N = 0,1,2 және 3 үшін Легендра рационалды функцияларының сызбасы х 0,01 мен 100 аралығында.
Жылы математика The Легендарлы рационалды функциялар болып табылады ортогональды функциялар [0, ∞). Оларды құрастыру арқылы алады Кейли түрлендіруі бірге Легендарлы көпмүшелер.
Деңгейдің рационалды Легендри функциясы n ретінде анықталады:
![{displaystyle R_ {n} (x) = {frac {sqrt {2}} {x + 1}}, P_ {n} сол ({frac {x-1} {x + 1}} ight)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1797911517f3f6c990ed0206eea8c53b491835c)
қайда
- легендарлы көпмүше. Бұл функциялар өзіндік функциялар сингулярлы Штурм-Лиувилл проблемасы:
![(x + 1) ішінара_х (xpartial_x ((x + 1) v (x))) + lambda v (x) = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57a5d0b0a0ba1ae28af916ebb3f02e78ff8b654f)
меншікті құндылықтармен
![lambda_n = n (n + 1),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6483c40a6f29acccbc0e81649e0069a7df420188)
Қасиеттері
Көптеген қасиеттерді бірінші типтегі Легендр полиномдарының қасиеттерінен алуға болады. Басқа қасиеттер функциялардың өзіне ғана тән.
Рекурсия
![R_ {n + 1} (x) = frac {2n + 1} {n + 1}, frac {x-1} {x + 1}, R_n (x) -frac {n} {n + 1}, R_ {n-1} (x) quadmathrm {for, nge 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5aa277c68a207bd371e2d9c582be01a128749ec)
және
![2 (2n + 1) R_n (x) = (x + 1) ^ 2 (жартылай_х R_ {n + 1} (x) -бөлшек_х R_ {n-1} (x)) + (x + 1) (R_ {) n + 1} (x) -R_ {n-1} (x))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/918d9e603d7cd5bda3abb6e6b7a904ae870a7e36)
Шектеу мінез-құлық
Жетінші реттік сюжет (n = 7) Legendre рационалды функциясы көбейтіледі 1 + x үшін х 0,01-ден 100-ге дейін. Бар екенін ескеріңіз n симметриялы орналасқан нөлдер x = 1 және егер х0 нөлге тең, содан кейін 1 / х0 нөлге тең. Бұл қасиеттер барлық тапсырыстарға сәйкес келеді.
Мұны көрсетуге болады
![lim_ {xightarrow infty} (x + 1) R_n (x) = sqrt {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32ec1b2592c00a6e523156ad935a7c3265844961)
және
![lim_ {xightarrow infty} xpartial_x ((x + 1) R_n (x)) = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09781ba875f99382788af0ca40f68b7d3d97a8f0)
Ортогоналдылық
![int_ {0} ^ жарамсыз R_m (x), R_n (x), dx = frac {2} {2n + 1} delta_ {nm}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b8da58fe8cce0d7755f4a4c4f62e960af3829a3)
қайда
болып табылады Kronecker атырауы функциясы.
Ерекше мәндер
![R_ {0} (x) = 1,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd2dfb5b36db8d2fc248339e0db433ddb9b1da6e)
![R_ {1} (x) = {frac {x-1} {x + 1}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee709f13f56ac0c4d40adcaf683e72a31ef5fa11)
![R_2 (x) = frac {x ^ 2-4x + 1} {(x + 1) ^ 2},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec8de3c6a042759e02245d85548f6dd588e9d01)
![R_3 (x) = frac {x ^ 3-9x ^ 2 + 9x-1} {(x + 1) ^ 3},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c3460d50c2a38aa001f1b9368a8e80448ff9b99)
![R_4 (x) = frac {x ^ 4-16x ^ 3 + 36x ^ 2-16x + 1} {(x + 1) ^ 4},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab1dd01b2f83ba73c26bb3bcd3b3ad7b60bf0fa5)
Әдебиеттер тізімі
Чжун-Цин, Ванг; Бен-Ю, Гуо (2005). «Шексіз жолақтағы тұтқыр сұйықтық ағынының аралас спектрлік әдісі». Мат Apl. Есептеу. 24 (3). дои:10.1590 / S0101-82052005000300002.