңберлер мен тұйық циклдар Күн мен Юпитерден шыққан электромагниттік ағындарды қайталайды. Бұл Ричард Х.Батиннің болжамына қарама-қайшы (сілтемелерді қараңыз), екеуі $сағ 1$ гравитациялық күштер нөлге тең болатын гравитациялық раковиналар және планетоидтардың трояндықтары сол жерде қамалып қалады. Планетоидтар массасының жалпы мөлшері белгісіз.

Деп шектелген үш денелі проблема масса денелердің біреуі елеусіз.^{[дәйексөз қажет ]} Елеусіз дене аз массаның денесінің серігі болып табылатын жағдайды талқылау үшін қараңыз Тау сферасы; екілік жүйелер үшін қараңыз Рош лобы. Үш денелі проблеманың нақты шешімдері ретсіз қайталанатын жолдың айқын белгісі жоқ қозғалыс.^{[дәйексөз қажет ]}

Шектелген мәселені (дөңгелек және эллипс түрінде) көптеген танымал математиктер мен физиктер кеңінен өңдеді, ең бастысы Пуанкаре 19 ғасырдың аяғында. Пуанкаренің шектеулі үш дене проблемасы бойынша жұмысы негізін қалады детерминистік хаос теориясы.^{[дәйексөз қажет ]} Шектелген проблемада бесеу бар тепе-теңдік нүктелері. Үшеуі массамен коллинеар (айналмалы рамада) және тұрақсыз. Қалған екеуі тең денелі үшбұрыштардың үшінші төбесінде орналасқан, олардың денелері бірінші және екінші төбелер болып табылады.

Төрт дене проблемасы

Дөңгелек шектеулі үш дене есебінен шабыттанып, төрт дене мәселесін басқа үш массивті денелермен салыстырғанда кіші денені аз массаға ие етіп қарастыру арқылы едәуір жеңілдетуге болады, олар өз кезегінде дөңгелек орбиталарды сипаттауға жуықтайды. Бұл төрт дөңгелекті шектелген екі шеңберлі проблема деп аталады (оны екі дөңгелек модель деп те атайды) және оны 1960 жылдан бастап Су-Шу Хуан жазған НАСА-ның есебінен іздеуге болады.^[28] Бұл тұжырымдама өте маңызды болды астродинамика, негізінен, Күннің гравитациялық тартуымен Жер-Ай жүйесіндегі ғарыш аппараттарының траекториясын модельдеу. Екі шеңберлі шектеулі төрт денелі проблеманың бұрынғы тұжырымдамасы Жер-Ай-Күн емес басқа жүйелерді модельдеу кезінде проблемалы болуы мүмкін, сондықтан тұжырымдаманы Негри мен Прадо жалпылаған^[29] қолдану аясын кеңейту және қарапайымдылықты жоғалтпай дәлдігін жақсарту.

Планетарлық проблема

The планеталық проблема болып табылады $n$ - массаның біреуі басқаларға қарағанда әлдеқайда үлкен болған жағдайда, ешкімге проблема болмайды. Планетарлық проблеманың прототиптік мысалы - Күн -Юпитер –Сатурн жүйе, мұнда Күннің массасы Юпитер немесе Сатурн массаларынан шамамен 100 есе үлкен.^[15] Мәселенің шамамен шешімі - оны бөлшектеу $n - 1$ жұлдыз-планета жұптары Кеплер проблемалары, планеталар арасындағы өзара әрекеттесуді мазасыздық ретінде қарастыру. Пербербативті жуықтау жоқ болғанша жақсы жұмыс істейді орбиталық резонанстар жүйеде, бұл бұзылмаған Кеплер жиіліктерінің қатынастарының ешқайсысы рационалды сан емес. Резонанс кеңеюде кіші бөлгіштер ретінде пайда болады.

Резонанс пен кішігірім бөлгіштердің болуы планетарлық проблемадағы тұрақтылық туралы маңызды мәселеге әкелді: жұлдыздар айналасындағы айналмалы орбиталардағы планеталар уақыт өте келе тұрақты немесе шектелген орбиталарда қала ма?^[15]^[30] 1963 жылы, Владимир Арнольд қолданғанын дәлелдеді KAM теориясы планетарлық мәселенің тұрақтылығының бір түрі: оң өлшемдерінің жиынтығы бар квазипериодты жазықтықта шектелген планеталық проблема кезіндегі орбиталар.^[30] КАМ теориясында хаостық планеталық орбиталар квазипериодты КАМ торимен шектеледі. Арнольдтың нәтижесін Феджоз және Герман 2004 жылы жалпы теоремаға дейін кеңейтті.^[31]

Орталық конфигурациялар

A орталық конфигурация $q 1 (0), \dots, q N (0)$ бастапқы конфигурация, егер бөлшектердің барлығы нөлдік жылдамдықпен шығарылса, олардың барлығы масса центріне қарай құлайды $C$ .^[30] Мұндай қозғалыс деп аталады гомотетикалық. Орталық конфигурациялар да пайда болуы мүмкін гомографиялық қозғалыстар онда барлық массалар эксцентриситеті бірдей барлық траекториялары бар (эллиптикалық, дөңгелек, параболалық немесе гиперболалық) Кеплер траекториялары бойынша қозғалады. $e$ . Эллиптикалық траекториялар үшін, $e = 1$ гомотетикалық қозғалысқа сәйкес келеді және $e = 0$ береді салыстырмалы тепе-теңдік қозғалысы онда конфигурация бастапқы конфигурацияның изометриясы болып қалады, егер конфигурация қатты дене болса.^[32] Орталық конфигурациялар түсіну үшін маңызды рөл атқарды топология туралы өзгермейтін коллекторлар жүйенің алғашқы интегралдарын бекіту арқылы жасалған.

$n$ -ореография

Барлық массалар қозғалатын шешімдер бірдей соқтығысусыз қисық хореография деп аталады.^[33] Хореография $n = 3$ 1772 жылы Лагранж ашты, онда үш дене ан шыңында орналасқан тең бүйірлі үшбұрыш айналмалы жақтауда. A сегіз сурет хореография $n = 3$ 1993 жылы К.Мур сандық түрде тапқан, ал 2000 жылы А.Ченцинер мен Р.Монтгомери жалпылап дәлелдеген.^{[дәйексөз қажет ]} Содан бері көптеген басқа хореографиялар табылды $n \geq 3$ .

Аналитикалық тәсілдер

Мәселені шешудің әрқайсысы үшін тек қана емес изометрия немесе уақыт ауысуы, сонымен қатар а уақыттың кері бағыты (үйкеліс жағдайынан айырмашылығы) шешімін де береді.^{[дәйексөз қажет ]}

Туралы физикалық әдебиеттерде $n$ -адам мәселесі ( $n \geq 3$ ), кейде сілтеме жасалады шешудің мүмкін еместігі $n$ - адамның проблемасы (жоғарыда аталған тәсілді қолдану арқылы).^{[дәйексөз қажет ]} Алайда шешімнің «мүмкін еместігін» талқылау кезінде мұқият болу керек, өйткені бұл тек бірінші интегралдар әдісіне қатысты (теоремаларды салыстырыңыз: Абыл және Галуа шешудің мүмкін еместігі туралы бесінші алгебралық теңдеулер немесе тек тамырларды қамтитын формулалар арқылы жоғары).

Қуат сериясының шешімі

Классиканы шешудің бір әдісі $n$ - біреудің проблемасы « $n$ - адам проблемасы Тейлор сериясы ".

Жүйесін анықтаудан бастаймыз дифференциалдық теңдеулер:^{[дәйексөз қажет ]}

{ displaystyle { frac {d ^ {2} mathbf {x} _ {i} (t)} {dt ^ {2}}} = G sum _ {k = 1 k neq i} ^ {n} { frac {m_ {k} left ( mathbf {x} _ {k} (t) - mathbf {x} _ {i} (t) right)} { left | mathbf { x} _ {k} (t) - mathbf {x} _ {i} (t) right | ^ {3}}},}

Қалай $х мен (т 0)$ және $г. х мен (т 0) / дт$ бастапқы шарттар ретінде беріледі, әрқайсысы $г. 2 х мен (т) / дт 2$ белгілі. Дифференциалдау $г. 2 х мен (т) / дт 2$ нәтижелері $г. 3 х мен (т) / дт 3$ қай уақытта $т 0$ ол белгілі, және Тейлор сериясы итеративті түрде салынған.^{[түсіндіру қажет ]}

Сундманның жалпыланған шешімі

Сандменнің іс бойынша нәтижесін қорыту үшін $n > 3$ (немесе $n = 3$ және $в = 0$ ^{[түсіндіру қажет ]}) біреу екі кедергіге тап болуы керек:

Зигель көрсеткендей, екі денеден артық денені қамтитын соқтығыстарды аналитикалық жолмен жүйеге келтіру мүмкін емес, сондықтан Сундманның регуляризациясын жалпылауға болмайды.^{[дәйексөз қажет ]}
Ерекшеліктердің құрылымы бұл жағдайда күрделене түседі: дара ерекшеліктердің басқа түрлері пайда болуы мүмкін (қараңыз) төменде ).

Ақырында, Сундманның нәтижесі жағдайға жалпыланды $n > 3$ денелер Qiudong Wang 1990 жылдары.^[34] Сингулярлық құрылымы күрделі болғандықтан, Ванға сингулярлық мәселелерін толығымен қалдыруға тура келді. Оның көзқарасының орталық мәні - теңдеулерді сәйкесінше жаңа жүйеге айналдыру, осылайша жаңа жүйенің шешімдері үшін болмыс аралығы $[0,\infty)$ .

-Ның ерекшеліктері $n$ - адамның проблемасы

Сыңарларының екі түрі болуы мүмкін $n$ -адам мәселесі:

екі немесе одан да көп денелердің соқтығысуы, бірақ ол үшін $q (т)$ (органдардың позициялары) шектеулі болып қалады. (Осы математикалық мағынада «соқтығысу» дегеніміз екі нүкте тәрізді дененің кеңістіктегі орындары бірдей болатындығын білдіреді).
соқтығыспайтын сингулярлықтар, бірақ $q (т)$ шектеулі болып қалмайды. Бұл сценарийде денелер ақырғы уақытта шексіздікке ауысады, сонымен бірге нөлдік бөлінуге ұмтылады (қиялдағы соқтығысу «шексіздікте» болады).

Соңғылары Пенлевенің гипотезасы деп аталады (соқтығыспайтын сингулярлықтар). Олардың тіршілігі болжалды $n > 3$ арқылы Пенлеве (қараңыз Painlevé болжам ). Бұл мінез-құлықтың мысалдары $n = 5$ Ся салған^[35] және эвристикалық модель $n = 4$ Авторы: Гервер.^[36] Саари Дональд 4 немесе одан аз денелер үшін сингулярлықты тудыратын бастапқы мәліметтер жиынтығы болатындығын көрсетті өлшеу нөл.^[37]

Модельдеу

Екі денелі классикалық (мысалы, релятивтік емес) проблема үшін және таңдалған конфигурациялар үшін аналитикалық шешімдер бар $n > 2$ , жалпы алғанда $n$ - сандық әдістерді қолдана отырып, бірде-бір проблема шешілуі немесе модельденуі керек.^[18]

Дене аз

Денелердің аз саны үшін $n$ - адамның мәселесін шешу арқылы шешуге болады тікелей әдістер, деп те аталады бөлшектер - бөлшектер әдістері. Бұл әдістер қозғалыстың дифференциалдық теңдеулерін сандық интеграциялайды. Бұл проблеманың сандық интеграциясы бірнеше себептерге байланысты болуы мүмкін. Біріншіден, гравитациялық потенциал сингулярлы; ол екі бөлшектің арақашықтығы нөлге жеткендіктен шексіздікке жетеді. Гравитациялық потенциал болуы мүмкін жұмсарды кішігірім қашықтықтағы сингулярлықты жою:^[18]

{ displaystyle U _ { varepsilon} = sum _ {1 leq i

Екіншіден, жалпы үшін $n > 2$ , $n$ - адамның проблемасы ретсіз,^[38] бұл дегеніміз, интеграциядағы кішігірім қателіктер уақыт өте келе өсуі мүмкін. Үшіншіден, модельдеу модельдеу уақытының үлкен уақытында болуы мүмкін (мысалы, миллиондаған жылдар) және интеграция уақыты өскен сайын сандық қателіктер жинақталады.

Сандық интеграция кезінде қателіктерді азайтудың бірқатар әдістері бар.^[18] Жергілікті координаттар жүйелері кейбір мәселелерде әртүрлі масштабтарды шешу үшін қолданылады, мысалы, Күн-Ай модельдеу жағдайындағы Жер-Ай координаттар жүйесі. Вариациялық әдістер мен тербеліс теориясы сандық интеграция түзету болатын аналитикалық траекторияларды болжай алады. А пайдалану симплектикалық интегратор модельдеудің Гамильтон теңдеулеріне жоғары дәлдікпен бағынуын және энергияның үнемделуін қамтамасыз етеді.

Көптеген денелер

Сандық интегралдауды қолданудың тікелей әдістері реті бойынша талап етеді $1 / 2 n 2$ барлық жұп бөлшектердегі потенциалды энергияны бағалауға арналған есептеулер, сөйтіп а уақыттың күрделілігі туралы $O (n 2)$ . Көптеген бөлшектері бар модельдеу үшін $O (n 2)$ фактор ауқымды есептеулер жасайды, әсіресе уақытты алады.^[18]

Тікелей әдістерге қатысты уақыттың күрделілігін төмендететін бірқатар жуық әдістер жасалды:^[18]

Ағаш кодының әдістері, мысалы Barnes – Hut модельдеу, болып табылады соқтығысусыз жұптар арасындағы жақын кездесулер маңызды емес және алшақ бөлшектердің үлесін жоғары дәлдікте есептеудің қажеті жоқ кезде қолданылатын әдістер. Бөлшектердің алыстағы тобының потенциалы a көмегімен есептеледі көппольды кеңейту потенциал. Бұл шамамен күрделіліктің төмендеуіне мүмкіндік береді $O (n журнал n)$ .
Жылдам көппольды әдістер алыс бөлшектерден алынған мультипол-кеңейтілген күштер бір-біріне жақын бөлшектер үшін ұқсас болатынын пайдаланыңыз. Бұл одан әрі жуықтау күрделілікті төмендетеді деп талап етіледі $O (n)$ .^[18]
Бөлшектерді торлау әдістері модельдеу кеңістігін бөлшектердің масса тығыздығы интерполяцияланатын үш өлшемді торға бөлу. Сонда потенциалды есептеу а шешуге айналады Пуассон теңдеуі есептеуге болатын торда $O (n журнал n)$ пайдалану уақыты жылдам Фурье түрлендіруі техникасы. Қолдану торды бейімдеу немесе көп өлшемді әдістер әдістердің күрделілігін одан әрі төмендете алады.
P³М және ПМ ағашының әдістері алшақ бөлшектер үшін бөлшектер торының жуықтауын қолданатын, бірақ жақын бөлшектерге (бірнеше тор аралықтарында) дәлірек әдістерді қолданатын гибридтік әдістер. P³M деген сөз бөлшек – бөлшек, бөлшек – тор және жақын аралықта әлсіреген әлеуеті бар тікелей әдістерді қолданады. PM-ағаш әдісі жақын жерде ағаш кодтарын қолданады. Бөлшектерді торлау әдістері сияқты, адаптивті торлар есептеу тиімділігін арттыра алады.
Орташа өріс әдістер уақытқа тәуелді бөлшектер жүйесін жуықтау Больцман теңдеуі потенциалды бейнелейтін өздігінен үйлесетін Пуассон теңдеуімен байланысқан массаның тығыздығын білдіреді. Бұл түрі тегістелген бөлшектердің гидродинамикасы жуықтау үлкен жүйелер үшін жарамды.

Күшті гравитация

Жақын гравитациялық өрістері бар астрофизикалық жүйелерде оқиғалар көкжиегі а қара тесік, $n$ -біреудің модельдеуін ескеру керек жалпы салыстырмалылық; мұндай модельдеу домен болып табылады сандық салыстырмалылық. Сандық модельдеу Эйнштейн өрісінің теңдеулері өте қиын^[18] және а Ньютоннан кейінгі формализм Сияқты (PPN) Эйнштейн-Инфельд-Гофман теңдеулері, мүмкіндігінше қолданылады. The жалпы салыстырмалылықтағы екі денелі мәселе аналитикалық тұрғыдан тек бір масса екінші массаға қарағанда едәуір үлкен деп саналатын Кеплер есебі үшін шешіледі.^[39]

Басқа $n$ - адамның проблемалары

Көптеген жұмыстар $n$ - адам проблемасы гравитациялық проблемада болды. Бірақ ол үшін басқа жүйелер бар $n$ - математика мен имитациялық техниканың тиімділігі дәлелденді.

Кең ауқымда электростатика модельдеу сияқты мәселелер белоктар және ұялы қондырғылар құрылымдық биология, Кулондық потенциал гравитациялық потенциалмен бірдей формаға ие, тек зарядтар оң немесе теріс болуы мүмкін, бұл итергіш, сонымен қатар тартымды күштерге әкеледі.^[40] Жылдам кулонды еріткіштер жылдам мультипольді әдіс тренажерлерінің электростатикалық аналогы болып табылады. Бұлар жиі қолданылады мерзімді шекаралық шарттар аймақ бойынша және Эвальд жиынтығы есептеуді жылдамдату үшін техникалар қолданылады.^[41]

Жылы статистика және машиналық оқыту, кейбір модельдерде бар шығын функциялары гравитациялық потенциалға ұқсас түрдегі: барлық жұп объектілердегі ядро функцияларының қосындысы, мұндағы ядро функциясы параметрлер кеңістігіндегі объектілер арасындағы қашықтыққа тәуелді.^[42] Осы формаға сәйкес келетін мысалдарға мыналар жатады жақын көршілер жылы жан-жақты оқыту, ядро тығыздығын бағалау, және ядро машиналары. Азайту үшін балама оңтайландыру $O (n 2)$ уақыттың күрделілігі $O (n)$ сияқты әзірленді қос ағаш гравитациялық қолданыстағы алгоритмдер $n$ - адамның проблемасы.

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

^ Лейманис пен Минорский: Біздің қызығушылығымыз Лейманиске қатысты, ол алдымен кейбір тарихты талқылайды $n$ - адам мәселесі, әсіресе Ковалевская ханымның 1868–1888 жылдардағы жиырма жылдық кешенді-өзгермелі тәсілі, сәтсіздік; 1 бөлім: «Қатты денелердің динамикасы және сыртқы математикалық баллистика» (1 тарау, «Қатты дененің қозғалмайтын нүкте туралы қозғалысы (Эйлер және Пуассон теңдеулері)»; 2 тарау, «Математикалық сыртқы баллистика»), жақсы ізашары дейін $n$ -адам проблемасы; 2-бөлім: «Аспан механикасы» (1-тарау, «Үш денелі есепті бірыңғайлау (шектеулі үш денелік есеп)»; 2-тарау, «Үш денелік есепте ұстау»; 3-тарау, «Жалпыланған $n$ -адам мәселесі »).
^ Хегги мен Хутқа сілтемелер келтірілген сілтемелерді қараңыз.
^ Квази-тұрақты жүктемелер деп лездік бұрыштық жылдамдықтар мен үдеулер, сондай-ақ трансляциялық үдеулер (9 айнымалы) тудыратын лездік инерциялық жүктемелерді айтады. Біреуі суретке түскендей, ол сонымен қатар қозғалыстың лездік жағдайы мен қасиеттерін жазды. Керісінше, а тұрақты мемлекет шарт жүйенің уақытқа өзгермейтіндігін білдіреді; әйтпесе, бірінші туындылар мен барлық жоғары туындылар нөлге тең.
^ Р.М.Розенберг « $n$ - дененің проблемасы да осыған ұқсас (сілтемелерді қараңыз): «Бөлшектердің ақырлы саны жүйесіндегі әрбір бөлшек басқа бөлшектерден Ньютондық гравитациялық тартылысқа ұшырайды және басқа күштерге әсер етпейді. Егер жүйенің бастапқы күйі берілген болса, бөлшектер қалай қозғалады? « Розенберг басқалар сияқты күштерді анықтау керек екенін түсіне алмады бірінші қозғалыс анықталмас бұрын.
^ Бірінші интеграл бойынша жалпы, классикалық шешім мүмкін емес екені белгілі. Еркіндік үшін нақты теориялық шешім $n$ арқылы жуықтауға болады Тейлор сериясы, бірақ іс жүзінде мұндай ан шексіз серия қысқартылуы керек, ең жақсы жағдайда тек шамамен шешім береді; және қазір ескірген тәсіл. Сонымен қатар, $n$ - біреудің мәселесін шешу арқылы шешуге болады сандық интеграция, бірақ бұлар да шамамен шешімдер; және тағы да ескірген. Sverre J. Aarseth кітабын қараңыз Гравитациялық $n$ - Дене модельдеуі Әдебиеттер тізімінде көрсетілген.
^ Кларк, Дэвид Х .; Кларк, Стивен П.Х. (2001). Стивен Грей мен Джон Фламстидтің басылған ғылыми жаңалықтары, Ньютонның озбырлығы. W. H. Freeman and Co.. Тарихи оқиғаларды танымал ету және сол тараптар арасындағы қақтығыстар, бірақ ең бастысы олардың нәтижелері туралы.
^ Қараңыз Брюстер, Дэвид (1905). "Discovery of gravitation, A.D. 1666". In Johnson, Rossiter (ed.). The Great Events by Famous Historians. XII. The National Alumni. pp. 51–65.
^ Rudolf Kurth has an extensive discussion in his book (see References) on planetary perturbations. An aside: these mathematically undefined planetary perturbations (wobbles) still exist undefined even today and planetary orbits have to be constantly updated, usually yearly. See Astronomical Ephemeris and the American Ephemeris and Nautical Almanac, prepared jointly by the Nautical Almanac Offices of the United Kingdom and the United States of America.
^ Қараңыз Principia, Book Three, System of the World, "General Scholium", page 372, last paragraph. Newton was well aware that his mathematical model did not reflect physical reality. This edition referenced is from the Батыс әлемінің ұлы кітаптары, Volume 34, which was translated by Andrew Motte and revised by Флориан Кажори.^{[толық дәйексөз қажет ]} This same paragraph is on page 1160 in Стивен Хокинс, Алыптардың иығында, 2002 edition;^{[толық дәйексөз қажет ]} is a copy from Daniel Adee's 1848 addition. Cohen also has translated new editions: Introduction to Newton's Principia, 1970; және Isaac Newton's Principia, with Variant Readings, 1972. Cajori also wrote History of Science, which is online.^{[толық дәйексөз қажет ]}
^ ^а ^б Қараңыз. I. Bernard Cohen's Ғылыми американдық мақала.
^ For details of the serious error in Poincare's first submission see the article by Diacu.
^ Meyer 2009, pp. 27–28
^ Meyer 2009, p. 28
^ Meyer 2009, pp. 28–29
^ ^а ^б ^в Chenciner 2007
^ Meyer 2009, p. 34
^ "AST1100 Lecture Notes: 5 The virial theorem" (PDF). Осло университеті. Алынған 25 наурыз 2014.
^ ^а ^б ^в ^г. ^e ^f ^ж ^сағ Trenti 2008
^ See Bate, Mueller, and White, Chapter 1: "Two-Body Orbital Mechanics", pp 1–49. These authors were from the Department of Astronautics and Computer Science, United States Air Force Academy. Their textbook is not filled with advanced mathematics.
^
For the classical approach, if the common масса орталығы (i.e., the barycenter) of the two bodies is considered to be at rest, then each body travels along a conic section ол бар focus at the barycenter of the system. In the case of a hyperbola it has the branch at the side of that focus. The two conics will be in the same plane. The type of conic (шеңбер, ellipse, parabola немесе гипербола ) is determined by finding the sum of the combined kinetic energy of two bodies and the потенциалды энергия when the bodies are far apart. (This potential energy is always a negative value; energy of rotation of the bodies about their axes is not counted here)
- If the sum of the energies is negative, then they both trace out ellipses.
- If the sum of both energies is zero, then they both trace out parabolas. As the distance between the bodies tends to infinity, their relative speed tends to zero.
- If the sum of both energies is positive, then they both trace out hyperbolas. As the distance between the bodies tends to infinity, their relative speed tends to some positive number.
^ For this approach see Lindsay's Physical Mechanics, Chapter 3: "Curvilinear Motion in a Plane", and specifically paragraphs 3–9, "Planetary Motion"; 83-96 бет. Lindsay presentation goes a long way in explaining these latter comments for the fixed two-body problem; i.e., when the Sun is assumed fixed.
^ Note: The fact a parabolic orbit has zero energy arises from the assumption the gravitational potential energy goes to zero as the bodies get infinitely far apart. One could assign кез келген value to the potential energy in the state of infinite separation. That state is assumed to have zero potential energy by convention.
^
Science Program'sThe Nature of the Universe states Clarence Cleminshaw (1902–1985) served as assistant director of Griffith Observatory from 1938–1958 and as director from 1958–1969. Some publications by Cleminshaw:
- Cleminshaw, C. H.: "Celestial Speeds", 4 1953, equation, Kepler, orbit, comet, Saturn, Mars, velocity.^{[толық дәйексөз қажет ]}
- Cleminshaw, C. H.: "The Coming Conjunction of Jupiter and Saturn", 7 1960, Saturn, Jupiter, observe, conjunction.^{[толық дәйексөз қажет ]}
- Cleminshaw, C. H.: "The Scale of The Solar System", 7 1959, Solar system, scale, Jupiter, sun, size, light.^{[толық дәйексөз қажет ]}
^ Brush, Stephen G., ed. (1983). Maxwell on Saturn's Rings. MIT түймесін басыңыз.
^ See Leimanis and Minorsky's historical comments.
^ See Moulton's Restricted Three-body Problem for its analytical and graphical solution.
^ See Meirovitch's book: Chapters 11: "Problems in Celestial Mechanics"; 12; "Problem in Spacecraft Dynamics"; and Appendix A: "Dyadics".
^ Huang, Su-Shu. "Very Restricted Four-Body Problem". NASA TND-501.
^ Negri, Rodolfo B.; Prado, Antonio F. B. A. (2020). "Generalizing the Bicircular Restricted Four-Body Problem". Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 43 (6): 1173–1179. Бибкод:2020JGCD...43.1173N. дои:10.2514/1.G004848.
^ ^а ^б ^в Chierchia 2010
^ Féjoz 2004
^ See Chierchia 2010 for animations illustrating homographic motions.
^ Celletti 2008
^ Qiu-Dong, Wang (1990-03-01). "The global solution of the N-body problem". Аспан механикасы және динамикалық астрономия. 50 (1): 73–88. Бибкод:1990CeMDA..50...73W. дои:10.1007/BF00048987. ISSN 0923-2958. S2CID 118132097.
^ Xia, Zhihong (May 1992). "The Existence of Noncollision Singularities in Newtonian Systems". Энн. Математика. Екінші серия. 135 (3): 411–468. дои:10.2307/2946572. JSTOR 2946572.
^ Gerver, Joseph L. (2003). "Noncollision Singularities: Do Four Bodies Suffice?". Exp. Математика. 12 (2): 187–198. дои:10.1080/10586458.2003.10504491. S2CID 23816314.
^ Saari, Donald G. (1977). "A global existence theorem for the four-body problem of Newtonian mechanics". J. дифференциалдық теңдеулер. 26 (1): 80–111. Бибкод:1977JDE....26...80S. дои:10.1016/0022-0396(77)90100-0.
^ Alligood 1996
^ Blanchet 2001
^ Krumscheid 2010
^ Board 1999
^ Ram 2010

Әдебиеттер тізімі

Aarseth, Sverre J. (2003). Гравитациялық $n$ -body Simulations, Tools and Algorithms. Кембридж университетінің баспасы.
Alligood, K. T.; Sauer, T. D.; Yorke, J. A. (1996). Хаос: динамикалық жүйелерге кіріспе. Спрингер. pp. 46–48.
Бейт, Роджер Р .; Мюллер, Дональд Д .; White, Jerry (1971). Астродинамика негіздері. Довер.
Blanchet, Luc (2001). "On the two-body problem in general relativity". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série IV. 2 (9): 1343–1352. arXiv:gr-qc/0108086. Бибкод:2001CRASP...2.1343B. дои:10.1016/s1296-2147(01)01267-7. S2CID 119101016.
Board, John A., Jr.; Humphres, Christopher W.; Lambert, Christophe G.; Rankin, William T.; Toukmaji, Abdulnour Y. (1999). "Ewald and Multipole Methods for Periodic $n$ -Body Problems". In Deuflhard, Peter; Hermans, Jan; Leimkuhler, Benedict; Mark, Alan E.; Reich, Sebastian; Skeel, Robert D. (eds.). Computational Molecular Dynamics: Challenges, Methods, Ideas. Берлин және Гайдельберг: Шпрингер. pp. 459–471. CiteSeerX 10.1.1.15.9501. дои:10.1007/978-3-642-58360-5_27. ISBN 978-3-540-63242-9.
Bronowski, Jacob; Mazlish, Bruce (1986). The Western Intellectual Tradition, from Leonardo to Hegel. Dorsey Press.
Celletti, Alessandra (2008). "Computational celestial mechanics". Scholarpedia. 3 (9): 4079. Бибкод:2008SchpJ...3.4079C. дои:10.4249/scholarpedia.4079.
Chenciner, Alain (2007). "Three body problem". Scholarpedia. 2 (10): 2111. Бибкод:2007SchpJ...2.2111C. дои:10.4249/scholarpedia.2111.
Chierchia, Luigi; Mather, John N. (2010). "Kolmogorov–Arnold–Moser Theory". Scholarpedia. 5 (9): 2123. Бибкод:2010SchpJ...5.2123C. дои:10.4249/scholarpedia.2123.
Cohen, I. Bernard (March 1980). "Newton's Discovery of Gravity". Ғылыми американдық. 244 (3): 167–179. Бибкод:1981SciAm.244c.166C. дои:10.1038/scientificamerican0381-166.
Cohen, I. Bernard (1985). The Birth of a New Physics, Revised and Updated. W. W. Norton & Co.
Diacu, F. (1996). "The solution of the $n$ -body problem" (PDF). The Mathematical Intelligencer. 18 (3): 66–70. дои:10.1007/bf03024313. S2CID 119728316.
Féjoz, J. (2004). "Démonstration du 'théorème d'Arnold' sur la stabilité du système planétaire (d'après Herman)". Ergodic Theory Dynam. Жүйелер. 24 (5): 1521–1582. дои:10.1017/S0143385704000410.
Heggie, Douglas; Hut, Piet (2003). The Gravitational Million-Body Problem, A Multidisciplinary Approach to Star Cluster Dynamics. Кембридж университетінің баспасы.
Heggie, Douglas C. (1991). "Chaos in the $n$ -body Problem of Stellar Dynamics". In Roy, A. E. (ed.). Predictability, Stability and Chaos in $n$ -Body Dynamical Systems. Пленум баспасөз қызметі.
Hufbauer, Karl (1991). Exploring the Sun, Solar Science since Galileo. Johns Hopkins University Press, sponsored by the NASA History Office.
Krumscheid, Sebastian (2010). Benchmark of fast Coulomb Solvers for open and periodic boundary conditions (Report). Technical Report FZJ-JSC-IB-2010-01. Jülich Supercomputing Centre. CiteSeerX 10.1.1.163.3549.
Kurth, Rudolf (1959). Introduction to the Mechanics of the Solar System. Pergamon Press.
Leimanis, E.; Minorsky, N. (1958). "Part I: "Some Recent Advances in the Dynamics of Rigid Bodies and Celestial Mechanics" (Leimanis); Part II: "The Theory of Oscillations" (Minorsky)". Dynamics and Nonlinear Mechanics. Джон Вили және ұлдары.
Lindsay, Robert Bruce (1961). Physical Mechanics (3-ші басылым). D. Van Nostrand Co.
Meirovitch, Leonard (1970). Methods of Analytical Dynamics. McGraw-Hill Book Co.
Meyer, Kenneth Ray; Hall, Glen R. (2009). Introduction to Hamiltonian Dynamical Systems and the $n$ -body Problem. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-09724-4.
Mittag-Leffler, G. (1885–86). «The $n$ -body problem (Prize Announcement)". Acta Mathematica. 7: I–VI. дои:10.1007/BF02402191.
Moulton, Forest Ray (1970). An Introduction to Celestial Mechanics. Довер.
Newton, Isaac (1687). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Лондон. Also English translation of 3rd (1726) edition by I. Bernard Cohen and Anne Whitman (Berkeley, CA, 1999).
Ram, Parikshit; Lee, Dongryeol; March, William B.; Gray, Alexander G. (2009). "Linear-time Algorithms for Pairwise Statistical Problems" (PDF). NIPS: 1527–1535. Архивтелген түпнұсқа (PDF) 2017-04-21. Алынған 2014-03-28.
Rosenberg, Reinhardt M. (1977). "Chapter 19: "About Celestial Problems", paragraph 19.5: "The $n$ -body Problem". Analytical Dynamics, of Discrete Systems. Journal of Applied Mechanics. 45. Пленум баспасөз қызметі. pp. 364–371. Бибкод:1978JAM....45..233R. дои:10.1115/1.3424263. Like Battin above, Rosenberg employs energy methods too, and to the solution of the general $n$ -body problem but doesn't actually solve anything.
Science Program (1968). The Nature of the Universe. Nelson Doubleday.
Sundman, K. F. (1912). "Mémoire sur le problème de trois corps". Acta Mathematica. 36: 105–179. дои:10.1007/bf02422379.
Tisserand, F.-F. (1894). Mécanique Céleste. III. Париж. б. 27.
Тренти, Мишель; Hut, Piet (2008). " $n$ -body simulations". Scholarpedia. 3 (5): 3930. Бибкод:2008SchpJ...3.3930T. дои:10.4249/scholarpedia.3930.
Truesdell, Clifford (1968). Механика тарихының очерктері. Спрингер. ISBN 9783642866494.
Van Winter, Clasine (1970). «The $n$ -body problem on a Hilbert space of analytic functions". In Gilbert, Robert P.; Newton, Roger G. (eds.). Analytic Methods in Mathematical Physics. Гордон және бұзу. pp. 569–578.
Wang, Qiudong (1991). "The global solution of the $n$ -body problem". Аспан механикасы және динамикалық астрономия. 50 (1): 73–88. Бибкод:1991CeMDA..50...73W. дои:10.1007/BF00048987. ISSN 0923-2958. МЫРЗА 1117788. S2CID 118132097.
Xia, Zhihong (1992). "The Existence of Noncollision Singularities in Newtonian Systems". Математика жылнамалары. 135 (3): 411–468. дои:10.2307/2946572. JSTOR 2946572.

Әрі қарай оқу

Battin, Richard H. (1987). An Introduction to The Mathematics and Methods of Astrodynamics. AIAA. Employs energy methods rather than a Newtonian approach.
Boccaletti, D.; Pucacco, G. (1998). Theory of Orbits. Шпрингер-Верлаг.
Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). Methods of Celestial Mechanics. Академиялық баспасөз.
Crandall, Richard E. (1996). "Chapter 5: "Nonlinear & Complex Systems"; paragraph 5.1: " $n$ -body problems & chaos"". Topics in Advanced Scientific Computation. Шпрингер-Верлаг. pp. 215–221.
Crandall, Richard E. (1996). "Chapter 2: "Exploratory Computation"; Project 2.4.1: "Classical Physics"". Projects in Scientific Computation. Computers in Physics. 8 (corrected 3rd ed.). Шпрингер-Верлаг. 93-97 бет. Бибкод:1994ComPh...8..531C. дои:10.1063/1.4823331.
Eisele, John A.; Mason, Robert M. (1970). "Applied Matrix and Tensor Analysis". Бүгінгі физика. 25 (12): 55. Бибкод:1972PhT....25l..55E. дои:10.1063/1.3071146.
Gelman, Harry (1968). "The second orthogonality conditions in the theory of proper and improper rotations: Derivation of the conditions and of their main consequences". J. Res. NBS 72B (Math. Sci.). 1968 (3).
Gelman, Harry (1968). "The intrinsic vector". J. Res. NBS 72B (Math. Sci.). 1968 (3).
Gelman, Harry (1969). "The Conjugacy Theorem". J. Res. NBS 72B (Math. Sci.). 1969 (2).
Gelman, Harry (October 1971). "A Note on the time dependence of the effective axis and angle of a rotation". J. Res. NBS 72B (Math. Sci.). 1971 (3–4).
Hagihara, Y. (1970). Аспан механикасы. I, II pt 1, II pt 2. MIT Press.
Korenev, G. V. (1967). The Mechanics of Guided Bodies. CRC Press.
Meriam, J. L. (1978). Инженерлік механика. 1–2. Джон Вили және ұлдары.
Мюррей, Карл Д .; Dermott, Stanley F. (2000). Solar System Dynamics. Кембридж университетінің баспасы.
Quadling, Henley (June 1994). Гравитациялық $n$ -Body Simulation: 16 bit DOS version. nbody*.zip is available at https://web.archive.org/web/19990221123102/http://ftp.cica.indiana.edu/: see external links.
Saari, D. (1990). "A visit to the Newtonian $n$ -body problem via Elementary Complex Variables". Американдық математикалық айлық. 89 (2): 105–119. дои:10.2307/2323910. JSTOR 2323910.
Saari, D. G.; Hulkower, N. D. (1981). "On the Manifolds of Total Collapse Orbits and of Completely Parabolic Orbits for the $n$ -Body Problem". Дифференциалдық теңдеулер журналы. 41 (1): 27–43. Бибкод:1981JDE....41...27S. дои:10.1016/0022-0396(81)90051-6.
Szebehely, Victor (1967). Theory of Orbits. Академиялық баспасөз.

Сыртқы сілтемелер

Порталдар
Байланысты тақырыптарға қол жеткізу

Математика порталы
Физика порталы
Астрономия порталы

[Leimanis_and_Minorsky-1] Лейманис пен Минорский: Біздің қызығушылығымыз Лейманиске қатысты, ол алдымен кейбір тарихты талқылайды $n$ - адам мәселесі, әсіресе Ковалевская ханымның 1868–1888 жылдардағы жиырма жылдық кешенді-өзгермелі тәсілі, сәтсіздік; 1 бөлім: «Қатты денелердің динамикасы және сыртқы математикалық баллистика» (1 тарау, «Қатты дененің қозғалмайтын нүкте туралы қозғалысы (Эйлер және Пуассон теңдеулері)»; 2 тарау, «Математикалық сыртқы баллистика»), жақсы ізашары дейін $n$ -адам проблемасы; 2-бөлім: «Аспан механикасы» (1-тарау, «Үш денелі есепті бірыңғайлау (шектеулі үш денелік есеп)»; 2-тарау, «Үш денелік есепте ұстау»; 3-тарау, «Жалпыланған $n$ -адам мәселесі »).

[Heggie_and_Hut-2] Хегги мен Хутқа сілтемелер келтірілген сілтемелерді қараңыз.

[3] Квази-тұрақты жүктемелер деп лездік бұрыштық жылдамдықтар мен үдеулер, сондай-ақ трансляциялық үдеулер (9 айнымалы) тудыратын лездік инерциялық жүктемелерді айтады. Біреуі суретке түскендей, ол сонымен қатар қозғалыстың лездік жағдайы мен қасиеттерін жазды. Керісінше, а тұрақты мемлекет шарт жүйенің уақытқа өзгермейтіндігін білдіреді; әйтпесе, бірінші туындылар мен барлық жоғары туындылар нөлге тең.

[4] Р.М.Розенберг « $n$ - дененің проблемасы да осыған ұқсас (сілтемелерді қараңыз): «Бөлшектердің ақырлы саны жүйесіндегі әрбір бөлшек басқа бөлшектерден Ньютондық гравитациялық тартылысқа ұшырайды және басқа күштерге әсер етпейді. Егер жүйенің бастапқы күйі берілген болса, бөлшектер қалай қозғалады? « Розенберг басқалар сияқты күштерді анықтау керек екенін түсіне алмады бірінші қозғалыс анықталмас бұрын.

[5] Бірінші интеграл бойынша жалпы, классикалық шешім мүмкін емес екені белгілі. Еркіндік үшін нақты теориялық шешім $n$ арқылы жуықтауға болады Тейлор сериясы, бірақ іс жүзінде мұндай ан шексіз серия қысқартылуы керек, ең жақсы жағдайда тек шамамен шешім береді; және қазір ескірген тәсіл. Сонымен қатар, $n$ - біреудің мәселесін шешу арқылы шешуге болады сандық интеграция, бірақ бұлар да шамамен шешімдер; және тағы да ескірген. Sverre J. Aarseth кітабын қараңыз Гравитациялық $n$ - Дене модельдеуі Әдебиеттер тізімінде көрсетілген.

[6] Кларк, Дэвид Х .; Кларк, Стивен П.Х. (2001). Стивен Грей мен Джон Фламстидтің басылған ғылыми жаңалықтары, Ньютонның озбырлығы. W. H. Freeman and Co.. Тарихи оқиғаларды танымал ету және сол тараптар арасындағы қақтығыстар, бірақ ең бастысы олардың нәтижелері туралы.

[7] Қараңыз Брюстер, Дэвид (1905). "Discovery of gravitation, A.D. 1666". In Johnson, Rossiter (ed.). The Great Events by Famous Historians. XII. The National Alumni. pp. 51–65.

[8] Rudolf Kurth has an extensive discussion in his book (see References) on planetary perturbations. An aside: these mathematically undefined planetary perturbations (wobbles) still exist undefined even today and planetary orbits have to be constantly updated, usually yearly. See Astronomical Ephemeris and the American Ephemeris and Nautical Almanac, prepared jointly by the Nautical Almanac Offices of the United Kingdom and the United States of America.

[9] Қараңыз Principia, Book Three, System of the World, "General Scholium", page 372, last paragraph. Newton was well aware that his mathematical model did not reflect physical reality. This edition referenced is from the Батыс әлемінің ұлы кітаптары, Volume 34, which was translated by Andrew Motte and revised by Флориан Кажори.^{[толық дәйексөз қажет ]} This same paragraph is on page 1160 in Стивен Хокинс, Алыптардың иығында, 2002 edition;^{[толық дәйексөз қажет ]} is a copy from Daniel Adee's 1848 addition. Cohen also has translated new editions: Introduction to Newton's Principia, 1970; және Isaac Newton's Principia, with Variant Readings, 1972. Cajori also wrote History of Science, which is online.^{[толық дәйексөз қажет ]}

[Cohen-10] а ^б Қараңыз. I. Bernard Cohen's Ғылыми американдық мақала.

[11] For details of the serious error in Poincare's first submission see the article by Diacu.

[12] Meyer 2009, pp. 27–28

[13] Meyer 2009, p. 28

[14] Meyer 2009, pp. 28–29

[Chenciner_2007-15] а ^б ^в Chenciner 2007

[16] Meyer 2009, p. 34

[17] "AST1100 Lecture Notes: 5 The virial theorem" (PDF). Осло университеті. Алынған 25 наурыз 2014.

[Trenti_2008-18] а ^б ^в ^г. ^e ^f ^ж ^сағ Trenti 2008

[Bate,_Mueller,_and_White-19] See Bate, Mueller, and White, Chapter 1: "Two-Body Orbital Mechanics", pp 1–49. These authors were from the Department of Astronautics and Computer Science, United States Air Force Academy. Their textbook is not filled with advanced mathematics.

[20] For the classical approach, if the common масса орталығы (i.e., the barycenter) of the two bodies is considered to be at rest, then each body travels along a conic section ол бар focus at the barycenter of the system. In the case of a hyperbola it has the branch at the side of that focus. The two conics will be in the same plane. The type of conic (шеңбер, ellipse, parabola немесе гипербола ) is determined by finding the sum of the combined kinetic energy of two bodies and the потенциалды энергия when the bodies are far apart. (This potential energy is always a negative value; energy of rotation of the bodies about their axes is not counted here)
If the sum of the energies is negative, then they both trace out ellipses.
If the sum of both energies is zero, then they both trace out parabolas. As the distance between the bodies tends to infinity, their relative speed tends to zero.
If the sum of both energies is positive, then they both trace out hyperbolas. As the distance between the bodies tends to infinity, their relative speed tends to some positive number.

[21] If the sum of the energies is negative, then they both trace out ellipses.

[22] If the sum of both energies is zero, then they both trace out parabolas. As the distance between the bodies tends to infinity, their relative speed tends to zero.

[23] If the sum of both energies is positive, then they both trace out hyperbolas. As the distance between the bodies tends to infinity, their relative speed tends to some positive number.

[21] For this approach see Lindsay's Physical Mechanics, Chapter 3: "Curvilinear Motion in a Plane", and specifically paragraphs 3–9, "Planetary Motion"; 83-96 бет. Lindsay presentation goes a long way in explaining these latter comments for the fixed two-body problem; i.e., when the Sun is assumed fixed.

[22] Note: The fact a parabolic orbit has zero energy arises from the assumption the gravitational potential energy goes to zero as the bodies get infinitely far apart. One could assign кез келген value to the potential energy in the state of infinite separation. That state is assumed to have zero potential energy by convention.

[23] Science Program'sThe Nature of the Universe states Clarence Cleminshaw (1902–1985) served as assistant director of Griffith Observatory from 1938–1958 and as director from 1958–1969. Some publications by Cleminshaw:
Cleminshaw, C. H.: "Celestial Speeds", 4 1953, equation, Kepler, orbit, comet, Saturn, Mars, velocity.^{[толық дәйексөз қажет ]}
Cleminshaw, C. H.: "The Coming Conjunction of Jupiter and Saturn", 7 1960, Saturn, Jupiter, observe, conjunction.^{[толық дәйексөз қажет ]}
Cleminshaw, C. H.: "The Scale of The Solar System", 7 1959, Solar system, scale, Jupiter, sun, size, light.^{[толық дәйексөз қажет ]}

[27] Cleminshaw, C. H.: "Celestial Speeds", 4 1953, equation, Kepler, orbit, comet, Saturn, Mars, velocity.^{[толық дәйексөз қажет ]}

[28] Cleminshaw, C. H.: "The Coming Conjunction of Jupiter and Saturn", 7 1960, Saturn, Jupiter, observe, conjunction.^{[толық дәйексөз қажет ]}

[29] Cleminshaw, C. H.: "The Scale of The Solar System", 7 1959, Solar system, scale, Jupiter, sun, size, light.^{[толық дәйексөз қажет ]}

[24] Brush, Stephen G., ed. (1983). Maxwell on Saturn's Rings. MIT түймесін басыңыз.

[25] See Leimanis and Minorsky's historical comments.

[26] See Moulton's Restricted Three-body Problem for its analytical and graphical solution.

[27] See Meirovitch's book: Chapters 11: "Problems in Celestial Mechanics"; 12; "Problem in Spacecraft Dynamics"; and Appendix A: "Dyadics".

[28] Huang, Su-Shu. "Very Restricted Four-Body Problem". NASA TND-501.

[29] Negri, Rodolfo B.; Prado, Antonio F. B. A. (2020). "Generalizing the Bicircular Restricted Four-Body Problem". Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 43 (6): 1173–1179. Бибкод:2020JGCD...43.1173N. дои:10.2514/1.G004848.

[Chierchia_2010-30] а ^б ^в Chierchia 2010

[31] Féjoz 2004

[32] See Chierchia 2010 for animations illustrating homographic motions.

[33] Celletti 2008

[34] Qiu-Dong, Wang (1990-03-01). "The global solution of the N-body problem". Аспан механикасы және динамикалық астрономия. 50 (1): 73–88. Бибкод:1990CeMDA..50...73W. дои:10.1007/BF00048987. ISSN 0923-2958. S2CID 118132097.

[35] Xia, Zhihong (May 1992). "The Existence of Noncollision Singularities in Newtonian Systems". Энн. Математика. Екінші серия. 135 (3): 411–468. дои:10.2307/2946572. JSTOR 2946572.

[36] Gerver, Joseph L. (2003). "Noncollision Singularities: Do Four Bodies Suffice?". Exp. Математика. 12 (2): 187–198. дои:10.1080/10586458.2003.10504491. S2CID 23816314.

[37] Saari, Donald G. (1977). "A global existence theorem for the four-body problem of Newtonian mechanics". J. дифференциалдық теңдеулер. 26 (1): 80–111. Бибкод:1977JDE....26...80S. дои:10.1016/0022-0396(77)90100-0.

[38] Alligood 1996

[39] Blanchet 2001

[40] Krumscheid 2010

[41] Board 1999

[42] Ram 2010

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

Numerical methods for integration
First-order methods	Euler method Backward Euler Semi-implicit Euler Exponential Euler
Second-order methods	Верлет интеграциясы Velocity Verlet Trapezoidal rule Beeman's algorithm Midpoint method Хен әдісі Newmark-beta method Leapfrog integration
Higher-order methods	Exponential integrator Рунге – Кутта әдістері List of Runge–Kutta methods Linear multistep method General linear methods Backward differentiation formula Йошида
Теория	Symplectic integrator