Концевич өзгермейтін - Kontsevich invariant

Ішінде түйіндердің математикалық теориясы, Концевич өзгермейтін, деп те аталады Концевич интеграл[1] жақтаулы сілтеме, Бұл әмбебап Васильев инвариант[2] Концевич инвариантының кез-келген коэффициенті а болатын мағынасында ақырғы тип, және керісінше кез келген ақырлы түрдегі инвариантты а түрінде ұсынуға болады сызықтық комбинация осындай коэффициенттер Ол анықталды Максим Концевич.

Концевич инварианты - әмбебап кванттық инвариант кез келген кванттық инвариантты сәйкесінше ауыстыру арқылы қалпына келтіруге болатындығы мағынасында салмақ жүйесі кез келген Якоби диаграммасы.

Анықтама

Концевич инварианты анықталады монодромия шешімдері бойымен Книжник - Замолодчиков теңдеулері.

Якоби диаграммасы және Аккорд диаграммасы

Анықтама

Якоби диаграммасының мысалы

Келіңіздер X шеңбер болыңыз (бұл 1-өлшемді коллектор). Оң жақтағы суретте көрсетілгендей, а Якоби диаграммасы тапсырыспен n деген график 2n сыртқы сызықтар тұтас сызық шеңберімен бейнеленген және ішкі шартты сызықтармен келесі шарттарды қанағаттандыратын шыңдар:

  1. Бағдарлау тек сыртқы шеңберге беріледі.
  2. Төбелерде 1 немесе 3 мәндері болады. Бағаланған 3 төбелер екінші жиектердің біріне сағат тілімен немесе сағат тіліне қарсы бағытпен кішкене бағытталған шеңбер түрінде бейнеленген. Бағаланатын 1 төбелер шеңбердің бағытталуы бойынша реттелген сыртқы шеңберге көптіксіз қосылады.

Шеттері G деп аталады аккордтар. Деп белгілейміз A(X) барлық Жакоби диаграммаларымен құрылған коммутативті топтың квоталық кеңістігі X келесі қатынастарға бөлінеді:

(AS қатынасы) Якоби диаграммасы AS1.svg + Якоби диаграммасы AS2.svg = 0
(IHX қатынасы) Якоби диаграммасы IHXI.svg = Якоби диаграммасы IHXH.svg − Якоби диаграммасы IHXX.svg
(STU қатынасы) Якоби диаграммасы STUS.svg = Якоби диаграммасы STUT.svg − Якоби диаграммасы STUU.svg
(FI қатынасы) Якоби диаграммасы FI.svg = 0.

Төбелері 3-ке тең диаграмма а деп аталады аккорд диаграммасы. Егер графиктің әрбір қосылған компоненті болса G шыңы 3-ке тең, сонда біз STU қатынасын рекурсивті қолдану арқылы Якоби диаграммасын аккорд диаграммасына айналдыра аламыз. Егер біз тек аккорд диаграммасымен ғана шектелетін болсақ, онда жоғарыдағы төрт қатынас келесі екі қатынасқа дейін азаяды:

(Төрт мерзімді қатынас) Якоби диаграммасы 4T1.svg − Якоби диаграммасы 4T2.svg + Якоби диаграммасы 4T3.svg − Якоби диаграммасы 4T4.svg = 0.
(FI қатынасы) Якоби диаграммасы FI.svg = 0.

Қасиеттері

  • Якоби диаграммасының дәрежесі оның шыңдары 1-дің мәні мен 3-тің мәні бар қосындысының жартысына тең деп анықталады, бұл аккорд диаграммасындағы аккордтар саны Якоби диаграммасынан түрлендірілген.
  • Дәл сол сияқты шатасулар, Якоби диаграммалары а құрайды моноидты категория жоғары және төмен бағыт бойынша Якоби диаграммаларын құрастыратын композициямен, ал Жакоби диаграммаларын қатар орналастыратын тензор өнімі.
    • Ерекше жағдайда X интервал Мен, A(X) ауыстырмалы алгебра болады. Қарау A(S1) ретінде көбейту арқылы алгебра ретінде қосылған сомалар, A(S1) изоморфты болып табылады A(Мен).
  • Якоби диаграммасын Lie алгебралары тудыратын тензор алгебрасының көріністерін абстракциялау ретінде қарастыруға болады, бұл бізге қосымшаларға, қондырғыларға және антиподтарға ұқсас операцияларды анықтауға мүмкіндік береді. Хопф алгебралары.
  • Бастап Васильев инварианттары (немесе ақырлы түрдегі инварианттар) аккорд диаграммаларымен тығыз байланысты, а құруға болады дара түйін аккорд диаграммасынан G қосулы S1. Қn барлық сингулярлық түйіндер шығаратын кеңістікті дәрежемен белгілеу n, осындай G ішіндегі бірегей элементті анықтайды Қм / Қм+1.

Салмақ жүйесі

Якоби диаграммаларынан натурал сандарға дейінгі карта а деп аталады салмақ жүйесі. Карта кеңістікке дейін кеңейтілген A(X) салмақ жүйесі деп те аталады. Олардың келесі қасиеттері бар:

  • Келіңіздер ж жартылай қарапайым Ли алгебрасы және ρ оның өкілдігі. Біз салмақ жүйесін инвариантты тензорды «ауыстыру» арқылы аламыз ж якоби диаграммасының хордасына және ρ негізгі коллекторға X Якоби диаграммасы
    • Якоби диаграммасының 3 мәні бар шыңдарды Lie алгебрасының жақша көбейтіндісі ретінде, ал тұтас сызық көрсеткілерін ρжәне 1 мәні бар шыңдар Ли алгебрасының әрекеті ретінде.
    • IHX қатынасы мен STU қатынасы сәйкесінше Якоби сәйкестігі мен ұсыну анықтамасына сәйкес келеді
ρ([а, б])v = ρ(а)ρ(б)v − ρ(б)ρ(а)v.

Тарих

Якоби диаграммалары Фейнман диаграммаларының аналогтары ретінде Концевич 1990-шы жылдардың бірінші жартысында түйінді инварианттарды қайталанатын интегралдармен анықтаған кезде енгізілді.[2] Ол жекелеген түйіндердің ерекше нүктелерін аккордтармен ұсынды, яғни ол тек аккорд диаграммаларымен емделді. Кейіннен Д.Бар-Натан оларды 1-3 бағаланған график ретінде тұжырымдады және олардың алгебралық қасиеттерін зерттеді және оларды өз еңбектерінде «қытайлық белгілер диаграммасы» деп атады.[4] Оларды сілтеме жасау үшін аккорд диаграммалары, веб-диаграммалар немесе Фейнман диаграммалары сияқты бірнеше терминдер қолданылды, бірақ 2000 жылдан бастап олар Жакоби диаграммалары деп аталды, өйткені IHX қатынасы Jacobi сәйкестігіне сәйкес келеді Алгебралар.

Біз оларды 90-шы жылдардың кейінгі жартысында Гусаров пен Кадзуо Хабиро өз бетінше анықтаған кластерлер арқылы жалпы көзқараспен түсіндіре аламыз.

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Хмутов, Сергей; Дюжи, Сергей (2012). Вайсштейн, Эрик В (ред.) «Концевич Интеграл». Mathworld. Wolfram веб-ресурсы. Алынған 4 желтоқсан 2012.
  2. ^ а б Концевич, Максим (1993). «Васильевтің инварианттары» (PDF). Adv. Кеңестік математика. 16 (2): 137–150.
  3. ^ Бар-Натан, Д .; Гаруфалидис, С. (1996). «Мельвин-Мортон-Розанский болжамымен». Mathematicae өнертабыстары. 125: 103–133. дои:10.1007 / s002220050070.
  4. ^ Бар-Натан, Д. (1995). «Васильевтің инварианттары туралы». Топология. 34 (2): 423–472. дои:10.1016/0040-9383(95)93237-2.

Библиография

  • Охцуки, Томотада (2001). Кванттық инварианттар - түйіндерді, 3-манифольдтарды және олардың жиынтықтарын зерттеу (1-ші басылым). Дүниежүзілік ғылыми баспа компаниясы. ISBN  9789810246754. OL  9195378М.