Препопа - Лейндлер теңсіздігі - Prékopa–Leindler inequality

Жылы математика, Препопа - Лейндлер теңсіздігі болып табылады ажырамас теңсіздік -мен тығыз байланысты Янг теңсіздігін қалпына келтіру, Брунн-Минковский теңсіздігі және бірқатар басқа маңызды және классикалық теңсіздіктер талдау. Нәтиже Венгр математиктер András Prékopa және Ласло Лейндлер.

Теңсіздік туралы мәлімдеме

0 <болсынλ <1 және рұқсат етіңіз f, ж, сағ : Rⁿ → [0, + ∞) болмауы керектеріс нақты бағаланады өлшенетін функциялар бойынша анықталған n-өлшемді Евклид кеңістігі Rⁿ. Осы функциялар қанағаттандырады делік

{displaystyle hleft ((1-lambda) x + lambda yight) geq f (x) ^ {1-lambda} g (y) ^ {lambda}}

(1)

барлығына х және ж жылы Rⁿ. Содан кейін

{displaystyle | h | _ {1}: = int _ {mathbb {R} ^ {n}} h (x), mathrm {d} xgeq left (int _ {mathbb {R} ^ {n}} f (x) ), mathrm {d} xight) ^ {1-lambda} left (int _ {mathbb {R} ^ {n}} g (x), mathrm {d} xight) ^ {lambda} =: | f | _ { 1} ^ {1-лямбда} | g | _ {1} ^ {лямбда}.}

Теңсіздіктің маңызды формасы

Естеріңізге сала кетейік маңызды супремум өлшенетін функция f : Rⁿ → R арқылы анықталады

{displaystyle mathop {mathrm {ess, sup}} _ {xin mathbb {R} ^ {n}} f (x) = inf left {tin [-infty, + infty] mid f (x) leq t {ext {for барлығы дерлік}} xin mathbb {R} ^ {n} ight}.}

Бұл жазба келесіге жол береді маңызды нысаны Прекопа - Лейндлер теңсіздігінің: 0 <болсынλ <1 және рұқсат етіңіз f, ж ∈ L¹(Rⁿ; [0, + ∞)) теріс емес болуы керек мүлдем интегралды функциялары. Келіңіздер

{displaystyle s (x) = mathop {mathrm {ess, sup}} _ {yin mathbb {R} ^ {n}} fleft ({frac {xy} {1-lambda}} ight) ^ {1-lambda} gleft ({frac {y} {lambda}} ight) ^ {lambda}.}

Содан кейін с өлшенеді және

{displaystyle | s | _ {1} geq | f | _ {1} ^ {1-lambda} | g | _ {1} ^ {lambda}.}

Супремумның маңызды формасы берілген.^[1] Оны пайдалану теңсіздіктің сол жағын өзгерте алады. Мысалы, функция ж дәл 1 нүктеде 1 мәнін алатын болса, әдетте «маңызды емес» формада нөлдік сол жақ болмайды, бірақ ол әрдайым «маңызды суп» түрінде сол жақта нөлге ие болады.

Брунн-Минковский теңсіздігімен қатынас

Кәдімгі Прекопа-Лейндлер теңсіздігі мынаны білдіреді Брунн-Минковский теңсіздігі келесі формада: егер 0 <λ <1 және A және B болып табылады шектелген, өлшенетін ішкі жиындар туралы Rⁿ сияқты Минковский сомасы (1 − λ)A + λB сонымен бірге өлшенеді

{displaystyle mu сол ((1-лямбда) A + лямбда Bight) geq mu (A) ^ {1-лямбда} mu (B) ^ {лямбда},}

қайда μ білдіреді n-өлшемді Лебег шарасы. Демек, Препопа-Лейндлер теңсіздігін қолдануға болады^[2] Брунн-Минковский теңсіздігін неғұрлым таныс түрінде дәлелдеу: егер 0 <λ <1 және A және B жатпайдыбос, шектелген, өлшенетін ішкі жиындар туралы Rⁿ осылай (1 -λ)A + λB сонымен бірге өлшенеді

{displaystyle mu left ((1-lambda) A + lambda Bight) ^ {1 / n} geq (1-lambda) mu (A) ^ {1 / n} + lambda mu (B) ^ {1 / n}. }

Ықтималдықтағы және статистикадағы қосымшалар

Бөрене-вогнуты үлестірулер

Прекопа - Лейндлер теңсіздігі теориясында пайдалы вогнуты үлестірулер, оны лог-ойыс арқылы сақтайтындығын көрсету үшін қолдануға болады маргинализация және тәуелсіз вогнуты үлестірілген кездейсоқ шамалардың қосындысы. Айталық H(х,ж) үшін лог-вогнуты үлестіру болып табыладых,ж) ∈ R^м × Rⁿ, осылайша анықтама бойынша бізде бар

{displaystyle Hleft ((1-лямбда) (x_ {1}, y_ {1}) + lambda (x_ {2}, y_ {2}) ight) geq H (x_ {1}, y_ {1}) ^ { 1-лямбда} H (x_ {2}, y_ {2}) ^ {лямбда},}

(2)

және рұқсат етіңіз М(ж) интегралдау арқылы алынған шекті үлестіруді белгілеңіз х:

{displaystyle M (y) = int _ {mathbb {R} ^ {m}} H (x, y), dx.}

Келіңіздер ж₁, ж₂ ∈ Rⁿ және 0 <λ <1 беріледі. Сонда теңдеу (2) шартты қанағаттандырады (1) бірге сағ(х) = H(х,(1 − λ) у₁ + λy₂), f(х) = H(х,ж₁) және ж(х) = H(х,ж₂), сондықтан Препопа-Лейндлер теңсіздігі қолданылады. Тұрғысынан жазуға болады М сияқты

{displaystyle M ((1-lambda) y_ {1} + lambda y_ {2}) geq M (y_ {1}) ^ {1-lambda} M (y_ {2}) ^ {lambda},}

бұл лог-ойыс анықтамасы М.

Мұның лог-дөңестікті тәуелсіз қосындылармен сақтауды қалай білдіретінін білу үшін, делік X және Y вогнуты үлестірілген тәуелсіз кездейсоқ шамалар. Екі лог-вогнуты функцияның туындысы лог-вогнуты болғандықтан, (X,Y) сонымен қатар лог-вогнуты болып табылады. Лог-ойыс координаталардың аффиналық өзгеруімен сақталады, сондықтан (X + Y, X − Y) лог-вогнуты болып табылады. Таралғаннан бері X + Y бірлескен үлестірілімінен шекті болып табыладыX + Y, X − Y) деп қорытынды жасаймыз X + Y лог-вогнуты үлестірілімге ие.

Шама концентрациясына қосымшалар

Прекопа-Лейндлер теңсіздігін шоғырланудың нәтижелерін дәлелдеу үшін қолдануға болады.

Теорема^{[дәйексөз қажет ]} Келіңіздер ${extstyle Asubseteq mathbb {R} ^ {n}}$ және орнатыңыз ${extstyle A_ {эпсилон} = {x: d (x, A) <эпсилон}}$ . Келіңіздер ${extstyle гамма (х)}$ стандартты Гаусс pdf-н белгілеңіз, және ${extstyle mu}$ онымен байланысты шара. Содан кейін ${extstyle mu (A_ {эпсилон}) geq 1- {frac {e ^ {- epsilon ^ {2} / 4}} {mu (A)}}}$ .

Шама концентрациясының дәлелі

Бұл теореманың дәлелі келесі лемма арқылы жүреді:

Лемма Теореманың белгісінде ${extstyle int _ {mathbb {R} ^ {n}} exp (d (x, A) ^ {2} / 4) dmu leq 1 / mu (A)}$ .

Бұл лемманы Прекопа-Лейндлерден қабылдау арқылы дәлелдеуге болады ${extstyle h (x) = гамма (x), f (x) = e ^ {frac {d (x, A) ^ {2}} {4}} гамма (x), g (x) = 1_ {A } (x) гамма (х)}$ және ${extstyle лямбда = 1/2}$ . Теңсіздік гипотезасын тексеру үшін, ${extstyle h ({frac {x + y} {2}}) geq {sqrt {f (x) g (u)}}}$ , біз тек ескеруіміз керек екенін ескеріңіз ${extstyle yin A}$ , бұл жағдайда ${extstyle d (x, A) leq || x-y ||}$ . Бұл бізге есептеуге мүмкіндік береді:

{displaystyle (2pi) ^ {n} f (x) g (x) = exp ({frac {d (x, A)} {4}} - || x || ^ {2} / 2- || y || ^ {2} / 2) leq exp ({frac {|| xy || ^ {2}} {4}} - || x || ^ {2} / 2- || y || ^ {2 } / 2) = exp (- || {frac {x + y} {2}} || ^ {2}) = (2pi) ^ {n} h ({frac {x + y} {2}}) ^ {2}.}

Бастап ${extstyle int h (x) dx = 1}$ , PL теңсіздігі лемманы бірден береді.

Концентрация теңсіздігін леммадан шығару үшін, мынаған назар аударыңыз ${extstyle mathbb {R} ^ {n} setminus A_ {epsilon}}$ , ${extstyle d (x, A)> эпсилон}$ , сондықтан бізде бар ${extstyle int _ {mathbb {R} ^ {n}} exp (d (x, A) ^ {2} / 4) dmu geq (1-mu (A_ {epsilon})) exp (epsilon ^ {2} / 4)}$ . Лемманы қолдану және қайта құру нәтижені дәлелдейді.

Ескертулер

^ Herm Jan Brascamp және Эллиотт Х.Либ (1976). «Брунн-Минковский және Прекопа-Лейндлер теоремаларының кеңеюі туралы, соның ішінде журналдың ойыс функциялары үшін теңсіздіктер және диффузиялық теңдеуге қосымшалар». Функционалды талдау журналы. 22 (4): 366–389. дои:10.1016/0022-1236(76)90004-5.CS1 maint: авторлар параметрін қолданады (сілтеме)
^ Гарднер, Ричард Дж. (2002). «Брунн-Минковский теңсіздігі». Өгіз. Amer. Математика. Soc. (N.S.) 39 (3): 355-405 беттер (электрондық). doi: 10.1090 / S0273-0979-02-00941-2. ISSN 0273-0979.

Әдебиеттер тізімі

Гарднер, Ричард Дж. (2002). «Брунн-Минковский теңсіздігі» (PDF). Өгіз. Amer. Математика. Soc. (Н.С.). 39 (3): 355-405 (электрондық). дои:10.1090 / S0273-0979-02-00941-2. ISSN 0273-0979.

Прекопа, Андрас (1971). «Стохастикалық бағдарламалауға қолданылатын логарифмдік ойыс шаралар» (PDF). Acta Sci. Математика. 32: 301–316.

Прекопа, Андрас (1973). «Логарифмдік ойыс өлшемдер мен функциялар туралы» (PDF). Acta Sci. Математика. 34: 335–343.

[1] Herm Jan Brascamp және Эллиотт Х.Либ (1976). «Брунн-Минковский және Прекопа-Лейндлер теоремаларының кеңеюі туралы, соның ішінде журналдың ойыс функциялары үшін теңсіздіктер және диффузиялық теңдеуге қосымшалар». Функционалды талдау журналы. 22 (4): 366–389. дои:10.1016/0022-1236(76)90004-5.CS1 maint: авторлар параметрін қолданады (сілтеме)

[2] Гарднер, Ричард Дж. (2002). «Брунн-Минковский теңсіздігі». Өгіз. Amer. Математика. Soc. (N.S.) 39 (3): 355-405 беттер (электрондық). doi: 10.1090 / S0273-0979-02-00941-2. ISSN 0273-0979.

[1]

[2]