Джонсон графигі - Википедия - Johnson graph

Джонсон графигі
Джонсон графигі Дж(5,2)
Есімімен аталды	Джонсон Селмер М.
Тік	${ displaystyle { binom {n} {k}}}$
Шеттер	${ displaystyle { frac {1} {2}} k (n-k) { binom {n} {k}}}$
Диаметрі	${ displaystyle min (k, n-k)}$
Қасиеттері	${ displaystyle k (n-k)}$- тұрақты Шың-өтпелі Қашықтықтан ауыспалы Гамильтон қосылған
Ескерту	${ displaystyle J (n, k)}$
Графиктер мен параметрлер кестесі

Джонсон графиктері ерекше класы болып табылады бағытталмаған графиктер жиындар жүйесінен анықталған. Джонсон графигінің төбелері ${ displaystyle J (n, k)}$ болып табылады ${ displaystyle k}$- элементтің ішкі жиындары ${ displaystyle n}$-элемент жиынтығы; екі төбенің (ішкі жиындардың) қиылысы болған кезде екі шың іргелес болады ${ displaystyle (k-1)}$-элементтер.^[1] Джонсонның графиктері де, бір-бірімен тығыз байланысты Джонсон схемасы атымен аталады Джонсон Селмер М..

Ерекше жағдайлар

• ${ displaystyle J (n, 1)}$ болып табылады толық граф Қ_n.
• ${ displaystyle J (4,2)}$ болып табылады сегіздік график.
• ${ displaystyle J (5,2)}$ болып табылады толықтыру сызбасы туралы Питерсен графигі,^[1] сондықтан сызықтық график туралы Қ₅. Жалпы, барлығы үшін ${ displaystyle n}$, Джонсон графигі ${ displaystyle J (n, 2)}$ толықтауыш болып табылады Кнесер графигі ${ displaystyle K (n, 2).}$

Графикалық-теоретикалық қасиеттер

• ${ displaystyle J (n, k)}$ изоморфты болып табылады ${ displaystyle J (n, n-k).}$

• Барлығына ${ displaystyle 0 leq j leq operatorname {diam} (J (n, k))}$, қашықтықтағы кез-келген шыңдар жұбы ${ displaystyle j}$ бөлісу ${ displaystyle k-j}$ ортақ элементтер.

• ${ displaystyle J (n, k)}$ болып табылады Гамильтон қосылған, яғни әрбір шыңдар а-ның соңғы нүктелерін құрайды Гамильтондық жол графикте. Атап айтқанда, бұл оның Гамильтон циклі бар екенін білдіреді.^[2]

• Джонсон графигі екені де белгілі ${ displaystyle J (n, k) ~}$ болып табылады${ displaystyle ~ k (n-k)}$-текске қосылған.^[3]

• ${ displaystyle J (n, k)}$ төбелерінің және шеттерінің графигін құрайды (n - 1) -өлшемді политоп, а деп аталады гиперсимплекс.^[4]

• The клик нөмірі туралы ${ displaystyle J (n, k)}$ меншікті мәндері бойынша өрнек арқылы беріледі: ${ displaystyle omega (J (n, k)) = 1 - { tfrac { lambda _ { max}} { lambda _ { min}}}.}$

• The хроматикалық сан туралы ${ displaystyle J (n, k)}$ ең көп дегенде ${ displaystyle n, chi (J (n, k)) leq n.}$^[5]

Автоморфизм тобы

Бар қашықтық-өтпелі кіші тобы ${ displaystyle operatorname {Aut} (J (n, k))}$ изоморфты ${ displaystyle operatorname {Sym} (n)}$. Ақиқатында, ${ displaystyle operatorname {Aut} (J (n, k)) cong operatorname {Sym} (n)}$, егер болмаса ${ displaystyle n = 2k geq 4}$; әйтпесе, ${ displaystyle operatorname {Aut} (J (n, k)) cong operatorname {Sym} (n) times C_ {2}}$.^[6]

Қиылыс массиві

Қашықтықтан ауыспалы болудың нәтижесінде, ${ displaystyle J (n, k)}$ сонымен қатар қашықтық - тұрақты. Рұқсат ету ${ displaystyle d}$ оның диаметрін, қиылысу массивін белгілеңіз ${ displaystyle J (n, k)}$ арқылы беріледі

${ displaystyle left {b_ {0}, ldots, b_ {d-1}, c_ {1}, ldots c_ {d} right }}$

қайда:

${ displaystyle { begin {aligned} b_ {j} & = (kj) (nkj) && 0 leq j$

Егер болмаса ${ displaystyle J (n, k)}$ болып табылады ${ displaystyle J (8,2)}$, оның қиылысу массиві басқа қашықтық-графикпен бөлісілмейді; -ның қиылысу жиымы ${ displaystyle J (8,2)}$ Джонсон графикасы емес басқа үш қашықтықтан тұратын графиктермен бөлісілген.^[1]

Меншікті мәндер және меншікті векторлар

• Тән полиномы ${ displaystyle J (n, k)}$ арқылы беріледі

${ displaystyle phi (x): = prod _ {j = 0} ^ { оператордың аты {diam} (J (n, k))}} солға (x-A_ {n, k} (j) оң ) ^ {{ binom {n} {j}} - { binom {n} {j-1}}}.}$

қайда ${ displaystyle A_ {n, k} (j) = (k-j) (n-k-j) -j.}$^[6]

• Меншікті векторлары ${ displaystyle J (n, k)}$ айқын сипаттамасы болуы керек.^[7]

Джонсон схемасы

Джонсон графигі ${ displaystyle J (n, k)}$ -мен тығыз байланысты Джонсон схемасы, an ассоциация схемасы онда әр жұп к-элемент жиынтығы, санының жарты өлшемімен байланысты симметриялық айырмашылық екі жиынтықтың^[8] Джонсон графигі ассоциация сызбасындағы бір қашықтықтағы жиындардың әр жұбы үшін шеге ие, ал ассоциация схемасындағы арақашықтықтар дәл ең қысқа жол Джонсон графигіндегі қашықтық.^[9]

Джонсон схемасы тағы бір қашықтық-транзиттік графиктердің тобымен байланысты тақ графиктер, оның шыңдары ${ displaystyle k}$- элементтің ішкі жиындары ${ displaystyle (2k + 1)}$-элемент жиыны және оның жиектері қосалқы жиынтық жұптарына сәйкес келеді.^[8]

Мәселелерді ашыңыз

Джонсон графиктерінің шыңдарды кеңейту қасиеттері, сондай-ақ берілген өлшемдегі шыңдардың сәйкес экстремалды жиынтықтарының құрылымы толық зерттелмеген. Алайда жақында шыңдардың үлкен жиынтығын кеңейтуге асимптотикалық тығыз төменгі шекара алынды.^[10]

Жалпы, Джонсон графигінің хроматикалық санын анықтау ашық мәселе болып табылады.^[11]

Сондай-ақ қараңыз

• Grassmann графигі

Әдебиеттер тізімі

Сыртқы сілтемелер

• Вайсштейн, Эрик В. «Джонсон графигі». MathWorld.
• Брауэр, Андрис Э. «Джонсон графиктері».