Хассе – Арф теоремасы - Википедия - Hasse–Arf theorem

Жылы математика, атап айтқанда жергілікті сынып далалық теориясы, Хассе-Арф теоремасы секірудің нәтижесі болып табылады жоғарғы нөмірлеу сүзу Галуа тобы ақырлы Galois кеңейтілуі. Қалдық өрістер шектеулі болған кезде оның ерекше жағдайы алғашқыда дәлелденді Хельмут Хассе,[1][2] және жалпы нәтиже дәлелденді Cahit Arf.[3][4]

Мәлімдеме

Жоғары рамификация топтары

Теорема ақырғының жоғарғы сандық жоғарғы рамификациялық топтарын қарастырады абелия кеңеюі L/Қ. Сондықтан болжаймыз L/Қ бұл Galois-тің ақырғы кеңеюі және сол vҚ Бұл дискретті нормаланған бағалау туралы Қ, оның қалдық өрісі сипатталады б > 0, және ол бірегей кеңейтімді қабылдайды L, айт w. Белгілеу vL байланысты нормаланған бағалау аналық туралы L және рұқсат етіңіз болуы бағалау сақинасы туралы L астында vL. Келіңіздер L/Қ бар Галуа тобы G және анықтаңыз с- үшінші рамификация тобы L/Қ кез келген нақты үшін с By −1 by

Мәселен, мысалы, G−1 Галуа тобы G. Нөмірдің жоғарғы нөміріне өту үшін функцияны анықтау керек ψL/Қ бұл өз кезегінде функцияға кері болып табылады ηL/Қ арқылы анықталады

Жоғарғы нөмірлеу рамификация топтары содан кейін анықталады Gт(L/Қ) = Gс(L/Қ) қайда с = ψL/Қ(т).

Бұл жоғары рамификация топтары Gт(L/Қ) кез келген нақты үшін анықталады т ≥ −1, бірақ содан бері vL дискретті бағалау болып табылады, топтар дискретті секірулерде өзгереді және үздіксіз болмайды. Осылайша біз мұны айтамыз т бұл сүзудің секіруі {Gт(L/Қ) : т . −1} егер Gт(L/Қ) ≠ Gсен(L/Қ) кез келген үшін сен > т. Хассе-Арф теоремасы бізге осы секірулердің арифметикалық сипатын айтады.

Теореманың тұжырымы

Жоғарыда келтірілген теорема сүзудің секірулерін айтады {Gт(L/Қ) : т ≥ −1} барлығы рационалды бүтін сандар.[4][5]

Мысал

Айталық G ретінің циклі болып табылады , қалдық сипаттамасы және кіші тобы болуы керек тәртіп . Теорема оң бүтін сандар бар дейді осындай

...
[4]

Абелиялық емес кеңейтулер

Абельдік емес кеңейтулер үшін жоғарғы фильтрациядағы секірулер бүтін сандарда болмауы керек. Серре Галуа тобымен кватернион тобымен толық кеңейтілген мысал келтірді Q8 8 тапсырыс

  • G0 = Q8
  • G1 = Q8
  • G2 = З/2З
  • G3 = З/2З
  • G4 = 1

Содан кейін жоғарғы нөмірлеу қанағаттандырады

  • Gn = Q8 үшін n≤1
  • Gn = З/2З 1 <үшінn≤3/2
  • Gn = 1 үшін 3/2 <n

интегралды емес мәнге секіру де бар n=3/2.

Ескертулер

  1. ^ Х. Хассе, Führer, Diskriminante und Verzweigunsgskörper relativ Abelscher Zahlkörper, Дж. Рейн Энгью. Математика. 162 (1930), 169-184 бб.
  2. ^ Х. Хассе, Normenresttheorie galoisscher Zahlkörper mit Anwendungen auf Führer und Diskriminante abelscher Zahlkörper, J. Fac. Ғылыми. Токио 2 (1934), 477-498 бб.
  3. ^ Арф, С. (1939). «Unversuchungen über reinverzweigte Erweiterungen diskret bewerteter perfekter Körper». Дж. Рейн Энгью. Математика. (неміс тілінде). 181: 1–44. Zbl  0021.20201.
  4. ^ а б c Серре (1979) IV.3, б.76
  5. ^ Нойкирх (1999) теоремасы 8.9, б.68

Әдебиеттер тізімі