Катугампола бөлшек операторлары - Katugampola fractional operators

Жылы математика, Катугампола бөлшек операторлары болып табылады интегралдық операторлар жалпылайтын Риман-Лиувилл және Хадамард бөлшек операторларды бірегей формаға айналдыру.^[1]^[2]^[3]^[4] The Катугампола бөлшек интеграл екеуін де жалпылайды Риман-Лиувилл бөлшек интеграл және Хадамдар бөлшек интеграл бір формаға айналады және ол да тығыз байланысты Ердели-Кобер ^[5]^[6]^[7]^[8] Риман-Лиувил бөлшек интегралын қорытатын оператор. Катугампола туындысы^[2]^[3]^[4] көмегімен анықталды Катугампола бөлшек интеграл ^[3] және басқалар сияқты бөлшек дифференциалдық оператор, сонымен қатар қабылдау мүмкіндігін кеңейтеді нақты нөмір күштер немесе күрделі сан интегралдың дәрежелері және дифференциалдық операторлар.

Анықтамалар

Бұл операторлар келесі кеңейтілген Лебег кеңістігінде анықталған.

Келіңіздер ${ displaystyle { textit {X}} _ {c} ^ {p} (a, b), ; c in mathbb {R}, , 1 leq p leq infty}$ сол Лебеганың кеңістігі болыңыз өлшенетін функциялар ${ displaystyle f}$ қосулы ${ displaystyle [a, b]}$ ол үшін ${ displaystyle | f | _ {{ textit {X}} _ {c} ^ {p}} < infty}$ , мұндағы норма бойынша анықталады ^[1]

{ displaystyle { begin {aligned} | f | _ {{ textit {X}} _ {c} ^ {p}} = { Big (} int _ {a} ^ {b} | t ^ {c} f (t) | ^ {p} { frac {dt} {t}} { Big)} ^ {1 / p} < infty, end {aligned}}}

үшін ${ displaystyle 1 leq p < infty, , c in mathbb {R}}$ және іс үшін ${ displaystyle p = infty}$

{ displaystyle { begin {aligned} | f | _ {{ textit {X}} _ {c} ^ { infty}} = { text {ess sup}} _ {a leq t leq b} [t ^ {c} | f (t) |], quad (c in mathbb {R}). end {aligned}}}

Катугампола бөлшек интеграл

Ол келесі интегралдар арқылы анықталады ^[1]^[2]^[9]^[10]^[11]

{ displaystyle ({} ^ { rho} { mathcal {I}} _ {a +} ^ { alpha} f) (x) = { frac { rho ^ {1- alpha}} { Gamma ( альфа)}} int _ {a} ^ {x} { frac { tau ^ { rho -1} f ( tau)} {(x ^ { rho} - tau ^ { rho }) ^ {1- альфа}}} , d tau,}

(1)

үшін ${ displaystyle x> a}$ және ${ displaystyle operatorname {Re} ( alpha)> 0.}$ Бұл интеграл деп аталады сол жақты бөлшек интеграл. Сол сияқты оң жақ бөлшек интеграл анықталады,

{ displaystyle ({} ^ { rho} { mathcal {I}} _ {b -} ^ { alpha} f) (x) = { frac { rho ^ {1- alpha}} { Гамма ({ альфа})}} int _ {x} ^ {b} { frac { tau ^ { rho -1} f ( tau)} {( tau ^ { rho} -x ^ { rho}) ^ {1- альфа}}} , d tau.}

(2)

үшін ${ displaystyle textstyle x$ және ${ displaystyle textstyle operatorname {Re} ( alpha)> 0}$ .

Бұл.-Тің бөлшек жалпылауы ${ displaystyle n}$ -пішінің сол жақ және оң жақ интегралдары

{ displaystyle int _ {a} ^ {x} t_ {1} ^ { rho -1} , dt_ {1} int _ {a} ^ {t_ {1}} t_ {2} ^ { rho -1} , dt_ {2} cdots int _ {a} ^ {t_ {n-1}} t_ {n} ^ { rho -1} f (t_ {n}) , dt_ {n }}

және

{ displaystyle int _ {x} ^ {b} t_ {1} ^ { rho -1} , dt_ {1} int _ {t_ {1}} ^ {b} t_ {2} ^ { rho -1} , dt_ {2} cdots int _ {t_ {n-1}} ^ {b} t_ {n} ^ { rho -1} f (t_ {n}) , dt_ {n }}

үшін

{ displaystyle textstyle n in mathbb {N},}

сәйкесінше. Қарастырылып отырған интегралдық операторлар әйгіліге жақын болса да Ерделі-Кобер операторы, Эрдемели-Кобер операторларының тікелей салдары ретінде Хадамардың бөлшек интегралдарын алу мүмкін емес. Сонымен қатар, жалпылайтын сәйкес бөлшек туындысы бар Риман-Лиувилл және Гадамардтың бөлшек туындылары. Бөлшек интегралдар жағдайындағыдай, дәл осындай жағдай Эрделі-Кобер операторына қатысты емес.

Катугампола туындысы

Басқа бөлшек туындылардағы сияқты, оны Катугампола бөлшек интеграл арқылы анықтайды.^[3]^[9]^[10]^[11]

Келіңіздер ${ displaystyle alpha in mathbb {C}, operatorname {Re} ( alpha) geq 0, n = [ operatorname {Re} ( alpha)] + 1}$ және ${ displaystyle rho> 0.}$ Жалпыланған бөлшек интегралына сәйкес келетін жалпыланған бөлшек туындылары (1) және (2) сәйкесінше анықталады ${ displaystyle 0 leq a$ , арқылы

Функцияның жартылай туындысы

{ displaystyle f (x) = x ^ {0.5}}

Катугампола фракциялық туындысы үшін

Функцияның жартылай туындысы

{ displaystyle f (x) = x ^ { nu}}

үшін Катугампола фракциялық туындысы үшін

{ displaystyle alpha = 0.5}

және

{ displaystyle rho = 2}

.

{ displaystyle { begin {aligned} { big (} {} ^ { rho} { mathcal {D}} _ {a +} ^ { alpha} f { big)} (x) & = { bigg (} x ^ {1- rho} , { frac {d} {dx}} { bigg)} ^ {n} , , { big (} {} ^ { rho} { mathcal {I}} _ {a +} ^ {n- alpha} f { big)} (x) & = { frac { rho ^ { alpha -n + 1}} { Gamma ({ n- альфа})}} , { bigg (} x ^ {1- rho} , { frac {d} {dx}} { bigg)} ^ {n} int _ {a} ^ {x} { frac { tau ^ { rho -1} f ( tau)} {(x ^ { rho} - tau ^ { rho}) ^ { alpha -n + 1}} } , d tau, end {тураланған}}}

және

{ displaystyle { begin {aligned} { big (} {} ^ { rho} { mathcal {D}} _ {b -} ^ { alpha} f { big)} (x) & = { bigg (} -x ^ {1- rho} , { frac {d} {dx}} { bigg)} ^ {n} , , { big (} {} ^ { rho} { mathcal {I}} _ {b -} ^ {n- alpha} f { big)} (x) & = { frac { rho ^ { alpha -n + 1}} { Гамма ({n- альфа})}} { bigg (} -x ^ {1- rho} { frac {d} {dx}} { bigg)} ^ {n} int _ {x} ^ {b} { frac { tau ^ { rho -1} f ( tau)} {( tau ^ { rho} -x ^ { rho}) ^ { alpha -n + 1}} } , d tau, end {тураланған}}}

сәйкесінше, егер интегралдар болса.

Бұл операторлар Риман-Лиувилль және Хадамар бөлшек туындыларын бір түрге жалпылайды, ал Эрдели-Кобер бөлшек бөлігі Риман-Лиувил фракциялық туындысын қорытады.^[3] Қашан, ${ displaystyle b = infty}$ , бөлшек туындылар деп аталады Вейл типі туындылар.

Капуто-Катугампола фракциялық туындысы

Катугампола туындысының Капуто типті модификациясы бар, ол қазір Капуто-Катугампола фракциялық туындысы деп аталады.^[12]^[13]Келіңіздер ${ displaystyle f in L ^ {1} [a, b], alpha in (0,1]}$ және ${ displaystyle rho}$ . Реттік бөлшек C-K туындысы ${ displaystyle alpha}$ функциясы ${ displaystyle f: [a, b] rightarrow mathbb {R},}$ параметрге қатысты ${ displaystyle rho}$ ретінде көрсетілуі мүмкін

{ displaystyle {} ^ {C} { mathcal {D}} _ {a +} ^ { alpha, rho} f (t) = { frac { rho ^ { alpha} t ^ {1- альфа}} { Гамма (1- альфа)}} { frac {d} {dt}} int _ {a} ^ {t} { frac {s ^ { rho -1}} {(t ^ { rho} -s ^ { rho}) ^ { альфа}}} { big [} f (s) -f (a) { big]} , ds.}

Ол келесі нәтижені қанағаттандырады. Мұны ойлаңыз ${ displaystyle f in C ^ {1} [a, b]}$ , онда C-K туындысының келесі баламалы түрі болады^{[дәйексөз қажет ]}

{ displaystyle {} ^ {C} { mathcal {D}} _ {a +} ^ { alpha, rho} f (t) = { frac { rho ^ { alpha}} { Gamma (1 - alpha)}} int _ {a} ^ {t} { frac {f ^ { prime} (s)} {(t ^ { rho} -s ^ { rho}) ^ { alpha }}} дс.}

Хильфер-Катугампола бөлшек туындысы

Тағы бір жалпылау - Хилфер-Катугампола бөлшек туынды^[14]^[15] Тапсырыс беріңіз ${ displaystyle 0 < альфа <1}$ және теріңіз ${ displaystyle 0 leq { beta} leq {1}}$ . Қатысты бөлшек туынды (сол жақты / оң жақ), қатысты ${ displaystyle x}$ , бірге ${ displaystyle rho> 0}$ , арқылы анықталады

{ displaystyle { begin {aligned} ({^ { rho} { mathcal {D}} _ {a pm} ^ { alpha, beta}} varphi) (x) & = left ( pm , {^ { rho} { mathcal {J}} _ {a pm} ^ { beta (1- alpha)}} left (t ^ { rho -1} { frac {d } {dt}} right) {^ { rho} { mathcal {J}} _ {a pm} ^ {(1- beta) (1- alpha)}} varphi right) (x ) & = left ( pm , {^ { rho} { mathcal {J}} _ {a pm} ^ { beta (1- alpha)}} delta _ { rho} , {^ { rho} { mathcal {J}} _ {a pm} ^ {(1- beta) (1- alpha)}} varphi right) (x), end {aligned }}}

қайда ${ displaystyle delta _ { rho} = t ^ { rho -1} { frac {d} {dt}}}$ , функциялар үшін ${ displaystyle varphi}$ онда оң жағында өрнек бар, қайда ${ displaystyle { mathcal {J}}}$ -де келтірілген жалпыланған бөлшек интеграл1).

Меллин түрленуі

Жағдайындағыдай Лаплас өзгереді, Меллин өзгереді шешу кезінде арнайы қолданылатын болады дифференциалдық теңдеулер. Меллин өзгереді сол жақты және оң жақ Katugampola интегралдық операторларының нұсқалары берілген ^[2]^[4]

Теорема

Келіңіздер ${ displaystyle alpha in { mathcal {C}}, operatorname {Re} ( alpha)> 0,}$ және ${ displaystyle rho> 0.}$ Содан кейін,

{ displaystyle { begin {aligned} & { mathcal {M}} { bigg (} {} ^ { rho} { mathcal {I}} _ {a +} ^ { alpha} f { bigg) } (-тар) = { frac { Gamma { big (} 1 - { frac {s} { rho}} - альфа { big)}} { Gamma { big (} 1 - { frac {s} { rho}} { big)} , rho ^ { alpha}}} , { mathcal {M}} f (s + alpha rho), quad operatorname {Re} (s / rho + альфа) <1, , x> a, & { mathcal {M}} { bigg (} {} ^ { rho} { mathcal {I}} _ {b -} ^ { alpha} f { bigg)} (s) = { frac { Gamma { big (} { frac {s} { rho}} { big)}} { Gamma { үлкен (} { frac {s} { rho}} + альфа { big)} , rho ^ { альфа}}} , { mathcal {M}} f (s + alpha rho) , quad operatorname {Re} (s / rho)> 0, , x

үшін ${ displaystyle f in { textit {X}} _ {s + alpha rho} ^ {1} ( mathbb {R ^ {+}})}$ , егер ${ displaystyle { mathcal {M}} f (s + alpha rho)}$ үшін бар ${ displaystyle s in mathbb {C}}$ .

Гермит-Хадамард типіндегі теңсіздіктер

Катугампола операторлары келесі Hermite-Hadamard типіндегі теңсіздіктерді қанағаттандырады:^[16]

Теорема

Келіңіздер ${ displaystyle alpha> 0}$ және ${ displaystyle rho> 0.}$ . Егер ${ displaystyle f}$ - бұл дөңес функция ${ displaystyle [a, b]}$ , содан кейін

{ displaystyle f left ({ frac {a + b} {2}} right) leq { frac { rho ^ { alpha} Gamma ( alpha +1)} {4 (b ^ {) alpha} -a ^ { alpha}) ^ { alpha}}} left [{} ^ { rho} { mathcal {I}} _ {a +} ^ { alpha} F (b) + { } ^ { rho} { mathcal {I}} _ {b -} ^ { alpha} F (a) right] leq { frac {f (a) + f (b)} {2}} ,}

қайда ${ displaystyle F (x) = f (x) + f (a + b-x), ; x in [a, b].}$ .

Қашан ${ displaystyle rho rightarrow 0 ^ {+}}$ , жоғарыда келтірілген нәтижеде келесі Хадамар түріндегі теңсіздік орын алады:^[16]

Қорытынды

Келіңіздер ${ displaystyle alpha> 0}$ . Егер ${ displaystyle f}$ - бұл дөңес функция ${ displaystyle [a, b]}$ , содан кейін

{ displaystyle f left ({ frac {a + b} {2}} right) leq { frac { Gamma ( alpha +1)} {4 left ( ln { frac {b} {a}} right) ^ { alpha}}} left [ mathbf {I} _ {a +} ^ { alpha} F (b) + mathbf {I} _ {b -} ^ { alpha } F (a) right] leq { frac {f (a) + f (b)} {2}},}

қайда ${ displaystyle mathbf {I} _ {a +} ^ { alpha}}$ және ${ displaystyle mathbf {I} _ {b -} ^ { alpha}}$ сол және оң жақ болып табылады Хадамдар бөлшек интегралдары.

Соңғы даму

Бұл операторлар туралы келесі жұмыстарда айтылған:

Бөлшектік есеп. Физиктерге арналған кіріспе, Ричард Херрманн ^[17]
Физикаға қосымшалармен жалпыланған бөлшек интеграл тұрғысынан вариацияның бөлшек есебі, Татьяна Одзевич, Агнешка Б.Малиновска және Делфим Ф. ^[18]
Вариацияның бөлшек есебімен таныстыру, Agnieszka B Malinowska және Delfim F. M. Torres, Imperial College Press, 2015
Вариацияның бөлшек есептеулеріндегі жетілдірілген әдістер, Малиновская, Агнешка Б., Одзевичевич, Татьяна, Торрес, Дельфим Ф.М., Спрингер, 2015
Хадамард бөлшек интегралына және туындысына арналған бүтін ретті туындылар бойынша кеңейту формулалары, Шакур Поос, Рикардо Альмейда және Делфим Ф.^[19]

Әдебиеттер тізімі

^ ^а ^б ^c Катугампола, Удита Н. (2011). «Жалпыланған бөлшек интегралға жаңа көзқарас». Қолданбалы математика және есептеу. 218 (3): 860–865. arXiv:1010.0742. дои:10.1016 / j.amc.2011.03.062.
^ ^а ^б ^c ^г. Катугампола, Удита Н. (2011). Жалпыланған бөлшек интегралдар және туындылар туралы, Ph.D. Диссертация, Оңтүстік Иллинойс университеті, Карбондейл, тамыз, 2011 ж.
^ ^а ^б ^c ^г. ^e Катугампола, Удита Н. (2014), "Жалпыланған фракциялық туындыларға жаңа тәсіл" (PDF), Өгіз. Математика. Анал. Қолданба., 6 (4): 1–15, МЫРЗА 3298307
^ ^а ^б ^c Катугампола, Удита Н. (2015). «Жалпыланған бөлшек интегралдар мен туындылардың Меллин түрлендірулері». Қолданбалы математика және есептеу. 257: 566–580. arXiv:1112.6031. дои:10.1016 / j.amc.2014.12.067.
^ Эрделий, Артур (1950-51). «Кейбір функционалдық түрлендірулер туралы». Rendiconti del Seminario Matematico dell'Università e del Politecnico di Torino. 10: 217–234. МЫРЗА 0047818.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
^ Кобер, Герман (1940). «Бөлшек интегралдар мен туындылар туралы». Математиканың тоқсан сайынғы журналы (Оксфорд сериясы). 11 (1): 193–211. Бибкод:1940QJMat..11..193K. дои:10.1093 / qmath / os-11.1.193.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
^ Бөлшек интегралдар мен туындылар: теориясы және қолданылуы, Самко, С.; Килбас, А.А .; және Маричев, О. Қатты мұқаба: 1006 бет. Баспагері: Taylor & Francis Books. ISBN 2-88124-864-0
^ Бөлшек дифференциалдық теңдеулердің теориясы және қолданылуы, Килбас, А.А .; Шривастава, Х. М .; және Трухильо, Дж. Дж. Амстердам, Нидерланды, Элсевье, 2006 ж. ақпан. ISBN 0-444-51832-0
^ ^а ^б Тайпрайон, Чаттай; Нтуас, Сотирис К; Тарибун, Джесада (2015). «Бөлшек Лангевин теңдеуінің локальды емес Катугамполалық бөлшек интегралдық шарттары туралы». Айырмашылық теңдеулеріндегі жетістіктер. 2015. дои:10.1186 / s13662-015-0712-3.
^ ^а ^б Альмейда, Р .; Бастос, Н. (2016). «Катугампола интегралының жуықтау формуласы» (PDF). Дж. Математика. Анал. 7 (1): 23–30. arXiv:1512.03791. Бибкод:2015arXiv151203791A. Архивтелген түпнұсқа (PDF) 2016-03-04. Алынған 2016-01-02.
^ ^а ^б Катугампола, Удита. «Google сайты». Алынған 11 қараша 2017. Журналға сілтеме жасау қажет | журнал = (Көмектесіңдер)
^ Альмейда, Рикардо (2017). «Капуто типті бөлшек туындыға қатысты вариациялық есептер». Оңтайландыру теориясы мен қолданбалы журнал. 174 (1): 276–294. arXiv:1601.07376. дои:10.1007 / s10957-016-0883-4.
^ Ценг, Шэн-Да; Балеану, Думитру; Бай, Юнру; Ву, Гуоченг (2017). «Капуто-Катугампола түріндегі бөлшек дифференциалдық теңдеулер және сандық шешімдер». Қолданбалы математика және есептеу. 315: 549–554. дои:10.1016 / j.amc.2017.07.003.
^ Оливейра, Д.С .; Capelas de Oliveira, E. (2017). «Hilfer-Katugampola фракциялық туындысы». arXiv:1705.07733 [math.CA ].
^ Бхайрат, Сандип П .; Дайгуде, Д.Б. (2017). «Жалпыланған Катугампола туындысын қамтитын бөлшек дифференциалдық теңдеулердің болуы және тұрақтылығы». arXiv:1709.08838 [math.CA ].
^ ^а ^б М. Джлели; Д. О'Реган; B. Samet (2016). «Фермалды-интегралды интегралдар арқылы гермита-гадамард түріндегі теңсіздіктер туралы» (PDF). Математика бойынша түрік журналы. 40: 1221–1230. дои:10.3906 / мат-1507-79.
^ Бөлшектік есеп. Физиктерге арналған кіріспе, Ричард Херрманн. Қатты мұқабалы. Баспагері: World Scientific, Сингапур; (Ақпан 2011) ISBN 978-981-4340-24-3
^ Одзиевич, Татьяна; Малиновская, Агнешка Б .; Торрес, Делфим Ф.М. (2012). «Физикаға қосымшалармен жалпыланған бөлшек интеграл тұрғысынан вариацияның вариациялық есебі». Реферат және қолданбалы талдау. 2012: 1–24. arXiv:1203.1961. дои:10.1155/2012/871912.
^ Поосех, Шакур; Альмейда, Рикардо; Торрес, Делфим Ф.М. (2012). «Хадамдар фракциялық интегралды және туындысы үшін бүтін тәртіптегі туындылар тұрғысынан кеңейту формулалары». Сандық функционалдық талдау және оңтайландыру. 33 (3): 301. arXiv:1112.0693. дои:10.1080/01630563.2011.647197.

Әрі қарай оқу

Миллер, Кеннет С. (1993). Росс, Бертрам (ред.) Бөлшектік есептеулерге және бөлшек дифференциалдық теңдеулерге кіріспе. Вили. ISBN 0-471-58884-9.
Олдхэм, Кит Б .; Испания, Джером (1974). Бөлшек есептеу; Дифференциация мен ерікті тәртіпке интеграция теориясы және қолданылуы. Математика ғылымдағы және техникадағы. V. Академиялық баспасөз. ISBN 0-12-525550-0.
Подлубный, Игорь (1998). Бөлшек дифференциалдық теңдеулер. Бөлшек туындыларға, бөлшек дифференциалдық теңдеулерге, оларды шешудің кейбір әдістеріне және олардың кейбір қосымшаларына кіріспе. Математика ғылымдағы және техникадағы. 198. Академиялық баспасөз. ISBN 0-12-558840-2.
Herrmann, Richard (2011). Бөлшектік есеп. Физиктерге арналған кіріспе. Әлемдік ғылыми. ISBN 978-981-4340-24-3.
Мачадо, Дж. Т .; Кирякова, В .; Mainardi, F. (2011). «Бөлшек есептеудің соңғы тарихы» (PDF). Сызықтық емес ғылымдағы байланыс және сандық модельдеу. 16 (3): 1140. Бибкод:2011CNSNS..16.1140M. дои:10.1016 / j.cnsns.2010.05.027. hdl:10400.22/4149. Архивтелген түпнұсқа (PDF) 2013-10-20. Алынған 2016-01-02.

Ескертулер

CRONE (R) Toolbox, Matlab және Simulink Toolbox бөлшек есептеуге арналған, мына жерден жүктеп алуға болады http://cronetoolbox.ims-bordeaux.fr

[Integral-1] а ^б ^c Катугампола, Удита Н. (2011). «Жалпыланған бөлшек интегралға жаңа көзқарас». Қолданбалы математика және есептеу. 218 (3): 860–865. arXiv:1010.0742. дои:10.1016 / j.amc.2011.03.062.

[dist-2] а ^б ^c ^г. Катугампола, Удита Н. (2011). Жалпыланған бөлшек интегралдар және туындылар туралы, Ph.D. Диссертация, Оңтүстік Иллинойс университеті, Карбондейл, тамыз, 2011 ж.

[derivative-3] а ^б ^c ^г. ^e Катугампола, Удита Н. (2014), "Жалпыланған фракциялық туындыларға жаңа тәсіл" (PDF), Өгіз. Математика. Анал. Қолданба., 6 (4): 1–15, МЫРЗА 3298307

[tran-4] а ^б ^c Катугампола, Удита Н. (2015). «Жалпыланған бөлшек интегралдар мен туындылардың Меллин түрлендірулері». Қолданбалы математика және есептеу. 257: 566–580. arXiv:1112.6031. дои:10.1016 / j.amc.2014.12.067.

[erdelyi-5] Эрделий, Артур (1950-51). «Кейбір функционалдық түрлендірулер туралы». Rendiconti del Seminario Matematico dell'Università e del Politecnico di Torino. 10: 217–234. МЫРЗА 0047818.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)

[Kober-6] Кобер, Герман (1940). «Бөлшек интегралдар мен туындылар туралы». Математиканың тоқсан сайынғы журналы (Оксфорд сериясы). 11 (1): 193–211. Бибкод:1940QJMat..11..193K. дои:10.1093 / qmath / os-11.1.193.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)

[Samko-7] Бөлшек интегралдар мен туындылар: теориясы және қолданылуы, Самко, С.; Килбас, А.А .; және Маричев, О. Қатты мұқаба: 1006 бет. Баспагері: Taylor & Francis Books. ISBN 2-88124-864-0

[KilSri-8] Бөлшек дифференциалдық теңдеулердің теориясы және қолданылуы, Килбас, А.А .; Шривастава, Х. М .; және Трухильо, Дж. Дж. Амстердам, Нидерланды, Элсевье, 2006 ж. ақпан. ISBN 0-444-51832-0

[langevin-9] а ^б Тайпрайон, Чаттай; Нтуас, Сотирис К; Тарибун, Джесада (2015). «Бөлшек Лангевин теңдеуінің локальды емес Катугамполалық бөлшек интегралдық шарттары туралы». Айырмашылық теңдеулеріндегі жетістіктер. 2015. дои:10.1186 / s13662-015-0712-3.

[appro-10] а ^б Альмейда, Р .; Бастос, Н. (2016). «Катугампола интегралының жуықтау формуласы» (PDF). Дж. Математика. Анал. 7 (1): 23–30. arXiv:1512.03791. Бибкод:2015arXiv151203791A. Архивтелген түпнұсқа (PDF) 2016-03-04. Алынған 2016-01-02.

[googlesite-11] а ^б Катугампола, Удита. «Google сайты». Алынған 11 қараша 2017. Журналға сілтеме жасау қажет | журнал = (Көмектесіңдер)

[12] Альмейда, Рикардо (2017). «Капуто типті бөлшек туындыға қатысты вариациялық есептер». Оңтайландыру теориясы мен қолданбалы журнал. 174 (1): 276–294. arXiv:1601.07376. дои:10.1007 / s10957-016-0883-4.

[13] Ценг, Шэн-Да; Балеану, Думитру; Бай, Юнру; Ву, Гуоченг (2017). «Капуто-Катугампола түріндегі бөлшек дифференциалдық теңдеулер және сандық шешімдер». Қолданбалы математика және есептеу. 315: 549–554. дои:10.1016 / j.amc.2017.07.003.

[14] Оливейра, Д.С .; Capelas de Oliveira, E. (2017). «Hilfer-Katugampola фракциялық туындысы». arXiv:1705.07733 [math.CA ].

[15] Бхайрат, Сандип П .; Дайгуде, Д.Б. (2017). «Жалпыланған Катугампола туындысын қамтитын бөлшек дифференциалдық теңдеулердің болуы және тұрақтылығы». arXiv:1709.08838 [math.CA ].

[H-H-16] а ^б М. Джлели; Д. О'Реган; B. Samet (2016). «Фермалды-интегралды интегралдар арқылы гермита-гадамард түріндегі теңсіздіктер туралы» (PDF). Математика бойынша түрік журналы. 40: 1221–1230. дои:10.3906 / мат-1507-79.

[17] Бөлшектік есеп. Физиктерге арналған кіріспе, Ричард Херрманн. Қатты мұқабалы. Баспагері: World Scientific, Сингапур; (Ақпан 2011) ISBN 978-981-4340-24-3

[18] Одзиевич, Татьяна; Малиновская, Агнешка Б .; Торрес, Делфим Ф.М. (2012). «Физикаға қосымшалармен жалпыланған бөлшек интеграл тұрғысынан вариацияның вариациялық есебі». Реферат және қолданбалы талдау. 2012: 1–24. arXiv:1203.1961. дои:10.1155/2012/871912.

[19] Поосех, Шакур; Альмейда, Рикардо; Торрес, Делфим Ф.М. (2012). «Хадамдар фракциялық интегралды және туындысы үшін бүтін тәртіптегі туындылар тұрғысынан кеңейту формулалары». Сандық функционалдық талдау және оңтайландыру. 33 (3): 301. arXiv:1112.0693. дои:10.1080/01630563.2011.647197.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]