Nef желісінің байламы - Nef line bundle

Жылы алгебралық геометрия, а сызық байламы үстінде проективті әртүрлілік болып табылады неф егер ол әрқайсысында теріс емес дәрежеге ие болса қисық әртүрлілікте. Неф сызық шоғырларының класстарын а сипаттайды дөңес конус және сорттың ықтимал жиырылуы неф конусының белгілі бір беттеріне сәйкес келеді. Жолдық бумалар мен арасындағы сәйкестікті ескере отырып бөлгіштер (салынған кодименция -1 кіші сорттары), баламалы а ұғымы бар бөлгіш.

Анықтама

Көбінесе, сызық байламы L үстінде дұрыс схема X астам өріс к деп айтылады неф егер ол теріс мәнге ие болса (жабық) қысқартылмайтын ) қисық X.[1] (The дәрежесі сызық байламы L дұрыс қисықта C аяқталды к бөлгіштің дәрежесі (с) кез келген нөлдік емес рационалды бөлімнің с туралы L.) Сызық дестесін an деп те атауға болады төңкерілетін шоқ.

Термині «nef» енгізілген Майлс Рейд «арифметикалық тиімді» ескі терминдердің орнына (Зариски 1962 ж, 7.6 анықтамасы) және «сан жағынан тиімді», сондай-ақ «сан жағынан ақыр соңында» сөз тіркесі үшін.[2] Төмендегі мысалдарды ескере отырып, ескі терминдер жаңылыстырушылық болды.

Әрбір жол бумасы L дұрыс қисықта C аяқталды к ол бар ғаламдық бөлім бірдей нөлге тең келмейтін дәрежеге ие. Нәтижесінде а базалық нүктесіз тиісті сызба бойынша сызық байламы X аяқталды к әрбір қисықта теріс емес дәрежеге ие X; бұл неф.[3] Көбінесе, сызық байламы L аталады жартылай жеткілікті егер оң болса тензор қуаты базалық нүктесіз. Демек, жартылай жеткілікті сызық байламы nef болып табылады. Жартылай жеткілікті сызық шоғырлары неф сызық шоғырларының негізгі геометриялық қайнар көзі деп санауға болады, дегенмен бұл екі ұғым тең емес; төмендегі мысалдарды қараңыз.

A Картье бөлгіші Д. тиісті схема бойынша X өрістің үстінен неф дейді, егер байланысты сызық шоғыры O(Д.) жоқ X. Эквивалентті, Д. егер жоқ болса қиылысу нөмірі әрбір қисық үшін теріс емес C жылы X.

Жолдық бумалардан бөлгіштерге оралу үшін бірінші Черн класы изоморфизм болып табылады Пикард тобы әртүрлілік бойынша сызық байламы X модуль бойынша Картье бөлгіштері тобына сызықтық эквиваленттілік. Бірінші Черн класы бөлгіш (с) кез келген нөлдік емес рационалды бөлімнің с туралы L.[4]

Конус конусы

Теңсіздіктермен жұмыс істеу үшін қарастырған ыңғайлы R-бөлгіштер, ақырлы мағынаны білдіреді сызықтық комбинациялар Картье бөлгіштері нақты коэффициенттер. The R- модуль бойынша бөлгіштер сандық эквиваленттілік нақты қалыптастыру векторлық кеңістік ақырлы өлшем, Нерон-Севери тобы тензорлы нақты сандармен.[5] (Айқын: екі R-бөлгіштер олардың барлық қисықтарымен қиылысу саны бірдей болса, сандық эквивалент деп аталады X.) Ан R-бөлімшені nef деп атайды, егер ол әр қисықта теріс емес дәрежеге ие болса. Неф R-бөлгіштер тұйық дөңес конусты құрайды , конус Nef (X).

The қисықтар конусы нақты векторлық кеңістіктегі теріс емес нақты коэффициенттері бар қисықтардың сызықтық комбинацияларының дөңес конусы ретінде анықталады модуль бойынша сандық эквиваленттіліктің 1 циклі. Векторлық кеңістіктер және болып табылады қосарланған қиылысқан жұптасу арқылы бір-біріне, ал неф конусы (анықтамасы бойынша) қос конус қисық конустың.[6]

Алгебралық геометриядағы маңызды мәселе - сызықтардың қай шумақтарын талдау жеткілікті, өйткені бұл әртүрлілікті проективті кеңістікке ендірудің әр түрлі тәсілдерін сипаттауға негізделген. Бір жауап Клейман критерийі (1966): проективті схема үшін X өріс үстінде, сызық байламы (немесе R-дивидор) егер оның класы болған жағдайда ғана жеткілікті конустың ішкі жағында жатыр.[7] (Ан R-директорды жеткілікті деп атайды, егер оны Картье бөлгіштерінің оң сызықтық комбинациясы түрінде жазуға болады.) Клейман критерийінен шығады, X проективті, әр неф R- кеңесші X бұл жеткілікті мөлшер R-бөлімшелер . Шынында да, үшін Д. nef және A жеткілікті, Д. + cA барлық нақты сандарға жеткілікті c > 0.

Неф-сызық шоғырларының метрикалық анықтамасы

Келіңіздер X болуы а ықшам кешенді коллектор бекітілгенімен Эрмициандық метрика, позитивті деп қарады (1,1) -форм . Келесі Жан-Пьер Демейли, Томас Петрелл және Майкл Шнайдер, а голоморфты сызық шоғыры L қосулы X деп айтылады неф егер әрқайсысы үшін болса бар тегіс Эрмициандық метрика қосулы L кімдікі қисықтық қанағаттандырады.Қашан X проективті аяқталды C, бұл алдыңғы анықтамаға тең (бұл L барлық қисықтар бойынша теріс емес дәрежеге ие X).[8]

Тіпті үшін X проективті аяқталды C, nef шоғыры L Эрмитический метриканың болмауы керек сағ қисықтықпен , бұл жаңа берілген неғұрлым күрделі анықтаманы түсіндіреді.[9]

Мысалдар

  • Егер X тегіс проекциялық бет болып табылады және C in (төмендетілмейтін) қисық X өзіндік қиылысу нөмірімен , содан кейін C жоқ X, өйткені кез-келген екі айқын бетіндегі қисықтардың теріс емес қиылысу саны болады. Егер , содан кейін C тиімді, бірақ жоқ X. Мысалы, егер X болып табылады жару тегіс проекциялық беттің Y нүктеде, содан кейін ерекше қисық E жарылыс бар .
  • А-дағы кез-келген тиімді бөлгіш жалауша коллекторы немесе абелия әртүрлілігі бұл сорттардың а өтпелі әрекет жалғанған алгебралық топ.[10]
  • Әрбір жол бумасы L тегіс күрделі проекциялық қисықта 0 дәрежесі X nef, бірақ L егер ол болса, жартылай жеткілікті L болып табылады бұралу Picard тобында X. Үшін X туралы түр ж кем дегенде 1, 0 дәрежелі сызықтардың көпшілігі бұралаң емес, оны қолданған кезде Якобиан туралы X - бұл абелиялық өлшем ж.
  • Кез-келген жартылай ампулдық шоғыр nef болып табылады, бірақ әрбір nef сызық шоғыры сан жағынан жартылай жеткілікті сызық дестесіне тең келмейді. Мысалға, Дэвид Мумфорд желілік байлам жасады L қолайлы басқарылатын беті X осындай L барлық қисықтар бойынша оң дәрежеге ие, бірақ қиылысу саны нөлге тең.[11] Бұдан шығатыны L nef, бірақ оң еселігі жоқ сан жағынан тиімді бөлгішке тең. Атап айтқанда, ғаламдық секциялар кеңістігі барлық оң сандар үшін нөлге тең а.

Қысқартулар және конустық конус

A жиырылу а қалыпты проективті әртүрлілік X өріс үстінде к бұл сурьективті морфизм бірге Y қалыпты проективті әртүрлілік к осындай . (Соңғы жағдай оны білдіреді f бар байланысты талшықтардан тұрады, және ол оған тең f егер байланыстырылған талшықтар болса к бар сипаттамалық нөл.[12]) Жиырылуды а деп атайды фибрация күңгірт болса (Y) <күңгірт (X). Күңгірт жиырылу (Y) = күңгірт (X) автоматты түрде а бирациялық морфизм.[13] (Мысалға, X тегіс проективті беттің жарылуы болуы мүмкін Y бір сәтте.)

A бет F дөңес конустың N кез келген екі нүктесі болатындай дөңес субкононды білдіреді N оның қосындысы F өздері болуы керек F. Жиырылуы X тұлғаны анықтайды F конустың X, атап айтқанда Nef қиылысы (X) бірге кері тарту . Керісінше, әртүрлілікті ескере отырып X, бет F конустың жиырылуын анықтайды изоморфизмге дейін. Шынында да, жартылай мол сызық бар L қосулы X кімнің сыныбы ішкі бөлігінде орналасқан F (мысалы, алыңыз L кері тарту X желінің кез-келген байламы қосулы Y). Кез-келген осындай сызық шоғыры анықтайды Y бойынша Proj құрылысы:[14]

Сипаттау Y геометриялық тұрғыдан: қисық C жылы X нүктеге дейін бейнелейді Y егер және егер болса L нөлдік дәрежесі бар C.

Нәтижесінде, жиырылулар арасында бір-біріне сәйкестік пайда болады X және конустың кейбір беткейлері X.[15] (Бұл сәйкестікті қисық конустың беттері тұрғысынан да екі рет тұжырымдауға болады.) Неф сызықтарының қандай бумалары жартылай жеткілікті екенін білу қай беттердің жиырылуларға сәйкес келетінін анықтайтын еді. The конус теоремасы жиырылуларға сәйкес келетін тұлғаның маңызды класын сипаттайды және молшылық көп берер еді.

Мысалы: Let X күрделі проекциялық жазықтықтың жарылуы бір сәтте б. Келіңіздер H үшін кері тарту X сызық қосулы және рұқсат етіңіз E жарылыстың ерекше қисығы болыңыз . Содан кейін X Picard нөмірі 2 бар, яғни нақты векторлық кеңістік 2 өлшемі бар. 2 өлшемді дөңес конустың геометриясы бойынша неф конусы екі сәулемен таралуы керек; айқын, бұл сәулелер H және HE.[16] Бұл мысалда екі сәуле де жиырылуға сәйкес келеді X: H біраталық морфизм береді , және HE фибрация береді изоморфты талшықтарымен (ішіндегі жолдарға сәйкес келеді нүкте арқылы б). Nef конусынан бастап X басқа бейресми емес бет-әлпеті жоқ, бұл жалғыз бейресми толғақ X; бұл дөңес конустармен байланыссыз көру қиынырақ болар еді.

Ескертулер

  1. ^ Лазарсфельд (2004), Анықтама 1.4.1.
  2. ^ Рейд (1983), бөлім 0.12f.
  3. ^ Лазарсфельд (2004), 1.4.5 мысал.
  4. ^ Лазарсфельд (2004), 1.1.5 мысал.
  5. ^ Лазарсфельд (2004), 1.3.10 мысал.
  6. ^ Лазарсфельд (2004), Анықтама 1.4.25.
  7. ^ Лазарсфельд (2004), теорема 1.4.23.
  8. ^ Демейли және басқалар. (1994), 1 бөлім.
  9. ^ Демейли және басқалар. (1994), 1.7 мысал.
  10. ^ Лазарсфельд (2004), 1.4.7 мысал.
  11. ^ Лазарсфельд (2004), 1.5.2 мысал.
  12. ^ Лазарсфельд (2004), Анықтама 2.1.11.
  13. ^ Лазарсфельд (2004), 2.1.12 мысал.
  14. ^ Лазарсфельд (2004), Теорема 2.1.27.
  15. ^ Kollár & Mori (1998), ескерту 1.26.
  16. ^ Kollár & Mori (1998), Lemma 1.22 және мысал 1.23 (1).

Әдебиеттер тізімі

  • Демилли, Жан-Пьер; Питернелл, Томас; Шнайдер, Майкл (1994), «Сандық тиімді тангенді бумалары бар ықшам кешенді коллекторлар» (PDF), Алгебралық геометрия журналы, 3: 295–345, МЫРЗА  1257325
  • Коллар, Янос; Мори, Шигефуми (1998), Алгебралық сорттардың бирациялық геометриясы, Кембридж университетінің баспасы, дои:10.1017 / CBO9780511662560, ISBN  978-0-521-63277-5, МЫРЗА  1658959
  • Лазарсфельд, Роберт (2004), Алгебралық геометриядағы позитивтілік, 1, Берлин: Springer-Verlag, дои:10.1007/978-3-642-18808-4, ISBN  3-540-22533-1, МЫРЗА  2095471
  • Рейд, Майлз (1983), «Канондық 3 қатпардың минималды модельдері», Алгебралық сорттар және аналитикалық сорттар (Токио, 1981), Таза математиканың тереңдетілген зерттеулері, 1, Солтүстік-Голландия, 131–180 бет, дои:10.2969 / aspm / 00110131, ISBN  0-444-86612-4, МЫРЗА  0715649
  • Зариски, Оскар (1962), «Алгебралық беттегі тиімді бөлгіштің үлкен еселіктері үшін Риман-Рох теоремасы», Математика жылнамалары, 2, 76: 560–615, дои:10.2307/1970376, МЫРЗА  0141668