Политоп - Polytope

A көпбұрыш 2 өлшемді политоп болып табылады. Әр түрлі типтегі кейбір көпбұрыштар: ашық (оның шекарасын қоспағанда), тек шектеу тізбегі (оның ішкі бөлігін ескермей), жабық (оның шекарасын да, ішкі бөлігін де ескере отырып) және әртүрлі аймақтардың әр түрлі тығыздықтарымен қиылысатын.

Бастауышта геометрия, а политоп - бұл «жазық» жақтары бар геометриялық объект. Бұл үш өлшемді өлшемдердің кез-келген санында қорыту полиэдр. Политоптар өлшемдердің кез келген жалпы санында болуы мүмкін n ретінде n-өлшемді политоп немесе n-политоп. Тегіс жақтар а (к+1) -политоп тұрады кболуы мүмкін политоптар (к−1) -политоптар ортақ. Мысалы, екі өлшемді көпбұрыш 2-политоп, ал үшөлшемді полиэдр - 3-политоп.

Кейбір теориялар шексіз сияқты объектілерді қосу идеясын одан әрі жалпылайды апейротоптар және tessellations, қисаюдың ыдырауы немесе плиткалары коллекторлар оның ішінде сфералық полиэдралар, және теоретикалық дерексіз политоптар.

Үш өлшемнен асатын политоптарды алғаш ашқан Людвиг Шлафли. The Неміс мерзім политоп математик ойлап тапты Рейнхольд Хоппе, және ағылшын математиктеріне политоп ретінде ұсынылды Алисия Буль Стотт.

Анықтаманың тәсілдері

Термин политоп қазіргі кезде объектілердің кең класын қамтитын кең термин болып табылады және математикалық әдебиеттерде әр түрлі анықтамалар пайда болады. Осы анықтамалардың көпшілігі бір-біріне эквивалентті емес, нәтижесінде объектілердің әр түрлі қабаттасатын жиынтығы шақырылады политоптар. Олар жалпылаудың әртүрлі тәсілдерін ұсынады дөңес политоптар ұқсас қасиеттері бар басқа объектілерді қосу.

Түпнұсқа тәсіл кеңінен қолданылады Людвиг Шлафли, Thorold Gosset және басқалары ұқсастық бойынша төрт немесе одан да көп өлшемдерге, сәйкесінше екі және үш өлшемді көпбұрыш пен полиэдр идеясының кеңеюінен басталады.[1]

Жалпылау әрекеттері Эйлерге тән көп өлшемді политоптарға дейін полиэдраның дамуына әкелді топология және ыдырауды емдеу немесе CW кешені политопқа ұқсас.[2] Бұл тәсілде политопты а деп қарастыруға болады тесселляция немесе кейбірінің ыдырауы көпжақты. Осы тәсілдің мысалы политопты а-ны қабылдайтын нүктелер жиынтығы ретінде анықтайды қарапайым ыдырау. Бұл анықтамада политоп дегеніміз - бұл көптеген адамдардың бірігуі қарапайым, қосымша қасиетімен, бос емес қиылысы бар кез-келген екі қарапайым үшін, олардың қиылысы екінің шыңы, жиегі немесе өлшемді беті болады.[3] Алайда бұл анықтама мүмкіндік бермейді политоптар ішкі құрылымдармен, және де математиканың белгілі бір салаларында шектелген.

Ашылуы жұлдызды полиэдра және басқа да ерекше конструкциялар оның ішкі көрінісін ескермей, шектелген бет ретінде полиэдр идеясына әкелді.[4] Бұл жарық дөңес политоптар б-кеңістігі барабар тақтайшаларыб−1) -сфера, ал басқалары басқалардың қаптамалары болуы мүмкін эллиптикалық, жалпақ немесе тороидты (б−1) -беттер - қараңыз эллиптикалық плитка және тороидты полиэдр. A полиэдр оның беті ретінде түсініледі жүздер болып табылады көпбұрыштар, а 4-политоп оның беткі қабаты ретінде (жасушалар ) полиэдралар және т.б.

Төменгі өлшемдерден жоғары политопты құру идеясы кейде өлшем бойынша төмен қарай кеңейтіліп, (шеті ) ретінде көрінеді 1-политоп нүктелік жұппен, ал нүктемен немесе шың 0-политоп ретінде. Бұл тәсіл мысалы теориясында қолданылады дерексіз политоптар.

Математиканың белгілі бір салаларында «политоп» және «полиэдр» терминдері басқа мағынада қолданылады: а полиэдр - кез-келген өлшемдегі жалпы объект (деп аталады) политоп осы Википедия мақаласында) және политоп білдіреді шектелген полиэдр.[5] Бұл терминология әдетте политоптар мен полиэдралармен шектеледі дөңес. Осы терминологиямен дөңес полиэдр дегеніміз -дің ақырлы санының қиылысы жартылай кеңістіктер және оның бүйірлерімен анықталады, ал дөңес политоп - болып табылады дөңес корпус соңғы нүктелердің саны және оның шыңдарымен анықталады.

Өлшемдердің төменгі сандарындағы политоптардың стандартты атаулары бар:

Өлшем
политоп
Сипаттама[6]
−1 Нулитоп
0 Монон
1 Дион
2 Көпбұрыш
3 Полиэдр
4 Полихорон

Элементтер

Политоп әртүрлі өлшемділік элементтерінен тұрады, мысалы, шыңдар, шеттер, беттер, ұяшықтар және т.б. Бұлардың терминологиясы әр түрлі авторларға сәйкес келмейді. Мысалы, кейбір авторлар қолданады бет сілтеме жасауn - 1) өлшемді элемент, ал басқалары қолданады бет арнайы екі жүзді белгілеу үшін. Авторлар пайдалана алады j-бет немесе jэлементін көрсету үшін -facet j өлшемдер. Кейбіреулер пайдаланады шеті жотасына сілтеме жасау үшін, ал Коксетер қолданады ұяшық белгілеуn - 1) өлшемді элемент.[7][дәйексөз қажет ]

Осы мақалада қабылданған терминдер төмендегі кестеде келтірілген:

Өлшем
элемент
Мерзім
(ан n-политоп)
−1 Нөлдік (қажет реферат теория)[8]
0 Шың
1 Жиек
2 Бет
3 Ұяшық
 
j j-жүзі - дәреже элементі j = −1, 0, 1, 2, 3, ..., n
 
n − 3 Шың – (n - 3) -бет
n − 2 Тау немесе субфасет - (n - 2) -бет
n − 1 Фасет – (n - 1) -бет
n Политоптың өзі

Ан n-өлшемді политоп бірнеше санмен шектелгенn - 1) -өлшемді қырлары. Бұл қырлар өздері политоптар, олардың қырлары (n - 2) -өлшемді жоталар бастапқы политоптың. Әрбір жотаның екі беткейдің қиылысы ретінде пайда болады (бірақ екі жақтың қиылысы жотаның болуы шарт емес). Жоталар қайтадан политоптар болып табылады, олардың қырлары (n - 3) түпнұсқа политоптың өлшемдік шекаралары және т.б. Бұл шектегіш политоптар деп аталуы мүмкін жүздер, немесе арнайы j-өлшемді беттер немесе j-жүздер. 0 өлшемді тұлға а деп аталады шың, және бір нүктеден тұрады. 1-өлшемді тұлға an деп аталады шеті, және түзу кесіндісінен тұрады. 2-өлшемді тұлға а-дан тұрады көпбұрыш және 3 өлшемді тұлға, кейде а деп аталады ұяшық, а. тұрады полиэдр.

Политоптардың маңызды кластары

Дөңес политоптар

Политоп болуы мүмкін дөңес. Дөңес политоптар политоптардың қарапайым түрі болып табылады және политоптар ұғымын бірнеше түрлі жалпылауға негіз болады. Дөңес политопты кейде жиынтығының қиылысы ретінде анықтайды жартылай бос орындар. Бұл анықтама политоптың шектеулі де, шекті де болмауына мүмкіндік береді. Политоптар осылайша анықталады, мысалы сызықтық бағдарламалау. Политоп бұл шектелген егер оны қамтитын соңғы радиустың шары болса. Политоп деп аталады нұсқады егер оның құрамында кем дегенде бір шың болса. Әрбір шектелмеген бос политопқа бағытталған. Мүшесі жоқ политоптың мысалы ретінде жиынтықты алуға болады . Политоп бұл ақырлы егер ол объектілердің ақырғы санымен анықталса, мысалы, жартылай жазықтықтардың ақырғы санының қиылысы ретінде. Бұл интегралды политоп егер оның барлық төбелерінің бүтін координаттары болса.

Дөңес политоптардың белгілі бір класы болып табылады рефлексивті политоптар. Интеграл -политоп кейбіреулері үшін рефлексивті болып табылады интегралды матрица , , қайда барлығының векторын білдіреді, ал теңсіздік компоненттерге қатысты. Осы анықтамадан шығады рефлексивті болып табылады және егер болса барлығына . Басқаша айтқанда, а -dilate бүтін торлы нүктелер бойынша, а-дан ерекшеленеді -dilate шекарада алынған торлы нүктелермен ғана. Эквивалентті, егер ол болса ғана рефлексивті болып табылады қос политоп ажырамас политоп болып табылады.[9]

Тұрақты политоптар

Тұрақты политоптар барлық политоптардың ең жоғары симметрия дәрежесіне ие. Тұрақты политоптың симметрия тобы оған өтпелі әсер етеді жалаушалар; сондықтан қос политоп тұрақты политоптың да тұрақты.

Кез-келген мөлшерде кездесетін тұрақты политоптың үш негізгі класы бар:

Екі, үш және төрт өлшемдерге бес симметриялы, ал кейбіреулері дөңес емес жұлдыздар болатын тұрақты фигуралар жатады, ал екі өлшемде шексіз көп тұрақты көпбұрыштар туралы n-қатыс симметрия, әрі дөңес, әрі (үшін) n ≥ 5) жұлдыз. Бірақ жоғары өлшемдерде басқа тұрақты политоптар жоқ.[1]

Үш өлшемде дөңес Платондық қатты денелер бес-симметриялы додекаэдр және икосаэдр және тағы төрт жұлдыз бар Кеплер-Пуинсот полиэдрасы бес рет симметриямен, жалпы тоғыз тұрақты полиэдраны құрайды.

Төрт өлшемде тұрақты 4-политоптар төрт қабатты симметриялы бір қосымша дөңес, екеуі бес есе симметриялы. Он жұлдыз бар Schläfli-Hess 4-политоптар, барлығы бес рет симметриялы, барлығы он алты тұрақты политопты береді.

Жұлдыз политоптар

Дөңес политоп өздігінен қиылысуы мүмкін; бұл политоптар класына политоптар. Кейбір тұрақты политоптар - жұлдыздар.[1]

Қасиеттері

Эйлерге тән

Дөңес политоп болғандықтан (толтырылған) P жылы өлшемдері келісімшарт нүктеге дейін Эйлерге тән оның шекарасының ∂P ауыспалы қосындымен беріледі:

, қайда саны - өлшемді тұлғалар.

Бұл жалпылайды Эйлердің полиэдраларға арналған формуласы.[10]

Ішкі бұрыштар

The Грам-Эйлер теоремасы осылайша ауыспалы қосындысын жалпылайды ішкі бұрыштар көп өлшемді политоптарға дөңес полиэдралар үшін:[10]

Политопты жалпылау

Шексіз политоптар

Барлық коллекторлар ақырлы емес. Политопты коллектордың плиткасы немесе ыдырауы деп түсінген жағдайда, бұл идея шексіз коллекторларға дейін кеңейтілуі мүмкін. тегістеу, кеңістікті толтыру (ұялар ) және гиперболалық плиткалар осы мағынада политоптар болып табылады, және кейде деп аталады апейротоптар өйткені олардың шексіз көп жасушалары бар.

Олардың арасында тұрақты формалары бар, олардың ішінде кәдімгі қиғаш полиэдра және тұрақты түрде ұсынылған қаптамалардың шексіз сериясы апейрогон, төртбұрышты плитка, текшелі ұя және т.б.

Абстрактілі политоптар

Теориясы дерексіз политоптар политоптарды олардың құрамындағы кеңістіктен, олардың таза комбинаторлық қасиеттерін ескере отырып, бөліп алуға тырысады. Бұл терминнің анықтамасын кеңейтуге мүмкіндік береді, олар үшін интуитивті негізгі кеңістікті анықтау қиын болатын объектілерді қосады, мысалы 11-ұяшық.

Абстрактілі политоп - а жартылай тапсырыс берілген жиынтық белгілі бір ережелерге бағынатын элементтердің немесе мүшелердің. Бұл таза алгебралық құрылым, және теория әртүрлі математикалық шеңберде әртүрлі геометриялық кластарды үйлестіруді қиындататын кейбір мәселелерден аулақ болу үшін жасалған. Геометриялық политоп - байланысты абстрактілі политоптың қандай да бір нақты кеңістігінде жүзеге асыру деп аталады.[11]

Күрделі политоптар

Политоптарға ұқсас құрылымдар кешенді түрде бар Гильберт кеңістігі қайда n нақты өлшемдер сүйемелденеді n ойдан шығарылған бір. Тұрақты күрделі политоптар ретінде дұрыс қарастырылады конфигурациялар.[12]

Дуальность

Әрқайсысы n-политоптың қос құрылымы бар, ол шыңдарды қырлар үшін, қырлар үшін жиектерді және т.с.с.j - 1) үшін өлшемдік элементтер (n − j) өлшемді элементтер (үшін j = 1-ден n - 1), элементтер арасындағы байланысты немесе инциденттілікті сақтай отырып.

Абстрактілі политоп үшін бұл жай жиынтықтың ретін өзгертеді. Бұл өзгеріс мынада көрінеді Schläfli таңбалары қос политоптың таңбасы жай түпнұсқаға кері болатын тұрақты политоптар үшін. Мысалы, {4, 3, 3} - {3, 3, 4} қосарланған.

Геометриялық политоп жағдайында дуализмге қатысты кейбір геометриялық ережелер қажет, мысалы, сипатталған ережелерді қараңыз қос полиэдра. Жағдайға байланысты қос фигура басқа геометриялық политоп болуы немесе болмауы мүмкін.[13]

Егер екілік кері болса, онда түпнұсқа политоп қалпына келеді. Осылайша, политоптар қосарланған жұпта болады.

Өздігінен қосарланған политоптар

The 5 ұяшық (4-симплекс) 5 шыңы және 5 тетраэдрлік жасушаларынан тұратын екі жақты.

Егер политопта шыңдар саны беттермен, шеттер жоталармен және тағы басқалармен бірдей болса, олардың байланыстары бірдей болса, онда қос фигура түпнұсқаға ұқсас болады және политоп өздігінен болады.

Кейбір екі жақты политоптарға мыналар жатады:

Тарих

Көпбұрыштар мен полиэдралар ежелгі заманнан бері белгілі.

Жоғары өлшемдердің алғашқы кеңесі 1827 жылы пайда болды Тамыз Фердинанд Мобиус суреттегі екі қатты денені төртінші математикалық өлшем арқылы айналдыру арқылы бірін қоюға болатындығын анықтады. 1850 жж. Сияқты басқа математиктер Артур Кэйли және Герман Грассманн жоғары өлшемдерді де қарастырған болатын.

Людвиг Шлафли осы жоғары кеңістіктердегі полигондар мен полиэдралардың аналогтарын бірінші болып қарастырды. Ол алтауды сипаттады дөңес тұрақты 4-политоптар 1852 жылы, бірақ оның жұмысы қайтыс болғаннан кейін алты жылдан кейін 1901 жылға дейін жарияланды. 1854 жылға қарай, Бернхард Риман Келіңіздер Habilitationsschrift неғұрлым жоғары өлшемдердің геометриясын, сөйтіп n- өлшемді политоптар қолайлы болды. Шлафлидің политоптары келесі онжылдықтарда, тіпті оның көзі тірісінде де бірнеше рет қайта ашылды.

1882 жылы Рейнхольд Хоппе, неміс тілінде жаза отырып, сөз тапқан политоп көпбұрыштар мен полиэдралардың осы жалпы тұжырымдамасына сілтеме жасау. Уақыты келгенде Алисия Буль Стотт, логиктің қызы Джордж Бул, англикамен таныстырды политоп ағылшын тіліне.[1]:VI

1895 жылы, Thorold Gosset Шлафлидің тұрақты политоптарын қайта тауып қана қоймай, сонымен қатар идеяларын зерттеді полиметриялық политоптар және кеңістікті толтыру tessellations жоғары өлшемдерде. Политоптар гиперболалық кеңістік сияқты эвклидтік емес кеңістіктерде де зерттеле бастады.

1948 жылы маңызды белеске қол жеткізілді Коксетер кітабы Тұрақты политоптар, осы күнге дейінгі жұмысты қорытындылау және өзінің жаңа жаңалықтарын қосу.

Бұл арада француз математигі Анри Пуанкаре дамыған болатын топологиялық бөлшектелген ыдырау ретіндегі политоп идеясы (мысалы. CW кешені ) а көпжақты. Бранко Грюнбаум туралы өзінің ықпалды жұмысын жариялады Дөңес политоптар 1967 жылы.

1952 жылы Джеффри Колин Шефард деген ойды жалпылама түрде келтірді күрделі политоптар әрбір нақты өлшем онымен байланысты қиялға ие болатын күрделі кеңістікте. Коксетер теорияны әрі қарай дамытты.

Күрделі политоптар көтеретін тұжырымдамалық мәселелер, дөңес емес, қосарлы және басқа құбылыстар Грюнбаумды және басқаларды шыңдарға, шеттерге, беттерге және т.б. қатысты абстрактілі комбинаторлық қасиеттерді неғұрлым жалпы зерттеуге әкелді. Байланысты идея әр түрлі элементтердің бір-бірімен түсуін немесе байланысын зерттейтін инциденттік кешендер туралы болды. Бұл оқиғалар ақыр соңында теориясына алып келді дерексіз политоптар осындай элементтердің ішінара реттелген жиынтығы немесе позеті ретінде. Питер МакМуллен және Эгон Шулте өз кітабын шығарды Тұрақты политоптар 2002 жылы.

Санау біркелкі политоптар, дөңес және дөңес, төрт және одан да көп өлшемдер шешілмеген мәселе болып қала береді.

Қазіргі уақытта политоптар және онымен байланысты ұғымдар әр түрлі салаларда көптеген маңызды қосымшаларды тапты компьютерлік графика, оңтайландыру, іздеу жүйелері, космология, кванттық механика және басқа да көптеген салалар. 2013 жылы амплитуэдр теориялық физиканың белгілі бір есептеулерінде жеңілдететін құрылым ретінде табылды.

Қолданбалар

Өрісінде оңтайландыру, сызықтық бағдарламалау зерттейді максимумдар мен минималар туралы сызықтық функциялар; бұл максимумдар мен минимумдар шекара туралы n-өлшемді политоп. Сызықтық бағдарламалау кезінде политоптар жалпыланған бариентрлік координаттар және бос айнымалылар.

Жылы твисторлық теория, филиалы теориялық физика, деп аталатын политоп амплитуэдр субатомдық бөлшектердің соқтығысқан кездегі шашырау амплитудасын есептеу үшін қолданылады. Конструкция физикалық көрінісі жоқ таза теориялық, бірақ белгілі бір есептеулерді едәуір жеңілдетеді делінген.[14]

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

Ескертулер

  1. ^ а б c г. Коксетер (1973)
  2. ^ Ричесон, Д. (2008). Эйлердің асыл тастары: Полиэдр формуласы және топологияның тууы. Принстон университетінің баспасы.
  3. ^ Грюнбаум (2003)
  4. ^ Кромвелл, П .; Полиэдр, CUP (ppbk 1999) pp 205 ff.
  5. ^ Немхаузер және Уолси, «Бүтін және комбинаторлық оңтайландыру», 1999, ISBN  978-0471359432, Анықтама 2.2.
  6. ^ Джонсон, Норман В .; Геометриялар және түрлендірулер, Кембридж университетінің баспасы, 2018 ж., 224 бет.
  7. ^ Тұрақты политоптар, б. 127 Политоптың гиперпландардың бірінде жатқан бөлігі жасуша деп аталады
  8. ^ Джонсон, Норман В .; Геометриялар және түрлендірулер, Кембридж университетінің баспасы, 2018, б.224.
  9. ^ Бек, Матиас; Робинз, Синай (2007), Үздіксіз дискретті есептеу: полиэдрадағы бүтін нүктелік санау, Математикадағы бакалавриат мәтіндері, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-29139-0, MR 2271992
  10. ^ а б M. A. Perles және G. C. Shephard. 1967. «Дөңес политоптардың бұрыштық қосындылары». Математика. Скандинавика, 21 том, No 2. наурыз 1967. 199–218 бб.
  11. ^ МакМуллен, Питер; Шулте, Эгон (желтоқсан 2002), Тұрақты политоптар (1-ші басылым), Кембридж университетінің баспасы, ISBN  0-521-81496-0
  12. ^ Коксетер, ХСМ .; Тұрақты кешенді политоптар, 1974
  13. ^ Веннингер, М .; Қос модельдер, CUP (1983).
  14. ^ Аркани-Хамед, Нима; Трнка, Ярослав (2013). «Амплитуэдр». Жоғары энергетикалық физика журналы. 2014. arXiv:1312.2007. Бибкод:2014JHEP ... 10..030A. дои:10.1007 / JHEP10 (2014) 030.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)

Дереккөздер

Сыртқы сілтемелер

Іргелі дөңес тұрақты және біркелкі политоптар 2-10 өлшемдерінде
Отбасы An Bn Мен2(р) / Д.n E6 / E7 / E8 / F4 / G2 Hn
Тұрақты көпбұрыш Үшбұрыш Алаң п-гон Алты бұрышты Пентагон
Біртекті полиэдр Тетраэдр ОктаэдрТекше Демикуб ДодекаэдрИкозаэдр
Біртекті 4-политоп 5 ұяшық 16-ұяшықТессеракт Demitesseract 24 жасуша 120 ұяшық600 ұяшық
Біртекті 5-политоп 5-симплекс 5-ортоплекс5 текше 5-демикуб
Біртекті 6-политоп 6-симплекс 6-ортоплекс6 текше 6-демикуб 122221
Біртекті 7-политоп 7-симплекс 7-ортоплекс7 текше 7-демикуб 132231321
Біртекті 8-политоп 8-симплекс 8-ортоплекс8 текше 8-демикуб 142241421
Біртекті 9-политоп 9-симплекс 9-ортоплекс9-текше 9-демикуб
Біртекті 10-политоп 10-симплекс 10-ортоплекс10 текше 10-демикуб
Бірыңғай n-политоп n-қарапайым n-ортоплексn-текше n-демикуб 1k22k1к21 n-бесбұрышты политоп
Тақырыптар: Политоптар отбасыТұрақты политопТұрақты политоптар мен қосылыстардың тізімі