Тәуекелге бейтарап шара - Risk-neutral measure

Жылы математикалық қаржы, а тәуекелге бейтарап шара (тепе-теңдік шарасы деп те аталады, немесе балама мартингал өлшеу ) - бұл ықтималдық өлшемі, сондықтан әрбір акция бағасы осы өлшем бойынша акция бағасының дисконтталған күтуіне дәл тең болады, бұл баға белгілеу кезінде қатты қолданылады. қаржылық туынды құралдар байланысты активтерге баға белгілеудің негізгі теоремасы, бұл а толық нарық туынды баға - дисконтталған күтілетін мән тәуекелге қарсы бірегей шара бойынша болашақ төлемнің.^[1] Мұндай шара нарық төрелік етпейтін жағдайда ғана болады.

Тәуекелге бейтарап шара деген не екенін есте сақтаудың немесе қаржы туралы көп білмеуі мүмкін ықтималдықтар жөніндегі генералистке түсіндірудің ең оңай жолы - бұл:

Трансформацияланған кездейсоқ шаманың ықтималдық өлшемі. Әдетте бұл трансформация төлемнің пайдалы функциясы болып табылады. Тәуекелге бейтарап шара сызықтық утилитамен төлемді күтуге сәйкес келетін өлшем болады.
Ан көзделген ықтималдық өлшемі, бұл тиісті құралдардың қолданыстағы бақыланатын / орналастырылған / саудаланатын бағаларынан туындайды. Тиісті дегеніміз қарастырылып отырған ықтималдық кеңістігіндегі оқиғалармен (мысалы, базалық бағалар мен туынды құралдар) байланысты болатын құралдар және
Бұл төлемнің белгілі моделін ескере отырып, төлем кезінде сызықтық (тәуекелге бейтарап) утилитаны қолдану арқылы анықталатын ықтималдық өлшемі (кері есеп түрін шешеді). Бұл дегеніміз, сіз ағымдағы бағалар тәуекелге бейтарап өлшем бойынша болашақ төлемдердің күтілетін дисконтталған құны болатын теңдеуді шеше отырып, тәуекелге бейтарап өлшемді табуға тырысасыз. Тәуекелге бейтарап бірегей шара тұжырымдамасы ең тиімді болып табылады, егер ол бірнеше туынды құралдар бойынша бағаларды жасауды елестететін болса болар еді тәуекелге бейтарап бірегей шара қолданыңыз, өйткені бұл жорамалданбаған бағалардың бірізділігін білдіреді және теориялық тұрғыдан баға / ұсыныс бағалары көрінетін нарықтардағы арбитраж мүмкіндіктерін көрсетеді.

Қаржы саласындағы кіріспе қосымшалардың көпшілігінде кейбір терминалдардағы немесе болашақтағы бағалар туралы білімді ескере отырып, төлемдер детерминирленген болатындығын атап өткен жөн. Бұл техниканы пайдалану үшін бұл өте қажет емес.

Тәуекелге бейтарап шараларды қолдануға түрткі болу

Активтердің бағасы олардың шешілуіне байланысты тәуекел өйткені инвесторлар көп тәуекелге бару үшін көп пайда табуды талап етеді. Сондықтан ертең іске асырылатын тәуекелді сомаға талаптың бүгінгі бағасы, әдетте, оның күтілетін құнынан өзгеше болады. Көбінесе, инвесторлар болып табылады тәуекелге жол бермейді және бүгінгі баға төменде тәуекелге баратындарға сыйақы төлеу (ең болмағанда көп мөлшерде) қаржы нарықтары; тәуекелге ұмтылатын нарықтардың мысалдары казино және лотереялар ).

Кімге активтер демек, есептелген күтілетін мәндерді инвестордың тәуекелдік преференцияларына түзету қажет (сонымен бірге қараңыз) Шарп коэффициенті ). Өкінішке орай, дисконттау ставкалары инвесторлар арасында әр түрлі болады, ал жеке тұлғаның тәуекелге қатысты қалауын анықтау қиын.

Бұл а толық нарық бірге арбитраж мүмкіндігі жоқ бұл есептеулерді жүргізудің балама әдісі бар: алдымен инвестордың үмітін күтіп, содан кейін тәуекелге байланысты артықшылықты түзетудің орнына, болашақ нәтижелердің ықтималдығын, олар барлық инвесторлардың тәуекелдік алғышарттарын ескере отырып түзете алады; содан кейін осы жаңа ықтималдық үлестірімі бойынша күтуді қабылдаңыз тәуекелге бейтарап шара. Негізгі пайда тәуекелге бейтарап ықтималдықтар табылғаннан кейін, әрқайсысы активке күтілетін төлемнің дисконтталған құнын алу арқылы баға қоюға болады. Егер біз нақты шынайы ықтималдықтарды қолданатын болсақ, кез-келген бағалы қағаздар әртүрлі түзетулерді қажет ететіндігін ескеріңіз (өйткені олар қауіптілікпен ерекшеленеді).

Арбитраждың болмауы тәуекелге бейтарап шараның болуы үшін өте маңызды. Іс жүзінде активтерге баға белгілеудің негізгі теоремасы, арбитражсыздық шарты тәуекелге бейтарап шараның болуымен тең. Нарықтың толықтығы да маңызды, өйткені толық емес нарықта активке әр түрлі тәуекелге қарсы шараларға сәйкес келетін көптеген бағалар болады. Нарық тиімділігі тек бір ғана баға болатындығын дәлелдейді («»)бір баға заңы «); тәуекелге бейтарап дұрыс баға, оны таза математикалық емес, экономикалық дәлелдерді қолдану арқылы таңдау керек.

Жалпы қателік - бұл ықтималдықтың үлестірілуін шынайы әлеммен шатастыру. Олар әр түрлі болады, өйткені нақты әлемде инвесторлар тәуекелділікті талап етеді, алайда тәуекелге бейтарап ықтималдықтар бойынша барлық активтер кірістің бірдей күтілетін мөлшеріне ие болатындығын көрсетуге болады. тәуекелсіз мөлшерлеме (немесе қысқа ставка ) және, осылайша, мұндай премияларды қоспаңыз. Тәуекелге бейтарап баға белгілеу әдісі көптеген пайдалы есептеу құралдары ретінде қарастырылуы керек - тіпті жасанды болып көрінсе де ыңғайлы және қуатты.

Тәуекелге бейтарап шараның шығу тегі (Arrow құнды қағаздары)

Нарықта арбитражсыз тәуекелге қарсы шара қалай пайда болады деген сұрақ туындауы заңды. Қандай да бір жолмен барлық активтердің бағасы ықтималдық өлшемін анықтайды. Түсіндірмесін қолдану арқылы беріледі Көрсеткі қауіпсіздігі. Қарапайымдылық үшін болашақ бір ғана көкжиегі бар дискретті (тіпті ақыретті) әлемді қарастырыңыз. Басқаша айтқанда, қазіргі (0 уақыт) және болашақ (1 уақыт) бар, ал 1 уақытта әлемнің жағдайы шектеулі көптеген күйлердің бірі бола алады. Мемлекетке сәйкес келетін көрсеткі қауіпсіздігі n, A_n, күйінде 1 уақытта 1 доллар төлейтін төлем n және $ 0 әлемнің кез келген басқа мемлекеттерінде.

Бағасы қандай? A_n қазір? Бұл позитивті болуы керек, өйткені сізде $ 1 алу мүмкіндігі бар; ол $ 1-ден аз болуы керек, өйткені бұл мүмкін төлем. Осылайша әрқайсысының бағасы A_n, біз оны белгілейміз A_n(0), қатаң түрде 0 мен 1 аралығында болады.

Шын мәнінде, барлық қауіпсіздік бағаларының жиынтығы $ 1-нің дисконтталған құнына тең болуы керек, өйткені әрбір Arrow бағалы қағаздарынан тұратын портфельді ұстау $ 1 белгілі бір төлемге әкеледі. Ұтыс ойынына қатысуды қарастырыңыз, онда бір билет барлық кіру жарналарының жүлдесіне ие болады: егер жүлде $ 1 болса, кіру жарнасы билеттердің 1/1 құрайды. Қарапайымдылық үшін біз пайыздық мөлшерлемені 0 деп санаймыз, осылайша $ 1-дің қазіргі мәні $ 1 болады.

Осылайша A_n(0) ықтималдықтың үлестірілуі үшін аксиомаларды қанағаттандырады. Әрқайсысы теріс емес және олардың қосындысы 1. Бұл тәуекелге бейтарап шара! Енді оның жарнамада жұмыс істейтіндігін көрсету керек, яғни осы ықтималдық өлшеміне қатысты күтілетін мәндерді қабылдау 0 уақытында тиісті бағаны береді.

Сізде қауіпсіздік бар делік C оның бағасы 0-ге тең C (0). Болашақта, күйде мен, оның төлемі болады C_мен. Портфолионы қарастырыңыз P тұратын C_мен әр көрсеткі бағасының мөлшері A_мен. Болашақта қандай мемлекет мен пайда болады, содан кейін A_мен $ 1 төлейді, ал басқа Arrow бағалы қағаздары $ 0 төлейді, сондықтан P төлейді C_мен. Басқаша айтқанда, портфолио P төлемін қайталайды C болашақта не болатынына қарамастан. Арбитраж мүмкіндігінің болмауы бағаны білдіреді P және C дәл қазір бірдей болуы керек, өйткені бағаның кез-келген айырмашылығы, біз ешқандай қауіп-қатерсіз (қысқа) қымбатты сатамыз, арзанға сатып аламыз және айырмашылықты қалтаға басамыз. Болашақта біз қысқа сатылған активті қайтаруымыз керек, бірақ біз оны сатып алған активімізді сату арқылы қаржыландырып, бізді алғашқы пайдаға қалдырамыз.

Әрбір Arrow қауіпсіздік бағасына қатысты ықтималдық, біз портфолионың бағасы P (0) күтілетін мәні болып табылады C тәуекелге бейтарап ықтималдықтар бойынша. Егер R сыйақы мөлшерлемесі нөлге тең болмаса, біз бағаны алу үшін күтілетін мәнді тиісті түрде төмендетуіміз керек еді. Атап айтқанда, әр Arrow қауіпсіздігінен тұратын портфолионың қазіргі мәні бар ${ displaystyle { frac {1} {1 + R}}}$ , сондықтан i күйінің тәуекелге бейтарап ықтималдығы болады ${ displaystyle (1 + R)}$ әрбір көрсеткі бағасының бағасынан еселенген A_меннемесе оның форвардтық баға.

Жебе бағалы қағаздары іс жүзінде нарықта саудаласудың қажеті жоқ екенін ескеріңіз. Бұл жерде нарықтың толықтығы пайда болады. Толық нарықта Arrow-дің әрбір қауіпсіздігін нақты, сатылатын активтер портфолиосы арқылы көбейтуге болады. Жоғарыдағы дәлел әлі де Arrow қауіпсіздігін портфолио ретінде қарастыра отырып жұмыс істейді.

Сияқты шынайы модельде Black-Scholes моделі және оны жалпылау, біздің көрсеткі қауіпсіздігіміз а қосарланған сандық опция, ол базалық актив төменгі және жоғарғы шекара арасында болған кезде $ 1 төлейді, ал басқаша жағдайда $ 0 төлейді. Содан кейін мұндай опционның бағасы нарықтың спот бағасының осы баға аралығында аяқталу ықтималдығы туралы көзқарасын көрсетеді, тәуекел премиясымен реттеледі, біз бір сатылы дискретті әлем үшін жоғарыда келтірілген ықтималдықтарды қалай алдық.

Пайдалану

Тәуекелге бейтарап шаралар туынды мәнін формулада өрнектеуді жеңілдетеді. Болашақ уақытта делік ${ displaystyle T}$ туынды (мысалы, а қоңырау опциясы үстінде қор ) төлейді ${ displaystyle H_ {T}}$ бірлік, қайда ${ displaystyle H_ {T}}$ Бұл кездейсоқ шама үстінде ықтималдық кеңістігі нарықты сипаттайтын. Бұдан әрі жеңілдік коэффициенті қазірден бастап (нөлдік уақыт) уақытқа дейін ${ displaystyle T}$ болып табылады ${ displaystyle P (0, T)}$ . Сонда туындының бүгінгі әділ құны мынада

{ displaystyle H_ {0} = P (0, T) operatorname {E} _ {Q} (H_ {T}).}

мұнда тәуекелге бейтарап шара белгіленеді ${ displaystyle Q}$ . Мұны физикалық өлшем тұрғысынан қайта айтуға болады P сияқты

{ displaystyle H_ {0} = P (0, T) operatorname {E} _ {P} left ({ frac {dQ} {dP}} H_ {T} right)}

қайда ${ displaystyle { frac {dQ} {dP}}}$ болып табылады Радон-Никодим туындысы туралы ${ displaystyle Q}$ құрметпен ${ displaystyle P}$ .^[2]

Тәуекелге бейтарап шараның тағы бір атауы - эквивалент мартингал өлшеу. Егер қаржы нарығында тәуекелге бейтарап бір ғана шара болса, онда нарықтағы әрбір актив үшін арбитражсыз бірегей баға болады. Бұл төреліксіз баға белгілеудің негізгі теоремасы. Егер мұндай шаралар көп болса, онда баға аралықтарында төрелік ету мүмкін емес. Егер теңдестіру шарасы болмаса, арбитраж мүмкіндігі бар.

Нарықтарда транзакциялық шығындар, жоқ numéraire, дәйекті баға процесі теңгерімді мартингал өлшемінің орнын алады. Шын мәнінде а 1-ден 1-ге дейін дәйекті баға процесі мен оған теңестірілген мартингал шарасы арасындағы байланыс.

1-мысал - Акциялар бағасының биномдық моделі

Ықтималдық кеңістігі берілген ${ displaystyle ( Omega, { mathfrak {F}}, mathbb {P})}$ , бір периодты биномдық модельді қарастырайық. Ықтималдық өлшемі ${ displaystyle mathbb {P ^ {*}}}$ егер барлығына бейтарап тәуекел деп аталады ${ displaystyle i in {0, ..., d }}$ ${ displaystyle pi ^ {i} = mathbb {E} _ { mathbb {P} ^ {*}} (S ^ {i} / (1 + r))}$ .Біздің екі мемлекет экономикасы бар делік: акциялардың бастапқы бағасы ${ displaystyle S}$ дейін көтеріле алады ${ displaystyle S ^ {u}}$ немесе төмен ${ displaystyle S ^ {d}}$ . Егер пайыздық мөлшерлеме болса ${ displaystyle R> 0}$ , және ${ displaystyle S ^ {d} leq (1 + R) S leq S ^ {u}}$ (басқасы бар арбитраж нарықта), содан кейін тәуекелге бейімділігі жоғары акция қозғалысының ықтималдығы санмен беріледі

{ displaystyle pi = { frac {(1 + R) S-S ^ {d}} {S ^ {u} -S ^ {d}}}.}

^[3]

Төлемі бар туынды берілген ${ displaystyle X ^ {u}}$ акция бағасы көтерілгенде және ${ displaystyle X ^ {d}}$ ол төмендегенде, біз туынды арқылы бағалай аламыз

{ displaystyle X = { frac { pi X ^ {u} + (1- pi) X ^ {d}} {1 + R}}.}

2 мысал - акциялар бағасының броундық қозғалыс моделі

Біздің экономикамыз 2 активтен тұрады делік, а қор және а тәуекелсіз облигация және біз Black-Scholes моделі. Модельде акциялар бағасының эволюциясын сипаттауға болады Броундық геометриялық қозғалыс:

{ displaystyle dS_ {t} = mu S_ {t} , dt + sigma S_ {t} , dW_ {t}}

қайда ${ displaystyle W_ {t}}$ стандарт болып табылады Броундық қозғалыс физикалық өлшемге қатысты. Егер біз анықтайтын болсақ

{ displaystyle { tilde {W}} _ {t} = W_ {t} + { frac { mu -r} { sigma}} t,}

Гирсанов теоремасы шара бар екенін айтады ${ displaystyle Q}$ астында ${ displaystyle { tilde {W}} _ {t}}$ бұл броундық қозғалыс. ${ displaystyle { frac { mu -r} { sigma}}}$ ретінде белгілі тәуекелдің нарықтық бағасы.Itô калькуляциясындағы ережелерді қолдану, қатысты бейресми түрде ажыратылуы мүмкін ${ displaystyle t}$ және шығару үшін жоғарыдағы өрнекті қайта реттеңіз SDE

{ displaystyle dW_ {t} = d { tilde {W}} _ {t} - { frac { mu -r} { sigma}} , dt,}

Мұны бастапқы теңдеуге қайтарыңыз:

{ displaystyle dS_ {t} = rS_ {t} , dt + sigma S_ {t} , d { tilde {W}} _ {t}.}

Келіңіздер ${ displaystyle { tilde {S}} _ {t}}$ болуы акциялардың дисконтталған бағасы берілген ${ displaystyle { tilde {S}} _ {t} = e ^ {- rt} S_ {t}}$ , содан кейін Ито леммасы біз SDE аламыз:

{ displaystyle d { tilde {S}} _ {t} = sigma { tilde {S}} _ {t} , d { tilde {W}} _ {t}.}

${ displaystyle Q}$ бұл модель үшін бірегей тәуекелге бейтарап шара. Акция бойынша туынды құралдың дисконтталған төлем процесі ${ displaystyle H_ {t} = оператордың аты {E} _ {Q} (H_ {T} | F_ {t})}$ Бұл мартингал астында ${ displaystyle Q}$ . SDE дрейфінің r, the екенін ескеріңіз тәуекелсіз пайыздық мөлшерлеме, тәуекел бейтараптығын білдіреді. Бастап ${ displaystyle { tilde {S}}}$ және ${ displaystyle H}$ болып табылады ${ displaystyle Q}$ -мартингалдар мартингал ұсыну теоремасы а табу қайталау стратегиясы - төлейтін акциялар мен облигациялар портфелі ${ displaystyle H_ {t}}$ барлық кезде ${ displaystyle t leq T}$ .

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

^ Глин А.Холтон (2005). «Активтерге баға белгілеудің негізгі теоремасы». riskglossary.com. Алынған 20 қазан, 2011.
^ Ханс Фоллмер; Александр Шиед (2004). Стохастикалық қаржы: дискретті уақыттағы кіріспе (2 басылым). Вальтер де Грюйтер. б.6. ISBN 978-3-11-018346-7.
^ Эллиотт, Роберт Джеймс; Kopp, P. E. (2005). Қаржы нарықтарының математикасы (2 басылым). Спрингер. бет.48 –50. ISBN 978-0-387-21292-0.

Сыртқы сілтемелер

Гисигер, Николас: Тәуекел-бейтарап ықтималдықтар түсіндіріледі
Там, Джозеф: Тәуекелге бейтарап бағалау: Жұмсақ кіріспе, II бөлім

[1] Глин А.Холтон (2005). «Активтерге баға белгілеудің негізгі теоремасы». riskglossary.com. Алынған 20 қазан, 2011.

[FollmerSchied-2] Ханс Фоллмер; Александр Шиед (2004). Стохастикалық қаржы: дискретті уақыттағы кіріспе (2 басылым). Вальтер де Грюйтер. б.6. ISBN 978-3-11-018346-7.

[3] Эллиотт, Роберт Джеймс; Kopp, P. E. (2005). Қаржы нарықтарының математикасы (2 басылым). Спрингер. бет.48 –50. ISBN 978-0-387-21292-0.

[1]

[2]

[3]