Пицца теоремасы - Pizza theorem

8 сектор: сары аймақ = күлгін аймақ
Сөзсіз дәлел бойынша 8 сектор бойынша Carter & Wagon (1994a).

Бастауышта геометрия, пицца теоремасы екі бөліктің теңдігін айтады, қашан бір бөлімдер а диск белгілі бір жолмен.

Келіңіздер б дисктің ішкі нүктесі болыңыз және рұқсат етіңіз n 4-ке еселік және 8-ден үлкен немесе оған тең n арқылы еркін сызықты таңдау арқылы тең бұрыштары бар дискінің секторлары б, сызықты айналдыру n/2 − 1 бұрышы бойынша рет 2π/n радиан және алынған әрбір дискіні дискіні кесу n/2 сызықтар. Секторларды сағат тілімен немесе сағат тіліне қарсы бағытта қатарынан нөмірлеңіз. Сонда пицца теоремасында:

Тақ сандар салаларының қосындысы жұп сандар секторларының қосындысына тең (Аптон 1968 ).

Пицца теоремасы дәстүрліге еліктейтіндіктен осылай аталады пицца кесу техникасы. Егер екі адам кезек-кезек тілім алу арқылы осылайша туралған пиццаны бөлісетін болса, онда олардың әрқайсысы бірдей мөлшерде пицца алады.

Тарих

Пицца теоремасы алғашында проблемалық проблема ретінде ұсынылған Аптон (1967). Майкл Голдбергтің осы мәселені шешуі, алгебралық өрнектерді секторлардың бағыттары үшін тікелей манипуляциялауды көздеді.Carter & Wagon (1994a) арқылы балама дәлелдеме ұсыну кесу. Олар тақтарды сектордағы бөліктердің әрқайсысы а болатындай етіп кіші бөліктерге бөлуді көрсетеді үйлесімді жұп сектордағы бөлік, және керісінше. Фредериксон (2012) барлық жағдайларға (секторлардың саны бар) диссекцияға дәлелдер келтірді 8, 12, 16, ... болып табылады).

Жалпылау

12 сектор: жасыл аймақ = сарғыш аймақ

Секторлар санының төртеудің еселігі болу талабы қажет: Дон мысшы көрсетті, дискіні төрт секторға немесе төртке бөлінбейтін бірқатар секторларға бөлу жалпы алғанда бірдей аудандарға әкелмейді. Mabry & Deiermann (2009) деген мәселеге жауап берді Carter & Wagon (1994б) теореманың дәлірек нұсқасын ұсыну арқылы, салалар тең болмаған жағдайда, секторлардың екі жиынтығының қайсысының үлкен аумақ болатынын анықтайды. Нақтырақ айтсақ, егер секторлар саны 2 болса (мод 8) және дисктің ортасынан ешқандай кесінді өтпейтін болса, онда центрі бар кесінділердің ішкі жиыны басқа ішкі жиынтыққа қарағанда кішірек, ал егер секторлар саны 6 болса (мод 8) және ешқандай кесінді центрден өтпейді, содан кейін центрі бар кесінділердің кіші аумағы үлкенірек болады. Тік сызықтармен секторлардың тақ саны мүмкін емес, ал центр арқылы кесінді екі ішкі жиынның секторлардың санына қарамастан тең болуына әкеледі.

Mabry & Deiermann (2009) пиццаны біркелкі бөлгенде оның қабығы да бөлінетінін ескеріңіз (қабықты дисктің периметрі немесе дискінің шекарасы мен дәл сол центрі бар кішірек шеңбердің ортасы кесіндісімен түсіндіруге болады - екіншісінің интерьерінде жатқан нүкте), және екі шеңбермен шектелген дискілер бірдей бөлінгендіктен олардың айырмашылығы да бар. Алайда, пицца біркелкі емес бөлінгенде, пиццаның көп ауданын алатын тамақ ішетін асхана ең аз қабықты алады.

Қалай Хиршорн және т.б. (1999) Пиццаның тең бөлінуі сонымен қатар оның үстіңгі бөлігінің тең бөлінуіне әкеледі, өйткені әр үстіңгі диск орталық дискіні қамтитын дискіде (міндетті түрде бүкіл пиццамен концентрлі емес) бөлінеді. б секторларға бөлу.

Ұқсас нәтижелер

Хиршорн және т.б. (1999) пиццаның теоремасы сияқты пиццаның санға кесілгенін көрсетіңіз n тең бұрыштары бар секторлардың n төртке бөлінеді, оны тең бөлуге болады n/ 4 адам. Мысалы, 12 секторға бөлінген пиццаны үш адам да, екеуі де бірдей бөлісе алады; алайда, Хиршорндардың бесеуін де орналастыру үшін пиццаны 20 секторға бөлу керек.

Цибулка және басқалар. (2010) және Knauer, Micek & Ueckerdt (2011) зерттеу ойын теориясы үлкен үлеске кепілдік беру үшін пиццаның тегін тілімдерін таңдау, Дэн Браун және Питер Винклер. Олар зерттейтін мәселенің нұсқасында пиццаны радиальды түрде турайды (теңбұрышты секторларға кепілдіксіз) және екі асхана кезек-кезек ішіп алған секторға іргелес пиццаның бөліктерін таңдайды. Егер екі тамақтанушы екеуі де жейтін пиццаның мөлшерін көбейтуге тырысса, бірінші тілімді қабылдаған асхана жалпы пиццаның 4/9 бөлігіне кепілдік бере алады, ал пиццада ол одан әрі қабылдай алмайтындай кесінді бар. The әділ бөлу немесе тортты кесу проблемасы әр түрлі ойыншыларда олардың үлесінің мөлшерін өлшеудің әртүрлі критерийлері болатын ұқсас ойындарды қарастырады; мысалы, бір асхана көп мөлшерде пепперони, ал екінші асхана көп мөлшерде ірімшік алғысы келуі мүмкін.

Сондай-ақ қараңыз

Пицца кесуге байланысты басқа математикалық нәтижелер мыналарды қамтиды жалқау тамақтандырушының кезектілігі, пиццаның белгілі бір түзу саны бойынша алуға болатын максималды санын есептейтін бүтін сандар тізбегі және ветчина сэндвич теоремасы, екі өлшемді нұсқасы кез-келген пицца, қаншалықты дұрыс емес болса да, оның ауданы мен оның қыртысының ұзындығын бір уақытта мұқият таңдалған түзу кесіндімен бөлуге болатындығын және үш өлшемді нұсқасын беретін үш өлшемді нысандарды кесу туралы нәтиже негіз, қызанақ пен ірімшікті бірдей бөлетін жазықтық кесу бар екенін білдіреді.

Әдебиеттер тізімі

  • Картер, Ларри; Вагон, Стэн (1994a), «Сөзсіз дәлел: Пиццаны әділ бөлу», Математика журналы, 67 (4): 267, дои:10.1080 / 0025570X.1994.11996228, JSTOR  2690845.
  • Картер, Ларри; Вагон, Стэн (1994б), «1457 есеп», Математика журналы, 67 (4): 303–310, JSTOR  2690855.
  • Цибулка, Йозеф; Кинчл, қаңтар; Мезарос, Виола; Столаř, Рудольф; Вальтр, Павел (2010), «Питер Винклердің пицца мәселесін шешу», Комбинаторика және информатика, Боляй қоғамы математикалық зерттеулер, 20, Янош Боляй атындағы математикалық қоғам және Springer-Verlag, 63-93 б., arXiv:0812.4322, дои:10.1007/978-3-642-13580-4_4, ISBN  978-3-642-13579-8.
  • Хиршорн, Дж .; Хиршхорн, М. Д .; Хиршхорн, Дж. К .; Хиршорн, А.Д .; Hirschhorn, P. M. Hirschhorn (1999), «Пицца теоремасы» (PDF), Австралия. Математика. Soc. Газ., 26: 120–121.
  • Фредериксон, Грег (2012), «Дәлел - пиццада», Математика журналы, 85 (1): 26–33, дои:10.4169 / math.mag.85.1.26, JSTOR  10.4169 / math.mag.85.1.26.
  • Кнауэр, Коля; Микек, Пиотр; Уеккердт, Торстен (2011), «Пиццаның 4/9 бөлігін қалай жеуге болады», Дискретті математика, 311 (16): 1635–1645, arXiv:0812.2870, дои:10.1016 / j.disc.2011.03.015.
  • Мабры, Рик; Deiermann, Paul (2009), «Ірімшік пен қабық туралы: пицца болжамының және басқа да дәмді нәтижелердің дәлелі», Американдық математикалық айлық, 116 (5): 423–438, дои:10.4169 / 193009709x470317, JSTOR  40391118.
  • Орнс, Стивен (11 желтоқсан, 2009), «Пицца кесудің тамаша тәсілі», Жаңа ғалым.
  • Аптон, Л. Дж. (1967), «Мәселе 660», Математика журналы, 40 (3): 163, JSTOR  2688484. Проблеманы шешу.
  • Аптон, Л. Дж. (1968), «Мәселе 660», Математика журналы, 41 (1): 42, JSTOR  2687962. Майкл Голдбергтің шешімі.
  • Берцсений, Джордж (1994), «Пицца теоремасы - I бөлім» (PDF), Кванттық журнал: 29
  • Берцсений, Джордж (1994), «Пицца теоремасы - II бөлім» (PDF), Кванттық журнал: 29

Сыртқы сілтемелер