Құлдырау конусы - Википедия - Recession cone

Жылы математика, әсіресе дөңес талдау, конус конусы жиынтықтың ${ displaystyle A}$ Бұл конус барлығын қамтиды векторлар осындай ${ displaystyle A}$ шегінеді сол бағытта. Яғни жиынтық рецессия конусы берген барлық бағыттар бойынша сыртқа қарай созылады.^[1]

Математикалық анықтама

Бос емес жиынтық берілген ${ displaystyle A X жиынтығы}$ кейбіреулер үшін векторлық кеңістік ${ displaystyle X}$, содан кейін рецессия конусы ${ displaystyle operatorname {recc} (A)}$ арқылы беріледі

${ displaystyle operatorname {recc} (A) = {y in X: forall x in A, forall lambda geq 0: x + lambda y in A }.}$^[2]

Егер ${ displaystyle A}$ қосымша а дөңес жиынтық онда рецессия конусы баламалы түрде анықталуы мүмкін

${ displaystyle operatorname {recc} (A) = {y in X: for all x in A: x + y in A }.}$^[3]

Егер ${ displaystyle A}$ бос емес жабық дөңес жиынтық, содан кейін рецессия конусы барабар түрде анықталуы мүмкін

${ displaystyle operatorname {recc} (A) = bigcap _ {t> 0} t (A-a)}$ кез келген таңдау үшін ${ displaystyle a in A.}$^[3]

Қасиеттері

• Егер ${ displaystyle A}$ бұл бос емес жиынтық ${ displaystyle 0 in operatorname {recc} (A)}$.
• Егер ${ displaystyle A}$ бұл бос емес дөңес жиынтық ${ displaystyle operatorname {recc} (A)}$ Бұл дөңес конус.^[3]
• Егер ${ displaystyle A}$ ақырлы өлшемді бос емес жабық дөңес ішкі жиын Хаусдорф кеңістігі (мысалы, ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$), содан кейін ${ displaystyle operatorname {recc} (A) = {0 }}$ егер және егер болса ${ displaystyle A}$ шектелген^[1][3]
• Егер ${ displaystyle A}$ бұл бос емес жиынтық ${ displaystyle A + operatorname {recc} (A) = A}$ қосындысын білдіреді Минковскийдің қосымшасы.

Асимптотикалық конуспен байланыс

The асимптотикалық конус үшін ${ displaystyle C subseteq X}$ арқылы анықталады

${ displaystyle C _ { infty} = {x in X: бар (t_ {i}) _ {i in I} subset (0, infty), бар (x_ {i}) _ { i in I} subset: C: t_ {i} to 0, t_ {i} x_ {i} to x }.}$^[4][5]

Анықтама бойынша оны оңай көрсетуге болады ${ displaystyle operatorname {recc} (C) subseteq C _ { infty}.}$^[4]

Шекті өлшемді кеңістікте оны көрсетуге болады ${ displaystyle C _ { infty} = operatorname {recc} (C)}$ егер ${ displaystyle C}$ бос емес, жабық және дөңес.^[5] Шексіз көлемді кеңістіктерде асимптотикалық конустар мен рецессия конустары арасындағы қатынас қиындатылған, олардың эквиваленттілігі үшін қасиеттер жинақталған.^[6]

Жабық жиынтықтардың қосындысы

• Диудонне теоремасы: Бос емес жабық дөңес жиындар болсын ${ displaystyle A, B X жиынтығы$ а жергілікті дөңес кеңістік, егер болса ${ displaystyle A}$ немесе ${ displaystyle B}$ болып табылады жергілікті ықшам және ${ displaystyle operatorname {recc} (A) cap operatorname {recc} (B)}$ Бұл сызықтық ішкі кеңістік, содан кейін ${ displaystyle A-B}$ жабық.^[7][3]
• Бос емес дөңес жиынтықтар болсын ${ displaystyle A, B subset mathbb {R} ^ {d}}$ кез келген үшін ${ displaystyle y in operatorname {recc} (A) backslash {0 }}$ содан кейін ${ displaystyle -y not in operatorname {recc} (B)}$, содан кейін ${ displaystyle A + B}$ жабық.^[1][4]

Сондай-ақ қараңыз

• Барьерлік конус

Әдебиеттер тізімі