Коебе ширек теоремасы - Википедия - Koebe quarter theorem

Жылы кешенді талдау, филиалы математика, Коебе 1/4 теоремасы келесілерді айтады:

Коебе кварталының теоремасы. Инъекциялық аналитикалық функцияның бейнесі f : Д.C бастап бірлік диск Д. а ішкі жиын туралы күрделі жазықтық орталығы орналасқан дискіні қамтиды f(0) және оның радиусы |f ′(0)|/4.

Теорема атымен аталған Пол Кебе, нәтижені 1907 жылы болжаған кім. Теорема дәлелдеді Людвиг Бибербах 1916 ж. Кебе функциясының мысалы теоремадағы тұрақты 1/4 жақсартуға болмайтынын көрсетеді (жоғарылатылған).

Осыған байланысты нәтиже: Шварц леммасы, және екеуіне де қатысты түсінік конформды радиус.

Гронвалл ауданының теоремасы

Айталық

| -де бірмәнді болып табыладыз| > 1. Содан кейін

Шындығында, егер р > 1, дискінің суретін толықтырушы | z | > р шектелген домен болып табылады X(р). Оның ауданы берілген

Аудан оң болғандықтан, нәтиже рұқсат етіледі р 1-ге дейін төмендеу. Жоғарыда келтірілген дәлел теңдікті бейнелейді, егер суреттің толықтауышы болса ғана көрсетеді ж нөлдік ауданы бар, яғни Лебег шарасы нөл.

Бұл нәтижені 1914 жылы швед математигі дәлелдеді Томас Хакон Гронвалл.

Koebe функциясы

The Koebe функциясы арқылы анықталады

Теореманы осы функцияға қолдану теоремадағы 1/4 тұрақтысын жақсартуға болмайтынын көрсетеді, өйткені кескін домені f(Д.) нүктені қамтымайды з = −1/4 және соған сәйкес центрі 0-ге тең, радиусы 1/4 үлкенірек дискіні қамтуы мүмкін емес.

The айналдырылған Koebe функциясы болып табылады

α -дың күрделі санымен абсолютті мән 1. Koebe функциясы және оның айналуы шлихт: Бұл, унивалентті (аналитикалық және бір-біріне ) және қанағаттанарлық f(0) = 0 және f ′(0) = 1.

Бибербахтың бірмәнді функциялар үшін теңсіздігі

Келіңіздер

| -де бірмәнді болуз| <1. Содан кейін

Мұнан кейін Гронваллдың ауданы туралы теореманы тақ валентті функцияға қолдану арқылы шығады

Теңдік, егер болса ғана болады ж айналдырылған Koebe функциясы.

Бұл нәтиже дәлелденді Людвиг Бибербах 1916 жылы және оған негіз болды әйгілі болжам бұл |аn| ≤ n, 1985 жылы дәлелдеді Луи де Бранж.

Ширек теоремасының дәлелі

Аффиндік картаны қолдана отырып, бұл туралы ойлауға болады

сондай-ақ

Егер w жоқ f(Д.), содан кейін

| -де бірмәнді болып табыладыз| < 1.

Коэффициент теңсіздігін қолдану f және сағ береді

сондай-ақ

Коебтың бұрмалану теоремасы

The Коебтың бұрмалану теоремасы унивалентті функция мен оның туындысы үшін шектер қатарын береді. Бұл Бибербахтың екінші коэффициент пен Кебе ширек теоремасы үшін теңсіздігінің тікелей салдары.[1]

Келіңіздер f(з) бойынша валентті функция болуы керекз| <1 нормаланған f(0) = 0 және f '(0) = 1 және рұқсат етіңіз р = |з|. Содан кейін

теңдікпен және егер болса f бұл Koebe функциясы

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

  • Бибербах, Людвиг (1916), «Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln», S.-B. Преусс. Акад. Уис.: 940–955
  • Карлсон, Л.; Гамелин, T. D. W. (1993), Кешенді динамика, Университекст: Математикадағы трактаттар, Springer-Verlag, б.1–2, ISBN  0-387-97942-5
  • Конвей, Джон Б. (1995), Бір кешенді айнымалының функциялары II, Берлин, Нью-Йорк: Шпрингер-Верлаг, ISBN  978-0-387-94460-9
  • Дюрен, П.Л. (1983), Бірегей функциялар, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 259, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90795-5
  • Гронвалл, Т.Х. (1914), «Конформалды өкілдік туралы кейбір ескертулер», Математика жылнамалары, 16: 72–76, дои:10.2307/1968044
  • Нехари, Зеев (1952), Конформдық картаға түсіру, Довер, б.248–249, ISBN  0-486-61137-X
  • Поммеренке, С. (1975), Герд Дженсеннің квадраттық дифференциалдары туралы тарауымен бірегей функциялар, Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher, 15, Vandenhoeck & Ruprecht
  • Рудин, Вальтер (1987). Нақты және кешенді талдау. Жоғары математикадағы серия (3 басылым). McGraw-Hill. ISBN  0-07-054234-1. МЫРЗА  0924157.

Сыртқы сілтемелер