Екінші ковариант туынды - Википедия - Second covariant derivative

Математикалық тармақтарында дифференциалды геометрия және векторлық есептеу, екінші ковариант туындынемесе екінші ретті ковариант туынды, векторлық өрістің - оның туындысының басқа екеуіне қатысты туындысы жанасу векторы өрістер.

Анықтама

Ресми түрде (псевдо) -Риманна берілген көпжақты (М, ж) байланысты векторлық шоғыр EМ,. деп белгілейік Levi-Civita байланысы метрикамен берілген ж, және Γ (E) кеңістігі тегіс бөлімдер жалпы кеңістіктің E. Белгілеу Т*М The котангенс байламы туралы М. Сонда екінші ковариантты туынды ретінде анықтауға болады құрамы екінің бірі келесідей: [1]

Мысалы, берілген векторлық өрістер сен, v, w, екінші ковариант туынды деп жазуға болады

пайдалану арқылы индекстің абстрактілі жазбасы. Мұны тексеру де қарапайым

Осылайша

Қашан бұралу тензоры нөлге тең, сондықтан , біз бұл фактіні жазу үшін пайдалануымыз мүмкін Риманның қисықтық тензоры сияқты [2]

Сол сияқты функцияның екінші ковариантты туындысын да алуға болады f сияқты

Тағы да, бұралусыз Levi-Civita байланысы үшін және кез-келген векторлық өрістер үшін сен және v, функцияны берген кезде f екі жағына

біз табамыз

.

Мұны келесі түрде жазуға болады

сондықтан бізде бар

Яғни, функцияның екінші ковариантты туындысының мәні туындыларды алу ретіне тәуелді емес.

Ескертулер

  1. ^ Паркер, Томас Х. «Геометрия негізі» (PDF). Алынған 2 қаңтар 2015., 7-бет
  2. ^ Жан Галли және Дан Гуралник. «13 тарау: Риман манифольдтарындағы қисықтық» (PDF). Алынған 2 қаңтар 2015.