Рамификация тобы - Ramification group

Деген ұсыныс жасалды Бағалаудың рамификация теориясы болуы біріктірілген осы мақалада. (Талқылаңыз) 2020 жылдың наурыз айынан бастап ұсынылған.

Жылы сандар теориясы, нақтырақ айтқанда жергілікті сынып далалық теориясы, рамификация топтары болып табылады сүзу туралы Галуа тобы а жергілікті өріс туралы толық ақпарат беретін кеңейту рамификация кеңейту құбылыстары.

Төменгі нөмірлеудегі рамификация топтары

Рамификация топтары - Галуа тобының нақтылануы ${ displaystyle G}$ ақырлы ${ displaystyle L / K}$ Galois кеңейтілуі туралы жергілікті өрістер. Біз жазамыз ${ displaystyle w, { mathcal {O}} _ {L}, { mathfrak {p}}}$ бағалау үшін бүтін сандар сақинасы және оның максималды идеалы ${ displaystyle L}$. Салдары ретінде Генсель леммасы, біреу жаза алады ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L} = { mathcal {O}} _ {K} [ alpha]}$ кейбіреулер үшін ${ displaystyle alpha in L}$ қайда ${ displaystyle O_ {K}}$ - бүтін сандар сақинасы ${ displaystyle K}$.^[1] (Бұл қарағанда күшті алғашқы элемент теоремасы.) Содан кейін, әрбір бүтін сан үшін ${ displaystyle i geq -1}$, біз анықтаймыз ${ displaystyle G_ {i}}$ бәрінің жиынтығы болу ${ displaystyle s in G}$ келесі баламалы шарттарды қанағаттандырады.

• (i) ${ displaystyle s}$ ұсақ-түйек жұмыс істейді ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L} / { mathfrak {p}} ^ {i + 1}.}$
• (ii) ${ displaystyle w (s (x) -x) geq i + 1}$ барлығына ${ displaystyle x in { mathcal {O}} _ {L}}$
• (iii) ${ displaystyle w (s ( alpha) - alpha) geq i + 1.}$

Топ ${ displaystyle G_ {i}}$ аталады ${ displaystyle i}$- үшінші рамификация тобы. Олар азаюды құрайды сүзу,

${ displaystyle G _ {- 1} = G supset G_ {0} supset G_ {1} supset dots {* }.}$

Іс жүзінде ${ displaystyle G_ {i}}$ (i) және бойынша қалыпты болып табылады болмашы жеткілікті үлкен ${ displaystyle i}$ (iii) бойынша. Төмен индекстер үшін қоңырау шалу әдетке айналған ${ displaystyle G_ {0}}$ The инерция кіші тобы туралы ${ displaystyle G}$ байланысты болғандықтан негізгі идеалдардың бөлінуі, ал ${ displaystyle G_ {1}}$ The жабайы инерцияның кіші тобы туралы ${ displaystyle G}$. Көрсеткіш ${ displaystyle G_ {0} / G_ {1}}$ тыныштық деп аталады.

Галуа тобы ${ displaystyle G}$ және оның кіші топтары ${ displaystyle G_ {i}}$ жоғарыда келтірілген сүзгілеуді қолдану арқылы немесе дәлірек айтсақ, сәйкес квоенттермен зерттеледі. Соның ішінде,

• ${ displaystyle G / G_ {0} = operatorname {Gal} (l / k),}$ қайда ${ displaystyle l, k}$ қалдық өрістері болып табылады ${ displaystyle L, K}$.^[2]
• ${ displaystyle G_ {0} = 1 Leftrightrow L / K}$ болып табылады расталмаған.
• ${ displaystyle G_ {1} = 1 Leftrightrow L / K}$ болып табылады толықтай кеңейтілген (яғни, қалдық сипаттамасына рамификация индексі негізгі болып табылады).

Рамификация топтарын зерттеу бұрыннан барлығына дейін азаяды ${ displaystyle G_ {i} = (G_ {0}) _ {i}}$ үшін ${ displaystyle i geq 0}$.

Біреуі функцияны анықтайды ${ displaystyle i_ {G} (s) = w (s ( alpha) - alpha), s in G}$. (іі) жоғарыда көрсетілген ${ displaystyle i_ {G}}$ таңдауына тәуелсіз ${ displaystyle alpha}$ сонымен қатар, сүзуді зерттеу ${ displaystyle G_ {i}}$ мәніне сәйкес келеді ${ displaystyle i_ {G}}$.^[3] ${ displaystyle i_ {G}}$ келесілерді қанағаттандырады: үшін ${ displaystyle s, t in G}$,

• ${ displaystyle i_ {G} (s) geq i + 1 Leftrightarrow s in G_ {i}.}$
• ${ displaystyle i_ {G} (tst ^ {- 1}) = i_ {G} (s).}$
• ${ displaystyle i_ {G} (st) geq min {i_ {G} (s), i_ {G} (t) }.}$

Тегістегішті түзетіңіз ${ displaystyle pi}$ туралы ${ displaystyle L}$. Содан кейін ${ displaystyle s mapsto s ( pi) / pi}$ инъекцияны тудырады ${ displaystyle G_ {i} / G_ {i + 1} - U_ {L, i} / U_ {L, i + 1}, i geq 0}$ қайда ${ displaystyle U_ {L, 0} = { mathcal {O}} _ {L} ^ { times}, U_ {L, i} = 1 + { mathfrak {p}} ^ {i}}$. (Карта іс жүзінде тегістегіштің таңдауына байланысты емес.^[4]) Бұдан шығады^[5]

• ${ displaystyle G_ {0} / G_ {1}}$ реттік циклге тең ${ displaystyle p}$
• ${ displaystyle G_ {i} / G_ {i + 1}}$ реттіліктің циклдік топтарының туындысы болып табылады ${ displaystyle p}$.

Соның ішінде, ${ displaystyle G_ {1}}$ Бұл б-топ және ${ displaystyle G_ {0}}$ болып табылады шешілетін.

Тарату топтарын есептеу үшін қолдануға болады әр түрлі ${ displaystyle { mathfrak {D}} _ {L / K}}$ кеңейту ${ displaystyle L / K}$ және қосалқы кеңейтулер:^[6]

${ displaystyle w ({ mathfrak {D}} _ {L / K}) = sum _ {s neq 1} i_ {G} (s) = sum _ {i = 0} ^ { infty} (| G_ {i} | -1).}$

Егер ${ displaystyle H}$ -ның қалыпты топшасы болып табылады ${ displaystyle G}$, содан кейін, үшін ${ displaystyle sigma in G}$, ${ displaystyle i_ {G / H} ( sigma) = {1 over e_ {L / K}} sum _ {s mapsto sigma} i_ {G} (s)}$.^[7]

Мұны жоғарыда айтылғандармен біріктіру: қосалқы кеңейту үшін ${ displaystyle F / K}$ сәйкес ${ displaystyle H}$,

${ displaystyle v_ {F} ({ mathfrak {D}} _ {F / K}) = {1 over e_ {L / F}} sum _ {s not in H} i_ {G} ( с).}$

Егер ${ displaystyle s in G_ {i}, t in G_ {j}, i, j geq 1}$, содан кейін ${ displaystyle sts ^ {- 1} t ^ {- 1} in G_ {i + j + 1}}$.^[8] Терминологиясында Лазард, бұл дегенді білдіреді деп түсінуге болады Алгебра ${ displaystyle operatorname {gr} (G_ {1}) = sum _ {i geq 1} G_ {i} / G_ {i + 1}}$ абель.

Мысал: циклотомды кеңейту

А циклотомды созылу ${ displaystyle K_ {n}: = mathbf {Q} _ {p} ( zeta) / mathbf {Q} _ {p}}$, қайда ${ displaystyle zeta}$ Бұл ${ displaystyle p ^ {n}}$- қарабайыр бірліктің тамыры, нақты сипаттауға болады:^[9]

${ displaystyle G_ {s} = Gal (K_ {n} / K_ {e}),}$

қайда e таңдалады ${ displaystyle p ^ {e-1} leq s$

.

Мысал: кварталық кеңейту

-Ның жалғасы K болсын Q₂ жасаған ${ displaystyle x_ {1} = { sqrt {2 + { sqrt {2}} }}}$. Х-тің конъюгаттары₁ х₂=${ displaystyle x_ {2} = { sqrt {2 - { sqrt {2}} }},}$ х₃ = −х₁, х₄ = −х₂.

Кішкене есептеулер көрсеткендей, олардың кез-келген екеуінің мәні a бірлік. Демек, олардың барлығы бірдей идеал тудырады; шақырыңыз π. ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ генерациялайды π²; (2)=π⁴.

Қазір х₁ − х₃ = 2х₁, ол бар π⁵.

және ${ displaystyle x_ {1} -x_ {2} = { sqrt {4-2 { sqrt {2}} , ,}},}$ қайсысы π³.

Галуа тобы әртүрлі әдістерді көрсетеді Қ болып табылады ${ displaystyle C_ {4}}$, реттік цикл. Сонымен қатар:

${ displaystyle G_ {0} = G_ {1} = G_ {2} = C_ {4}.}$

және ${ displaystyle G_ {3} = G_ {4} = (13) (24).}$

${ displaystyle w ({ mathfrak {D}} _ {K / Q_ {2}}) = 3 + 3 + 3 + 1 + 1 = 11,}$ сондықтан әр түрлі ${ displaystyle { mathfrak {D}} _ {K / Q_ {2}} = pi ^ {11}}$

х₁ қанағаттандырады х⁴ − 4х² + 2, онда 2048 = 2 дискриминанты бар¹¹.

Жоғарғы нөмірлеудегі рамификация топтары

Егер ${ displaystyle u}$ нақты сан ${ displaystyle geq -1}$, рұқсат етіңіз ${ displaystyle G_ {u}}$ белгілеу ${ displaystyle G_ {i}}$ қайда мен ең аз бүтін сан ${ displaystyle geq u}$. Басқа сөздермен айтқанда, ${ displaystyle s in G_ {u} Leftrightarrow i_ {G} (s) geq u + 1.}$ Анықтаңыз ${ displaystyle phi}$ арқылы^[10]

${ displaystyle phi (u) = int _ {0} ^ {u} {dt over (G_ {0}: G_ {t})}}$

мұнда, шарт бойынша, ${ displaystyle (G_ {0}: G_ {t})}$ тең ${ displaystyle (G _ {- 1}: G_ {0}) ^ {- 1}}$ егер ${ displaystyle t = -1}$ және тең ${ displaystyle 1}$ үшін ${ displaystyle -1$.^[11] Содан кейін ${ displaystyle phi (u) = u}$ үшін ${ displaystyle -1 leq u leq 0}$. Бұл бірден ${ displaystyle phi}$ үздіксіз және қатаң түрде өседі және осылайша үздіксіз кері функцияға ие болады ${ displaystyle psi}$ бойынша анықталған ${ displaystyle [-1, infty)}$. Анықтаңыз${ displaystyle G ^ {v} = G _ { psi (v)}}$.${ displaystyle G ^ {v}}$ содан кейін деп аталады v- үшінші рамификация тобы жоғарғы нөмірлеуде. Басқа сөздермен айтқанда, ${ displaystyle G ^ { phi (u)} = G_ {u}}$. Ескерту ${ displaystyle G ^ {- 1} = G, G ^ {0} = G_ {0}}$. Жоғарғы нөмірлеу баға ұсыныстарына сәйкес келетін етіп анықталған:^[12] егер ${ displaystyle H}$ жылы қалыпты ${ displaystyle G}$, содан кейін

${ displaystyle (G / H) ^ {v} = G ^ {v} H / H}$ барлығына ${ displaystyle v}$

(ал төменгі нөмірлеу кіші топтарға өтуге сәйкес келеді.)

Хербранд теоремасы

Хербранд теоремасы төменгі нөмірлеудегі рамификация топтары қанағаттандыратынын айтады ${ displaystyle G_ {u} H / H = (G / H) _ {v}}$ (үшін ${ displaystyle v = phi _ {L / F} (u)}$ қайда ${ displaystyle L / F}$ сәйкес келетін ішкі кеңейту болып табылады ${ displaystyle H}$) және жоғарғы нөмірлеудегі рамификация топтары қанағаттандырады ${ displaystyle G ^ {u} H / H = (G / H) ^ {u}}$.^[13][14] Бұл галуа шексіз кеңейтімдері үшін жоғарғы нөмірлеуде рамификация топтарын анықтауға мүмкіндік береді (мысалы абсолютті Галуа тобы жергілікті өрістің) шектеулі ішкі кеңейтуге арналған рамификация топтарының кері жүйесінен.

Абель кеңеюінің жоғарғы нөмірленуі маңызды болғандықтан маңызды Хассе-Арф теоремасы. Онда егер ${ displaystyle G}$ абельдік, содан кейін фильтрацияға секіреді ${ displaystyle G ^ {v}}$ бүтін сандар; яғни, ${ displaystyle G_ {i} = G_ {i + 1}}$ қашан болса да ${ displaystyle phi (i)}$ бүтін сан емес.^[15]

Жоғарғы нөмірлеу нормативті қалдықтар тобын фильтрациямен сәйкес келеді Артин изоморфизмі. Бейнесі ${ displaystyle G ^ {n} (L / K)}$ изоморфизмнің астында

${ displaystyle G (L / K) ^ { mathrm {ab}} сол жақтағы сызық K ^ {*} / N_ {L / K} (L ^ {*})}$

жай^[16]

${ displaystyle U_ {K} ^ {n} / (U_ {K} ^ {n} cap N_ {L / K} (L ^ {*})) .}$

Сондай-ақ қараңыз

• Бағалаудың рамификация теориясы

Ескертулер

Пайдаланылған әдебиеттер

• Б.Конрад, Математика 248A. Жоғары рамификация топтары
• Фрохлич, А.; Тейлор, М.Дж. (1991). Алгебралық сандар теориясы. Кембридж тереңдетілген математикада оқиды. 27. Кембридж университетінің баспасы. ISBN  0-521-36664-X. Zbl  0744.11001.
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебралық сандар теориясы. Grundlehren der matemischen Wissenschaften. 322. Берлин: Шпрингер-Верлаг. ISBN  978-3-540-65399-8. МЫРЗА  1697859. Zbl  0956.11021.
• Серре, Жан-Пьер (1967). «VI. Жергілікті сыныптық өріс теориясы». Жылы Кассельдер, Дж.; Фрохлич, А. (ред.). Алгебралық сандар теориясы. Халықаралық математикалық одақтың қолдауымен Лондон математикалық қоғамы (НАТО-ның алдыңғы қатарлы зерттеу институты) ұйымдастырған нұсқаулық конференция материалдары.. Лондон: Academic Press. 128–161 бет. Zbl  0153.07403.
• Серре, Жан-Пьер (1979). Жергілікті өрістер. Математика бойынша магистратура мәтіндері. 67. Аударған Гринберг, Марвин Джей. Берлин, Нью-Йорк: Шпрингер-Верлаг. ISBN  0-387-90424-7. МЫРЗА  0554237. Zbl  0423.12016.
• Снайт, Виктор П. (1994). Galois модулінің құрылымы. Fields Institute монографиялары. Провиденс, RI: Американдық математикалық қоғам. ISBN  0-8218-0264-X. Zbl  0830.11042.