Инъекциялық функция - Injective function

Жылы математика, an инъекциялық функция (сонымен бірге инъекция, немесе бір-бір функция) Бұл функциясы бұл карталар айқын оның элементтері домен оның нақты элементтеріне кодомейн.^[1] Басқаша айтқанда, функцияның кодоменінің әрбір элементі сурет туралы ең көп дегенде оның доменінің бір элементі.^[2] Термин бір-бір функция шатастыруға болмайды жеке-жеке хат алмасу сілтеме жасайды биективті функциялар, олар кодомендегі әрбір элемент домендегі дәл бір элементтің бейнесі болатын функциялар болып табылады.

A гомоморфизм арасында алгебралық құрылымдар құрылымдардың жұмысымен үйлесімді функция болып табылады. Барлық жалпы алгебралық құрылымдар үшін, және, атап айтқанда векторлық кеңістіктер, an инъекциялық гомоморфизм а деп те аталады мономорфизм. Алайда, жалпы контексте категория теориясы, мономорфизмнің анықтамасы инъекциялық гомоморфизмнен ерекшеленеді.^[3] Бұл олардың алгебралық құрылымдар үшін эквивалентті екендігі туралы теорема; қараңыз Гомоморфизм § Мономорфизм толығырақ ақпарат алу үшін.

Функция f инъекциялық емес, кейде бір-бір деп аталады.^[2]

Анықтама

Келіңіздер f болуы а функциясы кімдікі домен жиынтық X. Функция f деп айтылады инъекциялық бәріне арналған а және б жылы X, қашан болса да f(а) = f(б), содан кейін а = б; Бұл, f(а) = f(б) білдіреді а = б. Эквивалентті, егер а ≠ б, содан кейін f(а) ≠ f(б).

Символикалық түрде,

${ displaystyle forall a, b in X, ; ; f (a) = f (b) Rightarrow a = b}$

логикалық тұрғыдан тең контрапозитивті,

${ displaystyle forall a, b in X, ; ; a neq b Rightarrow f (a) neq f (b)}$^[4][5]

Мысалдар

• Кез-келген жиынтық үшін X және кез-келген ішкі жиын S туралы X, қосу картасы S → X (кез-келген элементті жібереді с туралы S өзіне) инъекциялық болып табылады. Атап айтқанда, сәйкестендіру функциясы X → X әрқашан инъекциялық болып табылады (және шын мәнінде биективті).
• Егер домен болса X = ∅ немесе X бір ғана элементі бар, содан кейін функциясы X → Y әрқашан инъекциялық.
• Функция f : R → R арқылы анықталады f(х) = 2х + 1 инъекциялық.
• Функция ж : R → R арқылы анықталады ж(х) = х² болып табылады емес инъекциялық, өйткені (мысалы) ж(1) = 1 = ж(−1). Алайда, егер ж оның домені теріс емес нақты сандар болатындай етіп қайта анықталады [0, + ∞), сонда ж инъекциялық.
• The экспоненциалды функция exp: R → R арқылы анықталады exp (х) = e^х инъекциялық (бірақ емес) сурьективті, теріс санға нақты мән түсірілмегендіктен).
• The табиғи логарифм функциясы ln: (0, ∞) → R арқылы анықталады х ↦ ln х инъекциялық.
• Функция ж : R → R арқылы анықталады ж(х) = хⁿ − х инъекциялық емес, өйткені, мысалы, ж(0) = ж(1) = 0.

Жалпы, қашан X және Y екеуі де нақты сызық R, содан кейін инъекциялық функция f : R → R бұл графигі ешқашан көлденең сызықпен бірнеше рет қиылыспайтын график. Бұл принцип деп аталады көлденең сызық сынағы.^[2]

Инъекциялық функциялар. Диаграммалық түсіндіру Декарттық жазықтық, арқылы анықталады картаға түсіру f : X → Y, қайда ж = f(х), X = функцияның домені, Y = функция ауқымы және im (f) білдіреді сурет туралы f. Әрқайсысы х жылы X дәл бірегейге карталар ж жылы Y. Осьтердің шеңберленген бөліктері домен мен диапазон жиынтығын - жоғарыдағы стандартты сызбаларға сәйкес ұсынады.

Инъекциялық функция емес. Мұнда X₁ және X₂ ішкі топтары болып табылады X, Y₁ және Y₂ ішкі топтары болып табылады Y: функциясы инъективті емес екі аймақ үшін, себебі бірнеше домен элемент бір диапазон элементіне салыстыра алады. Яғни, бұл мүмкін біреуден көп х жылы X дейін кескіндеу бірдей ж жылы Y.

Инъекциялық функциялар. Алдыңғы функция f : X → Y бір немесе бірнеше инъекциялық функцияларға дейін азайтылуы мүмкін (айталық) f : X₁ → Y₁ және f : X₂ → Y₂, қатты қисықтармен көрсетілген (бастапқы қисықтың ұзын сызықшалары бұдан былай кескінделмейді). Ережеге қалай назар аударыңыз f өзгерген жоқ - тек домен мен ауқым. X₁ және X₂ ішкі топтары болып табылады X, Y₁ және Y₂ ішкі топтары болып табылады Y: бір домен элементі бір диапазон элементіне салыстыра алатындай бастапқы функцияны инъективті етіп жасауға болатын екі аймақ үшін. Яғни, біреу ғана х жылы X біріне карталар ж жылы Y.

Инъекциялардан бас тартуға болады

Функциялары сол жақ инверсиялар әрқашан инъекциялар. Яғни, берілген f : X → Y, егер функция болса ж : Y → X әрқайсысы үшін х ∈ X,

ж(f(х)) = х (f болдырмауға болады ж), содан кейін f инъекциялық. Бұл жағдайда, ж а деп аталады кері тарту туралы f. Керісінше, f а деп аталады бөлім туралы ж.

Керісінше, әр инъекция f бос емес доменмен солға кері мән бар ж, оны элементті бекіту арқылы анықтауға болады а доменінде f сондай-ақ ж(х) теңдессіз алдын-ала теңестіруге тең х астында f егер ол бар болса және ж(х) = а басқаша.^[6]

Солға кері ж міндетті емес кері туралы f, өйткені композиция басқа тәртіпте, f ∘ ж, жеке куәліктен ерекшеленуі мүмкін Y. Басқаша айтқанда, инъекциялық функцияны солға кері «кері айналдыруға» болады, бірақ міндетті емес төңкерілетін, бұл функцияның болуын талап етеді биективті.

Инъекциялар инверсиялық түрде жасалуы мүмкін

Шындығында, инъекциялық функцияны айналдыру f : X → Y а биективті (демек төңкерілетін ) функциясы, оның кодоменін ауыстыру жеткілікті Y оның нақты диапазоны бойынша Дж = f(X). Яғни, рұқсат етіңіз ж : X → Дж осындай ж(х) = f(х) барлығына х жылы X; содан кейін ж биективті болып табылады. Әрине, f ретінде фактуралануы мүмкін қоса_Дж,Y ∘ ж, қайда қоса_Дж,Y болып табылады қосу функциясы бастап Дж ішіне Y.

Жалпы, инъекциялық ішінара функциялар деп аталады ішінара биекциялар.

Басқа қасиеттері

• Егер f және ж екеуі де инъекциялық болып табылады f ∘ ж инъекциялық.

Екі инъекциялық функцияның құрамы инъекциялық болып табылады.

• Егер ж ∘ f инъекциялық болып табылады f инъекциялық болып табылады (бірақ ж қажет емес).
• f : X → Y егер қандай-да бір функциялар берілген болса ғана инъекциялық болып табылады ж, сағ : W → X қашан болса да f ∘ ж = f ∘ сағ, содан кейін ж = сағ. Басқаша айтқанда, инъекциялық функциялар дәл болып табылады мономорфизмдер ішінде санат Орнатыңыз жиынтықтар.
• Егер f : X → Y инъекциялық және A Бұл ішкі жиын туралы X, содан кейін f ⁻¹(f(A)) = A. Осылайша, A оны қалпына келтіруге болады сурет f(A).
• Егер f : X → Y инъекциялық және A және B екеуі де X, содан кейін f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).
• Әр функция сағ : W → Y ретінде ыдырауы мүмкін сағ = f ∘ ж қолайлы инъекцияға арналған f және бас тарту ж. Бұл ыдырау бірегей изоморфизмге дейін, және f деп ойлауы мүмкін қосу функциясы диапазонның сағ(W) of сағ кодоменнің ішкі жиыны ретінде Y туралы сағ.
• Егер f : X → Y инъекциялық функция болып табылады Y кем дегенде көптеген элементтерге ие X, мағынасында негізгі сандар. Атап айтқанда, егер қосымша, егер инъекция болса Y дейін X, содан кейін X және Y бірдей кардиналды нөмірге ие болыңыз. (Бұл. Ретінде белгілі Кантор-Бернштейн-Шредер теоремасы.)
• Егер екеуі де X және Y болып табылады ақырлы элементтердің бірдей санымен, содан кейін f : X → Y инъекциялық болып табылады, егер болса ғана f болып табылады сурьективті (бұл жағдайда f болып табылады биективті ).
• Инъекциялық функция, ол а гомоморфизм екі алгебралық құрылымның арасында ендіру.
• Функция графигі мен оның кодоменінің арасындағы байланыс болып табылатын сурьективтіліктен айырмашылығы, инъективтілік тек функция графигінің қасиеті болып табылады; яғни функция ма f инъекциялық болып табылады, тек графигін ескере отырып шешуге болады (кодомен емес) f.

Функциялардың инъективті екендігін дәлелдеу

Функцияның дәлелі f инъекциялық функция функцияның қалай ұсынылатындығына және функцияның қандай қасиеттерге ие екендігіне байланысты. Кейбір формуламен берілген функциялар үшін негізгі идея бар, біз инъекцияның анықтамасын қолданамыз, егер f(х) = f(ж), содан кейін х = ж.^[7]

Міне мысал:

f = 2х + 3

Дәлел: рұқсат етіңіз f : X → Y. Айталық f(х) = f(ж). Сонымен 2х + 3 = 2ж + 3 ⇒ 2х = 2ж ⇒ х = ж. Демек, анықтамадан шығады f инъекциялық.

Функцияның инъекциялық екендігін дәлелдейтін бірнеше басқа әдістер бар. Мысалы, егер f - бұл қандай-да бір интервалда анықталған дифференциалданатын функция, содан кейін туынды сол аралықта әрқашан оң немесе теріс болатынын көрсету жеткілікті. Сызықтық алгебрада, егер f сызықты түрлендіру болып табылады f тек нөлдік вектордан тұрады. Егер f - бұл ақырғы домені бар функция, әр домен элементінің суреттер тізімін қарап, тізімде екі рет кескіннің болмауын тексеру жеткілікті.

Нақты бағаланатын функцияның графикалық тәсілі f нақты айнымалы х болып табылады көлденең сызық сынағы. Егер әрбір көлденең сызық -тың қисығын қиып өтсе f (x) көп дегенде бір нүктеде, содан кейін f инъекциялық немесе біреуден.

Сондай-ақ қараңыз

• Биекция, инъекция және қарсыласу
• Инъективті метрикалық кеңістік
• Монотонды функция
• Бірегей функция

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Бартл, Роберт Г. (1976), Нақты талдаудың элементтері (2-ші басылым), Нью-Йорк: Джон Вили және ұлдары, ISBN  978-0-471-05464-1, б. 17 фф.
• Халмос, Пол Р. (1974), Аңғал жиындар теориясы, Нью-Йорк: Спрингер, ISBN  978-0-387-90092-6, б. 38 фф.

Сыртқы сілтемелер

• Математика сөздерінің кейбіреулерінің алғашқы қолданылуы: инъекция, тарату және биекцияға енгізу инъекция тарихы және онымен байланысты терминдерден тұрады.
• Хан академиясы - Сурьективті (инъективті) және инъективті (бір-біріне) функциялар: Сурьективті және инъекциялық функциялармен таныстыру